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1、第二节 Lesbesgue积分的定义及性质第五章 积分理论2021/3/112021/3/111 11.1.积分的定义积分的定义 设 是 ( Ei可测且两两不交）上非负简单函数，定义 为 在E上的Lebesgue积分例：对Dirichlet函数0 1非负简单函数的积分2021/3/112021/3/112 22021/3/112021/3/113 32021/3/112021/3/114 42021/3/112021/3/115 52021/3/112021/3/116 62021/3/112021/3/117 7例：若例：若E E1 1, E, E2 2, E, En n是是0,10,1中的
2、可测集，中的可测集，0,10,1中每一点中每一点至少属于上述集合中的至少属于上述集合中的k k个个(kn),(kn),则在则在E E1 1, E, E2 2, E, En n中必中必有一个点集的测度大于或等于有一个点集的测度大于或等于k/nk/n2021/3/112021/3/118 8非负可测函数的积分非负可测函数的积分为f(x)在E上的Lebesgue积分设f(x)为E上非负可测函数，定义若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数 的极限 ，而且还可办到2021/3/112021/3/119 92021/3/112021/3/111010积分的性质积分的性质零集上的任何函
3、数的积分为02021/3/112021/3/1111112021/3/112021/3/1112122021/3/112021/3/1113132021/3/112021/3/111414例 设fn(x)为E上非负可测函数列，用到了积分的可加性2021/3/112021/3/1115152021/3/112021/3/1116162021/3/112021/3/1117171.Levi逐项积分定理只要证明大于等于，但一般而言fn(x)不会跑到f(x)上方,所以我们有必要先把f(x)下移一点。 f(x)cf(x) fn(x)若fn(x)为E上非负可测函数列，说明：小于等于显然成立，因为fn(x)
4、总在f(x)的下方,2021/3/112021/3/111818LeviLevi逐项积分定理的证明逐项积分定理的证明引理1：设En是递增集列， 是Rn上的非负可测简单函数，则引理2：设f(x)是E上的非负可测函数，A是E中可测子集，则证明：由条件知fn(x)为E上非负可测函数递增列，有定义，且从函数列的渐升性知道下证大于等于号2021/3/112021/3/111919LeviLevi逐项积分定理的证明逐项积分定理的证明证明：令c满足0c1， 是Rn上的非负可测简单函数，且则En是递增集列，由引理1知 c(x) f(x) fn(x)(x)2021/3/112021/3/112020LeviLe
5、vi逐项积分定理的证明逐项积分定理的证明再由的积分定义知于是从（应用引理2） f(x)(x)c(x) fn(x)2021/3/112021/3/112121注：Levi定理的重要性在于对非负上升可测函数列，其极限运算与积分运算的次序可以交换。而任何非负可测函数可由上升的非负简单函数列来逼近，因此非负可测函数的积分性质可通过逼近方式从简单可测函数的积分性质来获得。2021/3/112021/3/1122222021/3/112021/3/1123232021/3/112021/3/1124242.Lebesgue逐项积分定理（级数形式）然后利用Levi逐项积分定理即可对应于测度的可数可加性若fn
6、(x)为E上非负可测函数列， 则对比:积分的线性(有限个函数作和)2021/3/112021/3/1125254.Fatou引理若fn(x)为E上非负可测函数列，则2021/3/112021/3/112626一般可测函数的积分一般可测函数的积分积分的几何意义：注：当 有限时，称f(x)在E上 L可积（要求 不同时为 ）为f(x)在E上的Lebesgue积分（有积分） 设f(x)为E上的可测函数，定义2021/3/112021/3/112727积分的性质积分的性质1）零集上的任何函数的积分为0 （2）2021/3/112021/3/1128282021/3/112021/3/1129292021
7、/3/112021/3/1130302021/3/112021/3/1131312021/3/112021/3/1132322021/3/112021/3/1133332021/3/112021/3/1134342021/3/112021/3/1135352021/3/112021/3/1136362021/3/112021/3/1137372021/3/112021/3/1138382021/3/112021/3/1139392021/3/112021/3/114040积分的绝对连续性积分的绝对连续性说明：若|f(x)|M,则只要取=/M即可，所以我们要把f(x)转化为有界函数。 若f(x)
8、在E上可积，则及任何可测子集有即：当积分区域很小时，积分值也很小.2021/3/112021/3/114141积分的绝对连续性的证明积分的绝对连续性的证明证明：由于f(x)可积，故|f(x)|也可积故对任意，存在E上的简单函数(x) ，使在E上由于(x)为简单函数，故存在M，使得|(x)|M2021/3/112021/3/1142422021/3/112021/3/1143432021/3/112021/3/1144442021/3/112021/3/114545例例 设设00, ,11上的函数上的函数f(x)f(x)在在CantorCantor集集P P上定义为上定义为0 0，在，在C Ca
9、ntorantor集余集中长度为集余集中长度为1/31/3n n的构成区间上定义为的构成区间上定义为n n(n=1,2,3(n=1,2,3，) ) ，求，求f(x)f(x)在在00, ,11上的上的LebesgueLebesgue积分值积分值 解：令Gn为Cantor集P的余集中长度为1/3n的构成区间的并，由条件知f(x)是0,1上的非负可测函数，根据积分的可数可加性知 2021/3/112021/3/1146465.Lebesgue控制收敛定理证明：显然f(x)为E上可测函数（可测函数列的极限函数是可测函数）设fn(x)为E上可测函数列， a.e.于E，且存在非负可积函数F(x)，使得|f
10、n(x)| F(x) a.e.于E，且由|fn(x)| F(x) a.e.于E，知|f(x)| F(x) a.e.于E，所以fn(x)， f(x)都为E上可积函数则f(x)在E上可积且2021/3/112021/3/114747由|fn(x)| F(x) a.e.于E，知F(x)fn(x) 0 a.e.于E，由Fatou引理知又F(x)可积，从而LebesgueLebesgue控制收敛定理的证明控制收敛定理的证明2021/3/112021/3/114848例例 试求试求从而Lebesgue控制收敛定理知：2021/3/112021/3/1149492021/3/112021/3/1150502021/3/112021/3/1151512021/3/112021/3/1152522021/3/112021/3/115353
