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1、 重点重点:1. 熟练掌握叠加定理，替代定理，戴维南和诺顿定理。熟练掌握叠加定理，替代定理，戴维南和诺顿定理。 2. 了解特勒根定理和互易定理；了解对偶原理。了解特勒根定理和互易定理；了解对偶原理。第第4 4章章 电路的定理电路的定理 (Circuit Theorems)(Circuit Theorems)1.叠加定理叠加定理:在线性电路中，任一支路电流在线性电路中，任一支路电流(或电压或电压)都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的都是电路中各个独立电源单独作用时，在该支路产生的电流电流(或电压或电压)的代数和的代数和。 4. .1 叠加定理叠加定理 (Superposition T
2、heorem)单独作用：一个电源作用，其余电源不作用单独作用：一个电源作用，其余电源不作用不作用不作用的的 电压源电压源（us=0) 短路短路电流源电流源 (is=0) 开路开路举例证明定理举例证明定理ib1ia1R2R3R1+us1i11ibiaR2+R3+R1+us1us2us3i1ib2ia2R2+R3R1us2i12ib3ia3R2R3+R1us3i13i1 = i11 + i12 + i13证明证明ib1ia1R2R3R1+us1i11ib2ia2R2+R3R1us2i12ib3ia3R2R3+R1us3i13R11ia1+R12ib1=us1R21ia1+R22ib1=0R11ia
3、2+R12ib2=-us2R21ia2+R22ib2=us2R11ia3+R12ib3=0R21ia3+R22ib3=-us3ibiaR2+R3+R1+us1us2us3i1R11ia+R12ib=us11R21ia+R22ib=us22us1- -us2us2- -us3ia = ia1 + ia2 + ia3证得证得即回路电流满足叠加定理即回路电流满足叠加定理推广到推广到 l 个回路个回路 , 第第 j 个回路的回路电流：个回路的回路电流：第第j列列同同样样可可以以证证明明：线线性性电电阻阻电电路路中中任任意意支支路路的的电电压压等等于于各各电电源源（电电压压源源、电电流流源源）在在此此支
4、支路路产产生生的的电电压压的代数和。的代数和。us1 usb把把 usi 个系数合并为个系数合并为Gji第第i个电压源单独作用时在个电压源单独作用时在第第j 个回路中产生的回路电流个回路中产生的回路电流支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。支路电流是回路电流的线性组合，支路电流满足叠加定理。1. 叠加定理只叠加定理只适用于适用于线性电路线性电路求电压求电压和和电流电流； 不能用叠加定理求功率不能用叠加定理求功率(功率为电源的二次函数功率为电源的二次函数)。 不适用于非线性电路。不适用于非线性电路。2. 应用时电路的结构参数必须应用时电路的结构参数必须前后一致前后一致。应用叠加定理
5、时注意以下几点：应用叠加定理时注意以下几点：5. 叠加时注意叠加时注意参考方向参考方向下求下求代数和代数和。3. 不作用的电压源不作用的电压源短路短路；不作用的电流源；不作用的电流源开路开路4. 含受控源含受控源(线性线性)电路亦可用叠加，电路亦可用叠加，受控源受控源应始终应始终保留保留。例例1.求图中电压求图中电压u。+10V4A6 +4 u解解:(1) 10V电压源单独作用，电压源单独作用，4A电流源开路电流源开路4A6 +4 uu=4V(2) 4A电流源单独作用，电流源单独作用，10V电压源短路电压源短路u= - -4 2.4= - -9.6V共同作用：共同作用：u=u+u= 4+(-
