《同济大学高等数学第七版-无穷小的比较》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学高等数学第七版-无穷小的比较（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1无穷小的比较无穷小的比较利用等价无穷小替换求极限利用等价无穷小替换求极限第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较2一、无穷小的比较一、无穷小的比较3无穷小无穷小+ +无穷小无穷小= =无穷小无穷小无穷小无穷小- -无穷小无穷小= =无穷小无穷小无穷小无穷小无穷小无穷小= =无穷小无穷小但：但： = =？无穷小无穷小无穷小无穷小如如, ,是无穷小是无穷小.如何比较两个无穷小？如何比较两个无穷小？40.010.00010.10.010.0010.000001例例 考察考察 时，时， 趋于零的快慢趋于零的快慢定义定义记作记作是同一过程中的两个无穷小是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小高阶的无穷小;
2、低阶的无穷小低阶的无穷小;b ba a,设设. 0 a a且且a ab b是比是比就说就说无穷小的比较无穷小的比较同阶无穷小同阶无穷小;6定义定义记作记作是同一过程中的两个无穷小是同一过程中的两个无穷小,等价无穷小等价无穷小,b ba a,设设. 0 a a且且无穷小的比较无穷小的比较 k 阶无穷小阶无穷小.7所以当所以当x 0时，时，3x 2是比是比x 高阶的无穷小，高阶的无穷小，即即3x 2= =o(x)( ( x 0) )例例 比较无穷小：比较无穷小：所以当所以当x 0时，时，1- -cos x 与与x2 的同阶无穷小。的同阶无穷小。当当x 0时，时，1- -cos x 是是x 的二阶无
3、穷小。的二阶无穷小。91011121314二、利用等价无穷小替换求极限二、利用等价无穷小替换求极限定理定理1 1).(a aa ab bo= =即即 两个等价无穷小的差一定是一个更两个等价无穷小的差一定是一个更高阶的无穷小，反之亦然。高阶的无穷小，反之亦然。 原因？原因？他们太接近了，所以它们的差远远小于他们太接近了，所以它们的差远远小于它们之中的任何一个。它们之中的任何一个。定理定理1 1).(a aa ab bo+ += =15定理定理1 1证证因此因此设设则则因此因此设设则则).(a aa ab bo+ += =16例例所以所以所以所以所以所以所以所以,arcsinxx= =xarcsin),(xox + +17定理定理2 2证证( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) )定理定理2 2( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) )替换意义？替换意义？复杂复杂简单简单19将常用的等阶无穷小列举如下: 当 x 0 时20例例2 2解解21解解: :例例3 求求22求练习练习解解23例例4 4解解解解错错注：注：加、减项加、减项的无穷小不要用等价无穷小代换的无穷小不要用等价无穷小代换.24例例5解解25求例例6 6解26求例例7 7解
