《高中数学 2.3函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教A版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 2.3函数的奇偶性与周期性课件 理 新人教A版（56页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三节函数的奇偶性与周期性第三节函数的奇偶性与周期性内内 容容 知识要求知识要求了解了解(A)(A)理解理解(B)(B)掌握掌握(C)(C)奇偶性奇偶性 周期性周期性三年三年1111考考 高考指数高考指数:1.1.函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考点；函数的奇偶性、周期性的应用是高考的重要考点；2.2.常与函数的图象、单调性、对称性、零点等综合命题常与函数的图象、单调性、对称性、零点等综合命题; ;3.3.多以选择、填空题的形式出现，属中低档题目多以选择、填空题的形式出现，属中低档题目. .1.1.奇函数、偶函数的定义奇函数、偶函数的定义对于函数对于函数f(xf(x) )的定义域内的任意
2、一个的定义域内的任意一个x.x.(1)f(x)(1)f(x)为偶函数为偶函数_;_;(2)f(x)(2)f(x)为奇函数为奇函数_. .f(-x)=f(xf(-x)=f(x) )f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) )【即时应用【即时应用】(1)(1)判断下列六个函数是否是奇函数判断下列六个函数是否是奇函数.(.(请在括号中填请在括号中填“是是”或或“否否”) )y=xy=x2 2-|x| ( )-|x| ( )y=sin3x ( )y=sin3x ( ) ( ) ( )y=3y=3x x-3-3-x-x ( ) ( )y=|x|cosxy=|x|cosx ( ) ( )y=xy=x2
3、2,x(-1,1,x(-1,1 ( )( )(2)(2)已知已知f(xf(x)=ax)=ax2 2+bx+bx是定义在是定义在a-1,2aa-1,2a上的偶函数，那么上的偶函数，那么a+ba+b的值是的值是_._.(3)(3)已知已知f(xf(x) )为为R R上的奇函数，且当上的奇函数，且当x0x0时，时，f(xf(x)=x)=x2 2, ,则则f(xf(x)=_.)=_.【解析【解析】(1)(1)由奇函数、偶函数定义知，函数由奇函数、偶函数定义知，函数,为偶函数，为偶函数，,为奇函数为奇函数,是非奇非偶函数是非奇非偶函数. .(2)(2)由已知得由已知得 解得解得 又又f(-x)=f(xf
4、(-x)=f(x),),即即又又xx ,b=0,b=0,故故 (3)(3)由题意知由题意知f(0)=0,f(0)=0,当当x0x0,-x0,f(-xf(-x)=(-x)=(-x)2 2=x=x2 2, ,又又f(-x)=-f(x),f(xf(-x)=-f(x),f(x)=-x)=-x2 2, ,综上，综上，答案：答案：(1)(1)否否是是是是是是否否否否(2)(2)2.2.奇、偶函数图象的性质奇、偶函数图象的性质(1)(1)奇函数图象的特征：关于奇函数图象的特征：关于_对称对称. .(2)(2)偶函数图象的特征：关于偶函数图象的特征：关于_对称对称. .原点原点y y轴轴【即时应用【即时应用】
5、(1)(1)思考：函数思考：函数f(x)=x+sinx,g(x)=xf(x)=x+sinx,g(x)=xsinxsinx各自图象有何对称各自图象有何对称性？性？提示：提示：f(xf(x) )为奇函数，所以其图象关于原点对称；为奇函数，所以其图象关于原点对称；g(xg(x) )为偶函为偶函数，所以其图象关于数，所以其图象关于y y轴对称轴对称. .(2)(2)已知已知y=f(xy=f(x) )是偶函数，且其图象与是偶函数，且其图象与x x轴有轴有5 5个交点，则方程个交点，则方程f(xf(x)=0)=0的所有实根之和是的所有实根之和是_._.【解析【解析】由于偶函数的图象关于由于偶函数的图象关于
6、y y轴对称，故其与轴对称，故其与x x轴的轴的5 5个交个交点亦关于点亦关于y y轴对称，或在轴对称，或在y y轴上，故其和为轴上，故其和为0.0.答案：答案：0 03.3.周期性周期性(1)(1)周期函数：周期函数：T T为函数为函数f(xf(x) )的一个周期，则需满足的条件：的一个周期，则需满足的条件：T0;T0;_对定义域内的任意对定义域内的任意x x都成立都成立. .(2)(2)最小正周期：如果在周期函数最小正周期：如果在周期函数f(xf(x) )的所有周期中存在一个的所有周期中存在一个_，那么这个，那么这个_就叫做它的最小正周期就叫做它的最小正周期f(x+T)=f(xf(x+T)