6、- 9.6)= - - 5.6V+10V6 +4 u2. 例题例题例例2求电压求电压Us 。(1) 10V电压源单独作用：电压源单独作用：(2) 4A电流源单独作用：电流源单独作用：解解:+10V6 I14A+Us+10 I14 10V+6 I1+10 I14 +Us6 I14A+Us+10 I14 +U1+U1Us= - -10 I1+U1Us= - -10I1+U1” Us= - -10 I1+U1= - -10 I1+4I1= - -10 1+4 1= - -6VUs= - -10I1+U1” = - -10 (- -1.6)+9.6=25.6V共同作用：共同作用：Us= Us +Us=
7、 - -6+25.6=19.6V10V+6 I1+10 I14 +Us+U16 I14A+Us+10 I14 +U13.应用应用1) 特色例题特色例题2)推广推广:齐次定理及线性叠加定理齐次定理及线性叠加定理4.齐性原理齐性原理（homogeneity property) 当电路中只有一个激励当电路中只有一个激励(独立源独立源)时，则响应时，则响应(电压或电流电压或电流)与激励成正比。与激励成正比。RusrRkuskrus1us2rRk us1k us2k rR线线性性电电路路中中，所所有有激激励励都都增增大大(或或减减小小)同同样样的的倍倍数数，则电路中响应也增大则电路中响应也增大(或减小或
8、减小)同样的倍数。同样的倍数。解解设设 IL =1A例例3R1R3R5R2RL+ +UsR4+ +UL法一：分压、分流。法一：分压、分流。法二：电源变换。法二：电源变换。法三：用齐性原理（单位电流法）法三：用齐性原理（单位电流法）ILU +- -U K = Us / U UL= K IL RL5.线性叠加定理线性叠加定理线线性性电电路路中中，当当一一个个激激励励源源单单独独作作用用时时,电电路路响响应应正正比于该源的大小比于该源的大小: Ik=Gk*Us或或Ik=k*IsRus1r1Rus2r2Rus1r1Rus2r2线性叠加线性叠加例例4例例5 us2r=k1us1+k2us2Rus1r1=
9、k1us1r2=k2us2线线性性电电路路中中，若若有有多多个个激激励励源源作作用用时时,电电路路响响应应满满足足: Ik=(Gkj*Usj+kj*Isj)4. 2 替代定理替代定理 (Substitution Theorem)任任意意一一个个线线性性电电路路，其其中中第第k条条支支路路的的电电压压已已知知为为uk（电电流流为为ik），那那么么就就可可以以用用一一个个电电压压等等于于uk的的理理想想电电压压源源（电电流流等等于于ik的的 独独立立电电流流源源）来来替替代代该该支支路路，替替代代前前后后电电路路中中各各处处电电压压和和电电流均保持不变。流均保持不变。Aik+uk支支路路 k A+
10、ukikA证明一证明一:ukukAik+uk支支路路 k+ACBAik+uk支支路路 kABAC等电位等电位+ukAik+ukAB证明二证明二:思路为变化前后均满足思路为变化前后均满足KL定律定律说明说明1. 替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。替代定理适用于线性、非线性电路、定常和时变电路。2) 被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系。被替代的支路和电路其它部分应无耦合关系。1) 原电路和替代后的电路必须有唯一解。原电路和替代后的电路必须有唯一解。2.5A?2. 替代定理的应用必须满足得条件替代定理的应用必须满足得条件:1.5A1A10V5V2 5 10V5V2 5V2.5AA1
11、A1 B1V+- -1V+- -A1AB1AA1AB1V+_满足满足+- -?不满足不满足例题例题例例1 电路下图，当改变电阻电路下图，当改变电阻R的值时，电路中各处电压和电流都的值时，电路中各处电压和电流都将随之改变，已知将随之改变，已知i=1A时，时，u=20V; i=2A时，时，u=30V;求当求当i=3A时，时，u=？ iu+-例例2 下图电路为有源电阻网络，已知下图电路为有源电阻网络，已知I1=2A， I2=1/3A时，当时，当R增增加加10时，时， I1=1.5A， I2=1/2A, 求当求当R减小减小10时，时， I1=？，？，I2=？ARI1I24. .3 戴维南定理和诺顿定理
