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1、1上下1上下 第七章第七章 多元微分学多元微分学 空间曲面与曲线多元复合函数及隐函数求导法则多元函数的极值和最优化问题偏微商与全微分多元函数的基本概念12上下2上下教学目的教学目的:本章重点本章重点:本章难点本章难点:偏导数与全微分的概念，多元复合函偏导数与全微分的概念，多元复合函数求导法则，多元函数极值求法数求导法则，多元函数极值求法. .二元复合函数微分法，多元函数的极二元复合函数微分法，多元函数的极值与求法值与求法. . 23上下3上下一、一、复合函数求导法则复合函数求导法则定理定理 (1) u= (x,y),v= (x,y)的偏导数在点的偏导数在点 (x，y) 处连续处连续; (2)
2、函数函数z= f(u,v)的偏导数在的偏导数在(x,y)的对应点的对应点 (u,v)处连续处连续. 则复合函数则复合函数 z= f (x,y), (x,y) 在在(x,y)处存在连续的偏导数，且处存在连续的偏导数，且7.4 多元复合函数及隐函数求导法则多元复合函数及隐函数求导法则34上下4上下z=fuvxyxy链式法则链式法则复合函数复合函数求导法则求导法则z= f (u,v) u=u(x,y),v=v(x,y)45上下5上下幂指函数幂指函数注注: 此此题题必必须须用用链链式式法法则则来来解解导数导数56上下6上下解：解：练习练习67上下7上下考研考研题目题目78上下8上下几种常见的形式几种常
3、见的形式（1）若）若z= f(u,v), u=u (x), v= v (x) 只有一个自变量只有一个自变量 uvxz= f则则这时这时89上下9上下(2)若若z= f(u), u=u(x,y), u是是一个中间变量一个中间变量z=fuxy910上下10上下(3)若若z=f (u,x,y), u= (x,y)z=fuxyxy对于本形式，要注意以下几点：对于本形式，要注意以下几点：1011上下11上下 注意注意1.这里这里x, y具有具有双重双重身份：既作为自变身份：既作为自变量，也作为中间变量。量，也作为中间变量。2.前一个把前一个把x看作自变量，看作自变量，后一个把后一个把x看作中间变量。看作
4、中间变量。 z=fuxyxy1112上下12上下例例 设设z=xy+et, x=sint, y=cost. 求求 解解1213上下13上下例例 设设u= f(x,y,z),z=sin(x2+y2),求求u=fyxzxy解解练习练习1314上下14上下例例 设设z= f(x2-y2,exy),f 有连续偏导数求有连续偏导数求z=fuvyxxy 解解1415上下15上下例例 设设z= f (x2-y2,exy), f 有连续偏导数求有连续偏导数求z=fuvyxxy 解解z=fuvyxxy1519上下19上下隐函数微分法隐函数微分法(1.二元方程确定的一元隐函数二元方程确定的一元隐函数) 设设F(x
5、,y)=0确定确定y是是x的可微函数的可微函数y=y(x),则则 Fx,y(x) 0 ,可知，可知，F通过通过y是是x的函的函数。数。 Fxyx二、复合函数微分法的应用二、复合函数微分法的应用利用复合函数微分法利用复合函数微分法1920上下20上下导数导数2021上下21上下练习练习2122上下22上下2. 三元方程确定的二元隐函数三元方程确定的二元隐函数设设F(x,y,z)=0确定确定z是是x,y的函数的函数,根据链式法则有根据链式法则有Fxyzxy2223上下23上下2324上下24上下2425上下25上下小节小节复合函数求导法则复合函数求导法则隐函数求导法则隐函数求导法则设设F(x,y,z)=0确定确定z是是x,y的函数的函数,根据链式法则有根据链式法则有作业作业: 5.3节节 1, 3(1), 5, 92526上下26上下补充：补充： 关于齐次函数的欧拉定理关于齐次函数的欧拉定理欧拉定理欧拉定理： 导数导数,26