7、=f(x) )最小的正数最小的正数最小的正数最小的正数【即时应用【即时应用】(1)(1)已知函数已知函数f(xf(x),),对对 都有都有f(x+4)=f(xf(x+4)=f(x),),且且x(0,2)x(0,2)时，时，f(xf(x)=2 012x)=2 012x2 2, ,则则f(2 013)=_.f(2 013)=_.(2)(2)函数函数f(xf(x) )对于任意实数对于任意实数x x满足条件满足条件f(x+1)=-f(xf(x+1)=-f(x),),则则f(xf(x) )的的最小正周期为最小正周期为_._.【解析【解析】(1)f(x+4)=f(x(1)f(x+4)=f(x),),f(x
8、f(x) )的最小正周期为的最小正周期为4 4，f(2 013)=f(503f(2 013)=f(5034+1)=f(1)=2 0124+1)=f(1)=2 0121 12 2=2 012.=2 012.(2)f(x+1)=-f(x(2)f(x+1)=-f(x),),f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x+2)=f(x+1)+1)=-f(x+1)=-f(x-f(x) )=f(x=f(x).).最小正周最小正周期为期为2.2.答案：答案：(1)2 012(1)2 012(2)2(2)2 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性【方法点睛【方法点睛】判断函数奇偶性的常用方法及思路判断函
9、数奇偶性的常用方法及思路(1)(1)定义法：定义法：确定定义域确定定义域定义域定义域关于原点对称关于原点对称既不是奇函数既不是奇函数也不是偶函数也不是偶函数计算计算f(-xf(-x) )确定确定f(xf(x) )与与f(-xf(-x) )的关系的关系结论结论是是否否(2)(2)图象法：图象法：f(xf(x) )的图象的图象关于原点对称关于原点对称关于关于y y轴对称轴对称f(xf(x) )为奇函数为奇函数f(xf(x) )为偶函数为偶函数(3)(3)性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇性质法：用奇、偶函数的性质来判断其和差积商函数的奇偶性偶性奇函数与奇函数奇函数与奇函数 奇函数与
10、偶函数奇函数与偶函数 偶函数与偶函数偶函数与偶函数 和和 差差奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数积积 商商【提醒【提醒】“性质法性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的成立的. .【例【例1 1】判断下列函数的奇偶性：】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x(1)f(x)=x3 3-x;-x;(2)(2) (3)(3)【解题指南【解题指南】由奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原由奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，再计算点对称，再计算f(-xf(
11、-x) )，并判断其与，并判断其与f(xf(x) )的关系，从而得出函的关系，从而得出函数的奇偶性数的奇偶性. .【规范解答【规范解答】(1)(1)显然函数显然函数f(xf(x) )的定义域为的定义域为R R，关于原点对称，关于原点对称，又又f(-xf(-x)=(-x)=(-x)3 3-(-x)=-(x-(-x)=-(x3 3-x)=-f(x-x)=-f(x),),f(xf(x) )为奇函数为奇函数. .(2)(2)使有意义，则有且使有意义，则有且1+x0,1+x0,解得函数的定义域为解得函数的定义域为(-1,1(-1,1, ,不关于原点对称，因此函数不关于原点对称，因此函数f(xf(x) )
12、既不是奇函数，也不是偶函数既不是奇函数，也不是偶函数. .(3)(3)显然函数显然函数f(xf(x) )的定义域为：的定义域为：(-(-，0)(0,+)0)(0,+)，关于原点对称，关于原点对称，当当x0x0-x0，则，则f(-xf(-x)=-(-x)=-(-x)2 2-x-x=-x=-x2 2-x=-f(x-x=-f(x) )；当当x0x0时时,-x0,-x0，则，则f(-xf(-x)=(-x)=(-x)2 2-x-x=x=x2 2-x=-f(x-x=-f(x) )；综上可知：对于定义域内的任意综上可知：对于定义域内的任意x x，总有，总有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) )成立，