12、戴维南定理和诺顿定理 (Thevenin- -Norton Theorem)一、引例一、引例R3R5R6R4R2+R1+us1us2i3已知已知us1=40V, us2=40V,R1=4 ,R2=2 ,R3=5 ,R4=10 ,R5=8 ,R6=2 ,求通过求通过R3的电流的电流i3戴戴维维南南定定理理 任任何何一一个个含含有有独独立立电电源源、线线性性电电阻阻和和线线性性受受控控源源的的一一端端口口网网络络，对对外外电电路路来来说说，可可以以用用一一个个独独立立电电压压源源Uoc和和电电阻阻Ri的的串串联联组组合合来来等等效效替替代代；其其中中电电压压Uoc等等于于端端口口开开路路电电压压，
13、电电阻阻Ri等等于于端端口口中中所所有有独独立立电电源源置零后端口的入端等效电阻。置零后端口的入端等效电阻。AababRiUoc+- -二、定理内容二、定理内容证明证明:电流源电流源i为零为零abA+u+网络网络A中独立源全部置零中独立源全部置零abPi+uRiu= Uoc (外电路开路时外电路开路时a 、b间开路电压间开路电压) u= - - Ri i得得u = u + u = Uoc - - Ri i证明证明abAi+u替代替代abAi+uNiUoc+uNab+Ri=叠加叠加诺诺顿顿定定理理任任何何一一个个含含独独立立电电源源、线线性性电电阻阻和和线线性性受受控控源源的的一一端端口口，对对
14、外外电电路路来来说说，可可以以用用一一个个电电流流源源和和电电导导的的并并联联来来等等效效替替代代；其其中中电电流流源源的的电电流流等等于于该该一一端端口口的的短短路路电电流流，而而电电阻阻等等于于把把该该一一端端口口的的全全部部独独立立电电源源置零后的输入电阻。置零后的输入电阻。AababRiIsc小结：小结： 戴维南定理与诺顿定理又统称为等效电源定理，或称为戴维南定理与诺顿定理又统称为等效电源定理，或称为等效发电机定理等效发电机定理 求无源一端口等效电阻的方法求无源一端口等效电阻的方法AababRiUoc+- -AababRiIsc戴维南等效戴维南等效诺顿等效诺顿等效思路思路:IA2A1+
15、- -uo1Ro1+- -uo2Ro2I三、定理应用三、定理应用1.基础例题基础例题例例1R3R5R6R4R2+R1+us1us2i3已知已知us1=40V, us2=40V,R1=4 ,R2=2 ,R3=5 ,R4=10 ,R5=8 ,R6=2 ,求通过求通过R3的电流的电流i3结果结果: i: i3 3=3.53A=3.53A例例2 外电路含有非线性元件外电路含有非线性元件J-100V4 40V200V30K10K60K+- -UI5KAB1004020030K10K60K+- - - -ABUAB+- -解：解：求开路电压求开路电压U UABAB当电流当电流I I 2mA时继电器的时继电
16、器的控制触点闭合（继电器线圈控制触点闭合（继电器线圈电阻是电阻是5K ）。）。问现在问现在继电器继电器触点是否闭合。触点是否闭合。60K+- -UI5K+- -uABRABAB1004020030K10K60K+- - - -ABUAB+- -UAB=26.7VRAB=10 / 30 / 60 = 6.67K 二极管导通二极管导通I = 26.7 / (5+6.67) = 2.3mA 2mA结论结论: : 继电器继电器触点闭合。触点闭合。例例3.3.计算计算Rx分别为分别为1 1.2、5.2时的电流时的电流IIRxa+10V4664b解解: 断开断开Rx支路，将剩余支路，将剩余一端口网络化为戴
