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1、物理学物理学第五版第五版4-7 4-7 波的能量波的能量1一一 波动能量的传播波动能量的传播 波的传播是能量的传播，传播过程中波的传播是能量的传播，传播过程中，介质中的质点运动，具有动能介质中的质点运动，具有动能 ，介质形变介质形变具有势能具有势能 .pWkW1 1 波的能量波的能量 媒质质元能量是如何变化的？媒质质元能量是如何变化的？ 能量传播的规律如何？能量传播的规律如何？这里要搞清：这里要搞清：物理学物理学第五版第五版4-7 4-7 波的能量波的能量1.质点振动的速度和加速度质点振动的速度和加速度（1）v 是质点的振动速度是质点的振动速度, 与波速与波速 u不同。不同。 反之亦然反之亦然
2、（3）a 与与v 的位相差为的位相差为（2）v 与与 y的位相差为的位相差为18物理学物理学第五版第五版4-7 4-7 波的能量波的能量3以棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播以棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.振动动能振动动能xO物理学物理学第五版第五版4-7 4-7 波的能量波的能量4弹性势能弹性势能l l FF杨氏杨氏模量模量质元长度质元长度dx, ,伸伸长量长量dy,体体积dVxO物理学物理学第五版第五版4-7 4-7 波的能量波的能量5体积元的总机械能体积元的总机械能物理学物理学第五版第五版4-7 4-7 波的能量波的能量6讨讨 论论 ( (1) )在波动传播的介质中，任一体积元
3、的在波动传播的介质中，任一体积元的动能、势能、总机械能均随动能、势能、总机械能均随 作周期性变作周期性变化，且变化是化，且变化是同相位同相位的的.xy(2)(2)其周期为波动周期的一半。其周期为波动周期的一半。Ek、EP同时达到最大同时达到最大同时达到最小同时达到最小（平衡位置处）（平衡位置处）（最大位移处）（最大位移处）速度小速度小, ,形变小形变小速度大速度大, ,形变大形变大物理学物理学第五版第五版4-7 4-7 波的能量波的能量7(3)(3)任一体积元都在不断地接收和放出能量，任一体积元都在不断地接收和放出能量，机械能不守恒机械能不守恒. 平均讲来，体积元的能量密度保持不变，平均讲来，
4、体积元的能量密度保持不变，即媒质中并不积累能量。因而它是一个能量即媒质中并不积累能量。因而它是一个能量传递的过程，或者说波是能量传播的一种形传递的过程，或者说波是能量传播的一种形式；波动的能量沿波速方向传播；式；波动的能量沿波速方向传播；物理学物理学第五版第五版4-7 4-7 波的能量波的能量8能量密度：能量密度：单位体积介质中的波动能量单位体积介质中的波动能量 平均平均能量密度：能量密度在一个周期内的能量密度：能量密度在一个周期内的平均值平均值物理学物理学第五版第五版4-7 4-7 波的能量波的能量9二二 能流和能流密度能流和能流密度 能流：能流：单位时间内垂直通过某一面积的单位时间内垂直通
5、过某一面积的能量能量.平均能流：平均能流：udtS单位：单位：焦耳焦耳/秒，秒，瓦，瓦，Js-1，W物理学物理学第五版第五版4-7 4-7 波的能量波的能量10 能流密度能流密度 ( ( 波的强度波的强度 )I: )I: 通过垂直于波传播方向的单位面积的平通过垂直于波传播方向的单位面积的平均能流均能流. SuwP =udtS换句话说，能流密度是单位时间内通过垂直换句话说，能流密度是单位时间内通过垂直于波速方向的单位截面的平均能量。于波速方向的单位截面的平均能量。物理学物理学第五版第五版4-7 4-7 波的能量波的能量11 例例1 1 证明球面波的振幅与离开其波源的证明球面波的振幅与离开其波源的
6、距离成反比，并求球面简谐波的波函数距离成反比，并求球面简谐波的波函数. 证证 介质无吸收，通过两个球面的平均能介质无吸收，通过两个球面的平均能流相等流相等.即即故故物理学物理学第五版第五版4-7 4-7 波的能量波的能量12例例2：一球面波源的功率为一球面波源的功率为 100W，则距波源则距波源 10m 处，波的平均能流密度处，波的平均能流密度 I 是多少？是多少？解：解：（W m-2 ）物理学物理学第五版第五版4-7 4-7 波的能量波的能量对如图的平面简谐波对如图的平面简谐波t时刻的波形曲线时刻的波形曲线,下列各结论下列各结论哪个是正确的哪个是正确的?yxABC B处处质元的振动动能减质元
7、的振动动能减小小,则其弹性势能必增大则其弹性势能必增大;答：质元的振动动能和弹性势答：质元的振动动能和弹性势能是同相位的能是同相位的 ，同时增大，同，同时增大，同时减少。时减少。错错 A处处质元回到平衡位置的过程中质元回到平衡位置的过程中,它把自己的能它把自己的能量传给相邻的质元量传给相邻的质元,其能量逐渐减小其能量逐渐减小;答：在平衡位置质元的振动动能和弹性势能最大，所答：在平衡位置质元的振动动能和弹性势能最大，所以以A A处质元回到平衡位置的过程中能量应该逐渐增大。处质元回到平衡位置的过程中能量应该逐渐增大。物理学物理学第五版第五版4-7 4-7 波的能量波的能量 B处处质元振动动能增大质