13、成立，函数函数f(xf(x) )为奇函数为奇函数. .【反思【反思感悟感悟】利用定义法判断函数奇偶性时，先求定义域，利用定义法判断函数奇偶性时，先求定义域，当解析式较复杂时，要在定义域内先化简，再计算当解析式较复杂时，要在定义域内先化简，再计算f(-xf(-x),),否则否则可能得到错误结论可能得到错误结论. .应用函数奇偶性应用函数奇偶性【方法点睛【方法点睛】应用函数奇偶性可解决的问题及方法应用函数奇偶性可解决的问题及方法(1)(1)已知函数的奇偶性，求函数值已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. .(2)(2
14、)已知函数的奇偶性求解析式已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于出，或充分利用奇偶性构造关于f(xf(x) )的方程的方程( (组组) )，从而得到，从而得到f(xf(x) )的解析式的解析式. .(3)(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用常常利用待定系数法：利用f(x)f(x)f(-xf(-x)=0)=0得到关于待求参数得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解的恒等式，由系数的对
15、等性得参数的值或方程求解. .(4)(4)应用奇偶性画图象和判断单调性应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性单调性. .【例【例2 2】(1)(2011(1)(2011安徽高考安徽高考) )设设f(xf(x) )是定义在是定义在R R上的奇函数，上的奇函数，当当x0x0时，时，f(xf(x)=2x)=2x2 2-x-x，则，则f(1)=( )f(1)=( )(A)-3(A)-3(B)-1(B)-1(C)1(C)1(D)3(D)3(2)(2011(2)(2011辽宁高考辽宁高考) )若函数若函
16、数为奇函数，则为奇函数，则a=( )a=( )(3)(3)已知偶函数已知偶函数f(xf(x) )在区间在区间0 0，+)+)上单调递增，则满足上单调递增，则满足的的x x的取值范围是的取值范围是( )( )【解题指南【解题指南】(1)(1)将求将求f(1)f(1)的值转化为求的值转化为求f(-1)f(-1)的值的问题求解；的值的问题求解；(2)(2)由题意可知由题意可知f(-x)+f(xf(-x)+f(x)=0)=0，从而得到关于，从而得到关于x x的恒等式，再构的恒等式，再构建建a a的方程求解；的方程求解；(3)(3)根据奇偶性得到根据奇偶性得到 将原不等式转化为将原不等式转化为 从而求解
17、从而求解. .【规范解答【规范解答】(1)(1)选选A.A.由奇函数的定义有由奇函数的定义有f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x) )，所以，所以f(1)=-f(-1)=-f(1)=-f(-1)=-2 2(-1)(-1)2 2+1+1=-3.=-3.(2)(2)选选A.A.函数函数f(xf(x) )为奇函数为奇函数,f(x)+f(-x,f(x)+f(-x)=0)=0恒成立，即恒成立，即 恒成立恒成立. .可化为可化为(2x+1)(x-(2x+1)(x-a)=(2x-1)(x+a)a)=(2x-1)(x+a)恒成立恒成立. .整理得整理得2(1-2a)x=02(1-2a)x=0恒成立，则必有
18、恒成立，则必有1-2a=0,1-2a=0,(3)(3)选选B.f(xB.f(x) )为偶函数，为偶函数，又又f(xf(x) )在在0,+)0,+)上单调递增上单调递增, ,由由 得：得：解得解得: :【反思【反思感悟感悟】利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、利用函数的奇偶性可将未知区间上的求函数值、求解析式、作图象、判定单调性问题转化为已知区间上的函数求解析式、作图象、判定单调性问题转化为已知区间上的函数值、解析式、图象、单调性问题求解，充分体现了数学的转化值、解析式、图象、单调性问题求解，充分体现了数学的转化与化归思想与化归思想. .函数的周期性及其应用函数的周期性及其应用【方法点睛【