17、维南等一端口网络化为戴维南等效电路：效电路：求等效电阻求等效电阻ReqReq=4/6+6/4=4.8 Rx =1.2时时，I= Uoc /(Req + Rx) =0.333ARx =5.2时时，I= Uoc /(Req + Rx) =0.2AUoc = U1 - U2 = -104/(4+6)+10 6/(4+6) = 6-4=2V求开路电压求开路电压IabUoc+RxReqb+10V4664+-Uoc+ U1 -+ U2-Uo+Ri3 UR- -+解：解：(1) 求开路电压求开路电压UoUo=6I1+3I1I1=9/9=1AUo=9V3 6 I1+9V+Uo+6I1已知如图，求已知如图，求U
18、R 。例例43 6 I1+9V+UR+6I13 2.提高例题提高例题(2) 求等效电阻求等效电阻Ri方法方法1 开路电压、短路电流开路电压、短路电流3 6 I1+9VIsc+6I1Uo=9V3I1=- -6I1I1=0Isc=1.5A6 +9VIscRi = Uo / Isc =9/1.5=6 方法方法2 加压求流（加压求流（独立源置零，受控源保留独立源置零，受控源保留）U=6I1+3I1=9I1I1=I 6/(6+3)=(2/3)IRi = U /I=6 3 6 I1+6I1U+IU =9 (2/3)I=6I(3) 等效电路等效电路Uo+Ri3 UR- -+例例5 5 求负载求负载R RL
19、L消耗的功率消耗的功率10050+40VRL+50VI14I1505求开路电压求开路电压Uoc解：解：10050+40VI14I150Isc10050+40VI150200I1+求等效电阻求等效电阻Req用开路电压、短路电流法用开路电压、短路电流法Isc50+40V50UocReq550VIL+10V25四、定理扩展四、定理扩展最大功率传输定理最大功率传输定理ARiUoc+- -RLRL当当RL=Ri时时,RL将从含源一端口获得最大功率将从含源一端口获得最大功率,其最大功率为其最大功率为:例例6R多大时能从电路中多大时能从电路中获得最大功率，并求获得最大功率，并求此最大功率。此最大功率。解：解
20、：15V5V2A+20 +- - -20 10 5 +- -85VR10 5V+- -20 15V2A20 +- -10 5 +- -85VR10 10V2A10 +- -10 5 +- -85VR10 五、综合应用五、综合应用R =4.29 获最大功率。获最大功率。50V30 +- -5 +- -85VRU0cR0+- -R10V2A10 +- -10 5 +- -85VR10 例例7 图示电路图示电路,N,N为含有独立源的电阻电路为含有独立源的电阻电路. .当当S S打开时打开时, ,有有i i1 1=1A,i=1A,i2 2=5A,U=5A,UOCOC=10V;=10V;当当S S闭合且
21、调节闭合且调节R=6 R=6 时时, ,有有i i1 1=2A,i=2A,i2 2=4A=4A; ;当调节当调节R=4 R=4 时时,R,R获得了最大功率获得了最大功率. .求调节求调节R R到何值时到何值时, ,可使可使i i1 1=i=i2 2.(.(清华大学研究生招生试题清华大学研究生招生试题) ) Ni2i1RSuab结果：当结果：当R=1时，有时，有i i1 1=i=i2 2=3A=3AReq+- -运用戴维南定理，运用戴维南定理，ab以左的电路等效为下图以左的电路等效为下图U0CR10V4 i运用替代定理，运用替代定理， R=6 R=6 时时电路等效为下图电路等效为下图4A N2A
22、uab1Ai运用线性叠加定理求得：运用线性叠加定理求得：欲使欲使i i1 1=i=i2 2, ,应有应有i=2Ai=2A再次返回戴维南等效电路得：再次返回戴维南等效电路得：i=2Ai=2A时，时， R=1 R=1 。此题综合运用了等效电源定理、替代定理、线性叠加定理此题综合运用了等效电源定理、替代定理、线性叠加定理作业:4. 4 特勒根定理特勒根定理(Tellegens Theorem)一一. .具有相同拓扑结构的电路具有相同拓扑结构的电路NN+1234+1243- -12341234561234123456NN例例:12341234561234123456*各支路电压、电流均取关联的参考方向