8、元振动动能增大,则波一定沿则波一定沿x负方向传播负方向传播;x 答：答： B处处质元振动动能增大质元振动动能增大,则它将向平衡位置移动，作图则它将向平衡位置移动，作图可知波一定沿可知波一定沿x负方向传播负方向传播;对 B处处质元振动动能减小质元振动动能减小,则则C处处质元振动动能一定增大质元振动动能一定增大; 答：答：B处处质元振动动能减小质元振动动能减小,可知波一定沿可知波一定沿x正方向传正方向传播，作图，看出播，作图，看出C处处质元远离平衡位置，则振动动能质元远离平衡位置，则振动动能一定减少。一定减少。错ABC物理学物理学第五版第五版4-7 4-7 波的能量波的能量xABC C处处质元质元
9、t时刻波的能量时刻波的能量(动能与势能之和动能与势能之和)是是10J,则则在在(t+T)时刻时刻(T为周期为周期)该处该处质元振动动能一定是质元振动动能一定是5J;答：答： 动能与势能在任意时刻都相等，又动能与势能在任意时刻都相等，又t时刻波的能时刻波的能量量与在与在(t+T)时刻时刻(T为周期为周期)的能量应该相同，所以在的能量应该相同，所以在(t+T)时刻时刻C处质元振动动能一定是处质元振动动能一定是5J;对物理学物理学第五版第五版4-8 4-8 波的干涉波的干涉 介质中波动传播到的各点都可以看作是介质中波动传播到的各点都可以看作是发射子波的波源，而在其后的任意时刻，这发射子波的波源，而在
10、其后的任意时刻，这些子波的包络就是新的波前些子波的包络就是新的波前.一一 惠更斯原理惠更斯原理 核心是子波。根据惠更斯原理，只要知核心是子波。根据惠更斯原理，只要知道某一时刻的波阵面，就可以确定下一时刻道某一时刻的波阵面，就可以确定下一时刻的波阵面。的波阵面。子波子波波阵面波阵面包络包络新的波新的波阵面阵面物理学物理学第五版第五版4-8 4-8 波的干涉波的干涉17子波波源子波波源波前波前子波子波O 适用于任何波动过程适用于任何波动过程适用于任何介质（均匀的，非均匀的）适用于任何介质（均匀的，非均匀的）几何作图法几何作图法利用惠更斯原理可解释波的折射、反射和衍射。利用惠更斯原理可解释波的折射、
11、反射和衍射。1 1、波的反射定律、波的反射定律2 2、波的折射定律、波的折射定律 3 3、波的衍射、波的衍射物理学物理学第五版第五版4-8 4-8 波的干涉波的干涉18 波在传播过程中遇到障碍物，而发生偏波在传播过程中遇到障碍物，而发生偏离原方向传离原方向传播，播，能绕过障碍物的边缘，在障能绕过障碍物的边缘，在障碍物的阴影区内继续传播碍物的阴影区内继续传播. 二二 波的衍射波的衍射当狭缝缩小，与波长相近时，衍射效果显著。当狭缝缩小，与波长相近时，衍射效果显著。衍射现象是波动特征之一。衍射现象是波动特征之一。物理学物理学第五版第五版4-8 4-8 波的干涉波的干涉19三三 波的干涉波的干涉1波的
12、传播规律波的传播规律 独立性：独立性：两列波在某区域相遇后再分开，两列波在某区域相遇后再分开，传播情况与未相遇时相同，互不干扰传播情况与未相遇时相同，互不干扰. 波的叠加性：波的叠加性：在相遇区，任一质点的振在相遇区，任一质点的振动为二波单独在该点引起的振动的合成动为二波单独在该点引起的振动的合成.能分辨不同的声能分辨不同的声音正是这个原因音正是这个原因物理学物理学第五版第五版4-8 4-8 波的干涉波的干涉20 频率相同、振动频率相同、振动方向平行、相位相同方向平行、相位相同或相位差恒定的两列或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地波相遇时，使某些地方振动始终加强，而方振动始终加强，而使另一些地
13、方振动始使另一些地方振动始终减弱的现象，称为终减弱的现象，称为波的干涉现象波的干涉现象.2 波的干涉波的干涉物理学物理学第五版第五版4-8 4-8 波的干涉波的干涉21波频率相同，振动方向相同，位相差恒定波频率相同，振动方向相同，位相差恒定 例例 水波干涉水波干涉 光波干涉光波干涉 某些点振动始终加强，另一些点振动始终某些点振动始终加强，另一些点振动始终减弱或完全抵消减弱或完全抵消. ( (2) )干涉现象干涉现象满足干涉条件的波称相干波满足干涉条件的波称相干波.( (1) )干涉条件干涉条件物理学物理学第五版第五版4-8 4-8 波的干涉波的干涉22波源振动波源振动点点P 的两个分振动的两个
14、分振动( (3) )干涉现象的定量讨论干涉现象的定量讨论*物理学物理学第五版第五版4-8 4-8 波的干涉波的干涉23定值定值* 由于由于 ，所以合振动，所以合振动的强度为：的强度为：物理学物理学第五版第五版4-8 4-8 波的干涉波的干涉24合振幅最大合振幅最大当当合振幅最小合振幅最小当当位相差位相差 决定了合振幅的大小决定了合振幅的大小. .讨讨 论论干涉加强（相长）干涉加强（相长）干涉减弱（相消）干涉减弱（相消）物理学物理学第五版第五版4-8 4-8 波的干涉波的干涉25位相差位相差加强加强减弱减弱称为波程差称为波程差（波走过的路程之差）（波走过的路程之差）则则如果如果 即相干波源即相干
