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1、1罗尔定理罗尔定理(dngl)：拉格朗日定理拉格朗日定理(dngl)：柯西定理柯西定理(dngl)(dngl)：1. 微分中值定理一、一、 几个中值定理几个中值定理第1页/共34页第一页，共35页。2其中其中(qzhng)余项余项当当时为麦克劳林公式时为麦克劳林公式(gngsh) .若函数若函数(hnsh)内具有内具有 n + 1 阶导数阶导数, 泰勒中值定理：泰勒中值定理：第2页/共34页第二页，共35页。3 拉格朗日中值定理 微分中值定理(dngl)之间的相互关系 罗尔定理(dngl) 柯西中值定理(dngl) 泰勒中值定理 第3页/共34页第三页，共35页。42. 零点(ln din)定
2、理与介值定理1)零点零点(ln din)定定理理 ：至少至少(zhsho)有一点有一点且且使使(又叫根的存在定理又叫根的存在定理).2)介值定理：介值定理：则对则对 A 与与 B 之间的任一数之间的任一数 C ,推论推论: 在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值在闭区间上的连续函数必取得介于最小值与最大值之间的任何值之间的任何值 .第4页/共34页第四页，共35页。53. 费马定理(dngl)取得取得(qd)极极值值4. 积分(jfn)中值定理实质:把积分转化为被积函数在某点的函数值.积分中值定理积分中值定理微分中值定理微分中值定理说明：说明：牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式第5页/共
3、34页第五页，共35页。6研究函数或导数(do sh)的性态导数(do sh)的应用及求不定式的极限1. 证明证明(zhngmng)恒恒等式等式.2. 证明证明(zhngmng)不等式不等式.3. 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论.关键关键: 利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数经验经验1:二、中值定理的主要应用利用中值定理证明不等式的步骤利用中值定理证明不等式的步骤:(3) 根据根据 a b 的关系的关系,证明出不等式证明出不等式.(2) 利用中值定理利用中值定理,(1) 设出辅助函数和区间，设出辅助函数和区间，经验经验2：经验经验3: 欲证欲证(1)设函数设函数(2)验
4、证函数验证函数 在区间在区间 上满足罗尔定理上满足罗尔定理.第6页/共34页第六页，共35页。71.证明证明(zhngmng)恒等式恒等式例例1. 证明证明(zhngmng)等式等式证证: 设设由推论由推论(tuln)可可知知 (常数常数) 令令 x = 0 , 得得又又故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立.自证自证:第7页/共34页第七页，共35页。8例例1. 证明证明(zhngmng)不等式不等式证证: 设设的条件的条件(tiojin),即即因为因为(yn wi)所以所以因此应有因此应有2.证明不等式证明不等式第8页/共34页第八页，共35页。9例例2. 设函数设函数(hns
5、h)在在上二阶可导上二阶可导,且且证明证明(zhngmng)证证:由泰勒由泰勒(ti l)公式得公式得两式相减得两式相减得第9页/共34页第九页，共35页。103. 证明有关中值问题证明有关中值问题(wnt)的结的结论论题型一题型一.保号性保号性 定理定理(dngl)例例1. 设设试证：试证：证证: 不妨不妨(bfng)设设必有必有使使故故保号性保号性 定理定理必有必有使使故故又在又在上上连续连续,由零点定理知由零点定理知, 存在存在第10页/共34页第十页，共35页。11例例2. 设设分析分析(fnx)：第11页/共34页第十一页，共35页。12例例2. 设设第12页/共34页第十二页，共3
6、5页。13题型二题型二.第13页/共34页第十三页，共35页。14例例3. 设设分析分析(fnx)：保号性保号性 定理定理(dngl)证证: 不妨不妨(bfng)设设必有必有保号性保号性 定理定理必有必有第14页/共34页第十四页，共35页。15例例3. 设设第15页/共34页第十五页，共35页。16例例4. 设设分析：想用罗尔定理时找辅助分析：想用罗尔定理时找辅助(fzh)函数的方法函数的方法证证:第16页/共34页第十六页，共35页。17例例5. 设设证证:第17页/共34页第十七页，共35页。18题型三题型三.例例6. 设设分析分析(fnx)：第18页/共34页第十八页，共35页。19例
7、例6. 设设解：解：第19页/共34页第十九页，共35页。20例例6. 设设第20页/共34页第二十页，共35页。21例例6. 设设第21页/共34页第二十一页，共35页。22题型四题型四.第22页/共34页第二十二页，共35页。23例例7. 设设在在内可导内可导, 且且证明至少存在证明至少存在(cnzi)一点一点上连续上连续(linx), 在在分析分析: 问题问题(wnt)转化为证：转化为证：证明：证明：设辅助函数设辅助函数显然显然故至少故至少使使即有即有存在一点存在一点第23页/共34页第二十三页，共35页。24例例8.设设证明证明(zhngmng)：设辅助设辅助(fzh)函数函数只需验证
8、只需验证(ynzhng)：分析分析:第24页/共34页第二十四页，共35页。25例例8.设设证明证明(zhngmng)：第25页/共34页第二十五页，共35页。26例例9.设设证明证明(zhngmng)：设辅助设辅助(fzh)函数：函数：只需验证只需验证(ynzhng)：分析分析:第26页/共34页第二十六页，共35页。27题型五题型五.第27页/共34页第二十七页，共35页。28例例10.设设分析分析(fnx):第28页/共34页第二十八页，共35页。29题型六题型六.例例11.试证存在试证存在(cnzi)证证: 欲证欲证将将代入代入 , 化简得化简得故有故有即要证即要证第29页/共34页第
9、二十九页，共35页。30已知函数已知函数(hnsh)内可导内可导, 且且证证: (1) 令令使使 即即(2005 考研考研(ko yn)数数1,2)(2) 根据根据(gnj)拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理, 使使练习练习.第30页/共34页第三十页，共35页。31练习练习(linx)：分析分析(fnx)：解：解：第31页/共34页第三十一页，共35页。32总之，总之， 有关有关(yugun)中值问题的解题方法中值问题的解题方法:利用利用(lyng)逆向思维逆向思维 , 设辅助函设辅助函数数 .一般一般(ybn)解题解题方法方法:(1)证明含一个中值的等式或根的存在证明含一个中值的等式或根的存
10、在 ,(2) 若结论中涉及含中值的两个不同函数若结论中涉及含中值的两个不同函数 ,(3) 若结论中含两个或两个以上的中值若结论中含两个或两个以上的中值 ,可用原函数法找辅助函数可用原函数法找辅助函数 .多用多用罗尔定理罗尔定理,可考虑用可考虑用柯柯西中值定理西中值定理 .必须必须多次应用多次应用中值定理中值定理 .(4) 若已知条件中含高阶导数若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用多考虑用泰勒公式泰勒公式 ,有时也可考虑有时也可考虑对导数用中值定理对导数用中值定理 .第32页/共34页第三十二页，共35页。34感谢您的欣赏(xnshng)！第34页/共34页第三十四页，共35页。内容(nirng)总结1。内具有 n + 1 阶导数,。2. 零点定理与介值定理。则对 A 与 B 之间的任一数 C ,。3. 费马定理。4. 积分中值定理。实质:把积分转化为被积函数在某点的函数值.。牛顿 莱布尼茨公式。研究函数或导数的性态导数的应用及求不定式的极限(jxin)。2. 证明不等式.。3. 证明有关中值问题的结论.。(3) 根据 a b 的关系,证明出不等式.。令 x = 0 , 得。例7. 设。将代入 , 化简得第三十五页，共35页。