23、各支路电压、电流均取关联的参考方向*对应支路取相同的参考方向对应支路取相同的参考方向二二. . 特勒根定理特勒根定理网络网络N N 和和 具有相同的拓扑结构。具有相同的拓扑结构。2. 各支路电压、电流均取关联的参考方向各支路电压、电流均取关联的参考方向1. 对应支路取相同的参考方向对应支路取相同的参考方向取：取：特勒根定理特勒根定理 ukik+- - ukik+- -N证明证明令令流出流出 流出流出 流出节点流出节点 的的所有支路电流和所有支路电流和n个节点个节点 , ,有有n项项= 0同理可证：同理可证：功率守恒定理功率守恒定理 是是特勒根定理的特例特勒根定理的特例. .例例 已知如图已知如
24、图 , , 求电流求电流 ix 。R+- -10V1ANR+- -5Vix解解i1i2设电流设电流 i1和和 i2 ，方向如图所示方向如图所示。由特勒根定理，得由特勒根定理，得4. 5 互易定理互易定理 (Reciprocity Theorem)第一种形式第一种形式:激励激励电压源，响应电压源，响应电流电流图图a电电路路中中，只只有有j支支路路中中有有电电压压源源uj，其其在在k支支路路中中产产生生的电流为的电流为 ikj 。 图图b电路中，只有电路中，只有k支路中有电压源支路中有电压源uk，其在，其在j支路中产生支路中产生的电流为的电流为 ijk 。当当 uk = uj 时，时，ikj =
25、ijk 。ikj线性线性电阻电阻网络网络 N+ujabcd(a)j支路支路k支路支路cd线性线性电阻电阻网络网络 Nijk+ukab(b)j支路支路k支路支路+u+u线性电线性电阻网络阻网络 Nabc(a)j支路支路k支路支路diA线性电线性电阻网络阻网络 Nabc(b)j支路支路k支路支路diA证明证明 选定回路电流，使支路选定回路电流，使支路j和支路和支路k都只有一个回路电流都只有一个回路电流流过，且取回路电流的方向和电压升高的方向一致。流过，且取回路电流的方向和电压升高的方向一致。ikj线性线性电阻电阻网络网络 N+ujabcd(a)cd线性线性电阻电阻网络网络 Nijk+ukab(b)
26、IjIkIjIk列方程列方程j行行j列列k列列图图a图图b图图a图图bk行行图图a图图b无受控源无受控源，系数矩阵对称，系数矩阵对称当当 uk = uj 时，时，ikj = ijk当当含有受控源含有受控源时，系数矩阵不对称时，系数矩阵不对称互易定理不成立互易定理不成立。互易定理成立。互易定理成立。名词介绍名词介绍线性线性电阻电阻网络网络 N+ujIjIk入端电导入端电导Gjj转移电导转移电导Gkjukjij+jjkk(a)ik+ujkjjkk(b)第二种形式第二种形式:激励激励电流源，响应电流源，响应电压电压当当 ik = jj 时，时，ukj = ujk 课后思考课后思考求电流求电流I 。解
27、解利用互易定理利用互易定理I2 = 0.5 I1=0.5A I= I1- -I3 = 0.75A例例1I2 4 2 8 +10V3 I2 4 2 8 +10V3 I1I2I3I3 = 0.5 I2=0.25A 回路法，节点法，戴维南回路法，节点法，戴维南例例2R+_2V2 0.25A已知如图已知如图 ,求：求：I1R+_10V2 I1解解R+_2V2 0.25A互易互易齐次性齐次性注意方向注意方向(1) 适适用用于于线线性性网网络络只只有有一一个个电电源源时时，电电源源支支路路和和另另一一支支路间电压、电流的关系。路间电压、电流的关系。(2) 激励为电压源时，响应为电流激励为电压源时，响应为电
28、流激励为电流源时，响应为电压激励为电流源时，响应为电压电压与电流互易。电压与电流互易。(3) 电电压压源源激激励励，互互易易时时原原电电压压源源处处短短路路，电电压压源源串串入入另另一一支路；支路； 电电流流源源激激励励，互互易易时时原原电电流流源源处处开开路路，电电流流源源并并入入另另一一支路的两个节点间。支路的两个节点间。(4) 互易时要注意电压、电流的方向。互易时要注意电压、电流的方向。(5) 含有受控源的网络，互易定理一般不成立。含有受控源的网络，互易定理一般不成立。应用互易定理时应注意：应用互易定理时应注意：4. 6 对偶原理对偶原理 (Dual Principle)一一. 网络对偶