15、波源S1、S2同位相同位相物理学物理学第五版第五版4-8 4-8 波的干涉波的干涉26 将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉将合振幅加强、减弱的条件转化为干涉的波程差条件，则有的波程差条件，则有当当时（半波长偶数倍）时（半波长偶数倍）合振幅最大合振幅最大当当时（半波长奇数倍）时（半波长奇数倍） 合振幅最小合振幅最小 干涉的波程差条件干涉的波程差条件物理学物理学第五版第五版4-8 4-8 波的干涉波的干涉27例例1 1 如图所示，如图所示，A、B 两点两点为同一介质中两相干波源为同一介质中两相干波源. .其振幅皆为其振幅皆为5 cm，频率皆，频率皆为为100 Hz，但当点，但当点 A 为波为波峰时
16、，点峰时，点B 恰为波谷恰为波谷.设波设波速为速为 ，试写出由，试写出由A、B发出的两列波传到点发出的两列波传到点P 时时干涉的结果干涉的结果.15 m20 mABP物理学物理学第五版第五版4-8 4-8 波的干涉波的干涉28设设 A 的相位较的相位较 B 超超前前点点P 合振幅合振幅解解(m)15 m20 mABP物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波29一一 驻波的产生驻波的产生1 现象现象特点：媒质中各质点都作特点：媒质中各质点都作振幅各不相同振幅各不相同的稳的稳定振动。波形并没有传播。定振动。波形并没有传播。物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波302 条件条件 两
17、列振幅相同的相干波相向传播两列振幅相同的相干波相向传播物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波3 驻驻 波波 的的 形形 成成物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波32物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波33二二 驻波方程驻波方程正向正向负向负向振振幅幅 ？物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波34 驻波方程驻波方程 讨论讨论( (1) )振幅振幅 随随 x 而异而异, ,与时间无关与时间无关 当当处为波节处为波节位置：位置：相邻波节间距：相邻波节间距：参与波动的每个点振幅恒定不变，不同质参与波动的每个点振幅恒定不变，不同质元的振幅不同。元的振幅不同。物
18、理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波35处为波腹处为波腹 当当相邻波腹间距：相邻波腹间距：xy波节波节波腹波腹振幅包络图振幅包络图物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波36( (2) ) 相位分布相位分布相邻两波节间各点相邻两波节间各点振动相位相同振动相位相同一波节两侧各点一波节两侧各点振动相位相反振动相位相反（3）驻波中没有净能量传递驻波中没有净能量传递 能流密度能流密度结论：结论：波形不动波形不动, 分段振动分段振动( (驻波驻波) )物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波37 边界条件边界条件 驻波一般由入射、反射波叠加而成，反驻波一般由入射、反射波叠加而成
19、，反射发生在两介质交界面上，在交界面处出现射发生在两介质交界面上，在交界面处出现波节还是波腹，取决于介质的性质波节还是波腹，取决于介质的性质. 波疏介质波疏介质, ,波密介质波密介质介质分类介质分类物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波38波波密密介介质质较较大大波波疏疏介介质质较较小小波疏介质波疏介质 波密介质波密介质物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波39 当波从波疏介质垂直入射到波密介质当波从波疏介质垂直入射到波密介质, ,被反射到波疏介质时形成被反射到波疏介质时形成波节波节. 入射波与反入射波与反射波在此处的相位时时射波在此处的相位时时相反相反, , 即反射波在即
20、反射波在分分界处界处产生产生 的相位的相位跃变跃变，相当于出现了半个，相当于出现了半个波长的波程差，称波长的波程差，称半波损失半波损失.三三 相位跃变相位跃变（半波损失）（半波损失）物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波40物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波41 当波从波密介质垂直入射到波疏介质，当波从波密介质垂直入射到波疏介质， 被反射到波密介质时形成被反射到波密介质时形成波腹波腹. 入射波与反入射波与反射波在此处的相位时时射波在此处的相位时时相同相同，即反射波在分，即反射波在分界处界处不不产生相位产生相位跃变跃变.波密介质波密介质 波疏介质波疏介质物理学物理学第五版