19、方法点睛】1.1.判断函数周期性的几个常用结论判断函数周期性的几个常用结论若对于函数若对于函数f(xf(x) )定义域内的任意一个定义域内的任意一个x x都有：都有：f(x+af(x+a)=-f(x)(a0)=-f(x)(a0)，则函数，则函数f(xf(x) )必为周期函数，必为周期函数，2|a|2|a|是它是它的一个周期；的一个周期；则函数则函数f(xf(x) )必为周期函数，必为周期函数，2|a|2|a|是它的是它的一个周期；一个周期；则函数则函数f(xf(x) )必为周期函数，必为周期函数，2|a|2|a|是它的一个是它的一个周期；周期；2.2.应用函数周期性的两个结论应用函数周期性的两
20、个结论如果如果T T是函数是函数y=f(xy=f(x) )的周期，则的周期，则kT(kZ,k0)kT(kZ,k0)也是函数也是函数y=f(xy=f(x) )的周期，的周期，即即f(x+kT)=f(xf(x+kT)=f(x) )；若已知区间若已知区间m,nm,n(mn)(m10x10时，时，|lgx|lgx|1,|1,因此结合图象及数据特点因此结合图象及数据特点y=f(xy=f(x) )与与y=|lgxy=|lgx| |的图象交点共有的图象交点共有1010个个. .【反思【反思感悟感悟】已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解已知周期函数在长度为一个周期的区间上的解析式或图象，则可求在其他区间上
21、的函数值、解析式或画出其析式或图象，则可求在其他区间上的函数值、解析式或画出其他区间上的图象，关键是用好其周期性进行转化他区间上的图象，关键是用好其周期性进行转化. .【创新探究【创新探究】创新应用函数的奇偶性与周期性创新应用函数的奇偶性与周期性【典例】【典例】(2011(2011福建高考福建高考) )对于函数对于函数f(x)=asinx+bx+cf(x)=asinx+bx+c( (其中其中,a,bR,cZ,a,bR,cZ) )，选取，选取a,b,ca,b,c的一组值计算的一组值计算f(1)f(1)和和f(-1)f(-1)，所得，所得出的正确结果一定不可能是出的正确结果一定不可能是( )( )
22、(A)4(A)4和和6 6(B)3(B)3和和1 1(C)2(C)2和和4 4(D)1(D)1和和2 2【解题指南【解题指南】解答本题需根据函数解答本题需根据函数f(xf(x) )解析式的结构特征，构解析式的结构特征，构造奇函数造奇函数g(x)=f(x)-cg(x)=f(x)-c, ,然后利用奇函数的性质，然后利用奇函数的性质，g(-g(-1)+g(1)=0,1)+g(1)=0,探究出探究出f(-1)+f(1)f(-1)+f(1)与与c c的关系，从而由的关系，从而由cZcZ限定限定f(1)f(1)与与f(-1)f(-1)不可能的取值不可能的取值. .【规范解答【规范解答】选选D.D.令令g(
23、x)=f(x)-c=asinx+bxg(x)=f(x)-c=asinx+bx, ,g(-x)=asin(-x)+b(-x)=-(asinx+bxg(-x)=asin(-x)+b(-x)=-(asinx+bx) )=-g(x=-g(x),),g(xg(x) )为定义在为定义在R R上的奇函数上的奇函数. .则由奇函数的性质，得则由奇函数的性质，得:g(-1)+g(1)=0,:g(-1)+g(1)=0,即即f(-1)+f(1)-2c=0.f(-1)+f(1)-2c=0.f(-1)+f(1)=2c,f(-1)+f(1)=2c,又又cZ,f(1)+f(-1)cZ,f(1)+f(-1)是偶数，是偶数，而
24、选项中只有而选项中只有D D中两数和为奇数，故选中两数和为奇数，故选D.D.【阅卷人点拨【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们得到以下创新点通过对本题的深入研究，我们得到以下创新点拨及备考建议拨及备考建议创创新新点点拨拨本题有以下创新点：本题有以下创新点：(1)(1)命题方式创新：题目并不是直接考查而是以间接方式，否定的形命题方式创新：题目并不是直接考查而是以间接方式，否定的形式考查式考查. .(2)(2)考查内容创新：本题通过所给函数的解析式及所求函数值，间接考查内容创新：本题通过所给函数的解析式及所求函数值，间接考查函数奇偶性的确定与应用，较好地考查了学生的创新应用意识、考查函数奇偶性的
25、确定与应用，较好地考查了学生的创新应用意识、探究能力和逻辑推理能力，是考查函数奇偶性与周期性的一个新的探究能力和逻辑推理能力，是考查函数奇偶性与周期性的一个新的亮点亮点. .备备考考建建议议从该题的解答过程来看，我们在备考函数奇偶性与周期性时还应从该题的解答过程来看，我们在备考函数奇偶性与周期性时还应注意以下问题注意以下问题: :(1)(1)熟练掌握函数奇偶性、周期性的有关概念及确定与应用的方熟练掌握函数奇偶性、周期性的有关概念及确定与应用的方法法. .(2)(2)平时学习时从所给的解析式或函数关系中，要能从其结构特平时学习时从所给的解析式或函数关系中，要能从其结构特征探究发现其隐含的奇偶性、