29、的概念网络对偶的概念例例1.网孔电流方程：网孔电流方程：(R1 + R2)il = us节点电压方程：节点电压方程：(G1 + G2 )un = isR2+usilR1G1G2unis1. 平面网络；平面网络；3. 两个方程中对应元素互换后方程能彼此转换两个方程中对应元素互换后方程能彼此转换 , 互换的元素互换的元素 称为对偶元素称为对偶元素 ; 这两个方程所表示的两个电路互为对偶。这两个方程所表示的两个电路互为对偶。2. 两个网络所涉及的量属于同一个物理量两个网络所涉及的量属于同一个物理量(电路）；电路）；(R1 + R2)il = us(G1 + G2 )un = isR2+usilR1G
30、1G2unis电阻电阻 R 电压源电压源 us 网孔电流网孔电流 il KVL 串联串联 网孔网孔电导电导 G 电流源电流源 is 节点电压节点电压 un KCL 并联并联 节点节点对应元素互换，两个方程可以彼此转换，两个电路互为对偶。对应元素互换，两个方程可以彼此转换，两个电路互为对偶。例例2网孔方程：网孔方程：节点方程：节点方程：两个电路互为对偶电路。两个电路互为对偶电路。(R1+R2) il1- - R2 il2 = us1-(-(R2- - rm) il1 +(R2+R3) il2 =0 (G1+G2)un1- - G2 un2 = is1- -( (G2 - - gm )un1+(G
31、2+G3) un2 = 0= 0R3R1R2+us1il1il2i1+rm i1G2G3G1un1un2+u1is1gm u1对应元素对应元素 网孔电阻阵网孔电阻阵 CCVS T形形 节点导纳阵节点导纳阵 VCCS 形形二二. 对偶原理：对偶原理：（或陈述）（或陈述）S成立，则将成立，则将S中所有元素，分别以其对应的对偶中所有元素，分别以其对应的对偶两个对偶电路两个对偶电路N，N，如果对电路，如果对电路N有命题有命题元素替换，所得命题（或陈述）元素替换，所得命题（或陈述）S对电路对电路N成立。成立。对偶关系对偶关系基本定律基本定律 U=RI I=GU U=0 I=0分析方法分析方法 网孔法网孔
32、法 节点法节点法对偶结构对偶结构 串联串联 并联并联 网孔网孔 节点节点 Y 对偶状态对偶状态 开路开路 短路短路对偶元件对偶元件 R G L C 对偶结论对偶结论开路电流为零，短路电压为零；开路电流为零，短路电压为零；理想电压源不能短路，理想电压源不能短路，理想电流源不能开路；理想电流源不能开路；戴维南定理，诺顿定理；戴维南定理，诺顿定理；R3R1R2+us1il1il2i1+rm i1例例等效和对偶是两个完全不同的概念等效和对偶是两个完全不同的概念三三. 求对偶电路的方法求对偶电路的方法（打点法）（打点法）G2G3G1un1un2+u1is1gm u1(2) 电电源源方方向向（在在按按惯惯
33、例例选选取取网网孔孔电电流流和和节节点点电电压压方方向向的的前提下）前提下） 注意注意：(1) 惯例网孔电流取顺时针方向，节点电压极性对地为正。惯例网孔电流取顺时针方向，节点电压极性对地为正。 每个网孔对应一个节点，外网孔对应参考节点。每个网孔对应一个节点，外网孔对应参考节点。+- -usI2I1un2un1原回路中所包含的原回路中所包含的电压源电压源如果沿如果沿顺时针顺时针方向电压方向电压升高升高，则在对偶电路中则在对偶电路中电流源电流源的电流方向应的电流方向应指向指向该网孔对应该网孔对应的独立的独立节点节点。un1un2Is原回路中所包含的原回路中所包含的电流源电流源的电流方向如果和网孔电流方的电流方向如果和网孔电流方向一致，则在对偶电路中向一致，则在对偶电路中电压源电压源的的正极落在正极落在该网孔对应该网孔对应的独立的独立节点节点上。上。un2un1un1un2+- -usIsI2I1