21、第五版4-9 4-9 驻波驻波42四四 驻波的能量驻波的能量AB C波波节节波波腹腹位移最大时位移最大时平衡位置时平衡位置时物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波43各质点位移达到最大时各质点位移达到最大时,动能为零，势能不为动能为零，势能不为零。在波节处相对形变最大，势能最大；在零。在波节处相对形变最大，势能最大；在波腹处相对形变最小，势能最小。波腹处相对形变最小，势能最小。势能集中势能集中在波节在波节。当各质点回到平衡位置时，全部势。当各质点回到平衡位置时，全部势能为零；动能最大。能为零；动能最大。动能集中在波腹动能集中在波腹。驻波的能量驻波的能量能量从波腹传到波节，又从波节传到
22、波腹，能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复循环，能量不被传播往复循环，能量不被传播物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波44五五 振动的简正模式振动的简正模式 两端两端固定固定的弦线形成的弦线形成驻驻波时，波长波时，波长 和弦线长和弦线长 应满足应满足 物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波45 两端两端固定固定的弦振动的简正模式的弦振动的简正模式物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波46一端一端固定固定一端一端自由自由的弦振动的简正模式的弦振动的简正模式物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波47例题例题 ： 位于位于A、B两点的两个波源，振幅相等
23、，两点的两个波源，振幅相等，频率都是频率都是100赫兹，相差为赫兹，相差为 ，其，其A、B 相距相距30米，米，波速为波速为400米米/秒，求秒，求: AB连线之间因相干涉而连线之间因相干涉而静止的各点的位置。静止的各点的位置。解：解：如图所示，取如图所示，取A点为坐标原点，点为坐标原点，A、B联线联线为为X轴，取轴，取A点的振动方程点的振动方程 :物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波48相干相消的点需满足：相干相消的点需满足：可见在可见在A、B两点是波腹处。两点是波腹处。物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波49 例例 如图如图, 一列沿一列沿x轴正向传播的简谐波轴正向
24、传播的简谐波方程为方程为 (m)（1）在在1，2两种介质分界面上点两种介质分界面上点A与坐标原点与坐标原点O相距相距L=2.25 m.已知介质已知介质2的波阻大于介质的波阻大于介质1的波阻的波阻, 反射波与入射波的振幅相等反射波与入射波的振幅相等, 求：求： （1）反射波方程反射波方程;（2）驻波方程驻波方程;（3）在在OA之间波节和波腹的位置坐标之间波节和波腹的位置坐标.yLOAx12物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波50解解 (1)设反射波方程为设反射波方程为由式由式（1）得得A点的入射振动方程点的入射振动方程（2）yLOAx1 2（3）A点的反射振动方程点的反射振动方程物理
25、学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波51 由式由式（2）得得A点的反射振动方程点的反射振动方程 由式由式（3）和式和式（4）得：得：舍去舍去（4）所以反射波方程为：所以反射波方程为：(m)（3）物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波（2）物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波53（2）（3） 令令令令得波节坐标得波节坐标得波腹坐标得波腹坐标物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波练习：练习：已知入射波和反射波在已知入射波和反射波在t=0的波形图的波形图,画画出出t=T/4， t=T/2， t=3T/4， t=T波形图及与之波形图及与之相应的驻波图相应的驻波图
26、物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波练习练习波长为波长为 的平面简谐波沿的平面简谐波沿 x正向传播如图正向传播如图已知已知 Q 处振动方程为处振动方程为 , 波在波在M处遇一波密媒质反射面处遇一波密媒质反射面, 且假设反射波振幅仍且假设反射波振幅仍为为A。 求：求：（1）该平面简谐波方程；）该平面简谐波方程；（2）反射波方程；）反射波方程；（3）驻波方程。）驻波方程。37物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波解解:（1）以）以Q 为参考点为参考点37物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波（2）以以 P 为参考点，波由为参考点，波由所需时间所需时间+ ?整理后得整理后得反射波为反射波为38物理学物理学第五版第五版4-9 4-9 驻波驻波（3）波腹波腹共共10个波腹个波腹入射波与反射波叠加成驻波，方程为入射波与反射波叠加成驻波，方程为39