26、周期性，从而利用奇偶性、周期性征探究发现其隐含的奇偶性、周期性，从而利用奇偶性、周期性将问题解决将问题解决. .1.(20111.(2011山东高考山东高考) )已知已知f(xf(x) )是是R R上最小正周期为上最小正周期为2 2的周期函数的周期函数, ,且当且当0x20x2时时,f(x,f(x)=x)=x3 3-x-x，则函数，则函数y=f(xy=f(x) )的图象在区间的图象在区间0,60,6上与上与x x轴的交点个数为轴的交点个数为( )( )(A)6(A)6(B)7(B)7(C)8(C)8(D)9(D)9【解析【解析】选选B.B.令令f(xf(x)=x)=x3 3-x=0,-x=0,
27、即即x(x+1)(x-1)=0,x(x+1)(x-1)=0,所以所以x=0,1,-1,x=0,1,-1,因为因为0x2,0x2,所以此时函数的零点有两个所以此时函数的零点有两个, ,即与即与x x轴的交点个数轴的交点个数为为2.2.因为因为f(xf(x) )是是R R上最小正周期为上最小正周期为2 2的周期函数，的周期函数，所以所以2x4,4x62x4,4x6上也分别有两个零点，上也分别有两个零点，由由f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0,知知f(6)f(6)也是函数的零点，也是函数的零点，所以函数所以函数y=f(xy=f(x) )的图象在区间
28、的图象在区间0,60,6上与上与x x轴的交点个数为轴的交点个数为7.7.2.(20122.(2012咸宁模拟咸宁模拟) )已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(xf(x) )满足满足且且f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,f(-2)=f(-1)=-1,f(0)=2,则则f(1)+f(2)+f(1)+f(2)+f(2 011)+f(2 012)=( )+f(2 011)+f(2 012)=( )(A)-2(A)-2(B)-1(B)-1(C)0(C)0(D)1(D)1【解析【解析】选选A.A.因为即因为即f(xf(x) )是以是以3 3为周期的函数为周期的函数. .f(1)=f(
29、1-3)=f(-2)=-1,f(1)=f(1-3)=f(-2)=-1,f(2)=f(2-3)=f(-1)=-1,f(2)=f(2-3)=f(-1)=-1,f(3)=f(0)=2,f(3)=f(0)=2,f(1)+f(2)+f(3)=0,f(1)+f(2)+f(3)=0,f(1)+f(2)+f(1)+f(2)+f(2 011)+f(2 012)+f(2 011)+f(2 012)=670=670f(1)+f(2)+f(3)f(1)+f(2)+f(3)+f(1)+f(2)+f(1)+f(2)=670=6700+(-1)+(-1)=-2.0+(-1)+(-1)=-2.3.(20113.(2011湖南
30、高考湖南高考) )已知已知f(xf(x) )为奇函数，为奇函数，g(xg(x)=f(x)+9,)=f(x)+9,g(-2)=3,g(-2)=3,则则f(2)=_.f(2)=_.【解析【解析】因为因为f(xf(x)=g(x)-9)=g(x)-9是奇函数，所以是奇函数，所以f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x),),g(-x)-9=-g(-x)-9=-g(x)-9g(x)-9, ,g(-2)-9=-g(-2)-9=-g(2)-9g(2)-9, ,g(-2)=3,g(2)=15,g(-2)=3,g(2)=15,所以所以f(2)=g(2)-9=6.f(2)=g(2)-9=6.答案：答案：6 64.
31、(20114.(2011 浙江高考浙江高考) )若函数若函数f(xf(x)=x)=x2 2-|x+a|-|x+a|为偶函数，则实数为偶函数，则实数a=_.a=_.【解析【解析】方法一：方法一：f(xf(x) )为偶函数，为偶函数，f(-x)=f(xf(-x)=f(x),),即即x x2 2-|x+a|=(-x)-|x+a|=(-x)2 2-|-x+a|-|-x+a|x+a|=|x-a|x+a|=|x-a|恒成立，恒成立，a=0.a=0.方法二：函数方法二：函数y=xy=x2 2为偶函数，函数为偶函数，函数y=|x+ay=|x+a| |是由偶函数是由偶函数y=|x|y=|x|向向左或向右平移了左或向右平移了|a|a|个单位，要使整个函数为偶函数，则需个单位，要使整个函数为偶函数，则需a=0.a=0.答案：答案：0 0
