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1、第第5章概述章概述 大数定律和中心极限定理就是大数定律和中心极限定理就是使用使用极限极限方法方法研究大量随机现象统计规律性的。研究大量随机现象统计规律性的。 阐明阐明大量重复试验的平均结果具有稳定性大量重复试验的平均结果具有稳定性的的一系列定律都称为一系列定律都称为大数定律大数定律。 论证论证随机变量（试验结果）之和渐进服从某随机变量（试验结果）之和渐进服从某一分布一分布的定理称为的定理称为中心极限定理中心极限定理。契比雪夫不等式契比雪夫不等式证明证明对连续型随机变量的情况来证明对连续型随机变量的情况来证明. 契比雪夫不等式契比雪夫不等式得得 大大数数定律定律 概率论中有关阐明概率论中有关阐明
2、大量随机现象平大量随机现象平均结果的稳定性均结果的稳定性的一系列定理。的一系列定理。 迄今为止迄今为止,人们已发现很多人们已发现很多大数定律大数定律(laws of large numbers)所谓大数定律，简单地说，就是所谓大数定律，简单地说，就是大大量数目的随机变量所呈现出的规律量数目的随机变量所呈现出的规律，这种规律一般，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性来刻画。用随机变量序列的某种收敛性来刻画。第一节第一节 大数定律大数定律定义定义1 1则称则称 X Xn n 依概率收敛依概率收敛于于a, a, 记作记作: :1.1.伯努利大数定理伯努利大数定理证明证明:伯努利大数定律说明了伯努利
3、大数定律说明了当重复独立试验次数当重复独立试验次数 n n 很大时，频率与其概率之差可为任意小很大时，频率与其概率之差可为任意小， 即说明了其即说明了其频率的稳定性频率的稳定性。从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以从而在实际推断中，当试验次数较大时，可以用事件发生的频率来近似代替概率。用事件发生的频率来近似代替概率。2.2.切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律: : 证明证明: 由期望与方差的性质知利用切比雪夫不等式, 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律表明，当表明，当n n 很大时，很大时，X X1 1，X X2 2，X Xn n的算术平均值的算术平均值的取的取值，集中值，集中 在其在其数学期
4、望数学期望附近。附近。例解:由题意即每个随机变量都具有即每个随机变量都具有有限的数学期望有限的数学期望,有限的方差有限的方差,满足定律满足定律.定理定理3使我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。使我们关于算术平均值的法则有了理论上的依据。由大数定律知，只要由大数定律知，只要n充分大，则以接近于充分大，则以接近于1的概率保证的概率保证这便是在这便是在n较大情况下反映出的客观规律较大情况下反映出的客观规律,故称为故称为“大数大数”定律定律 如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行如我们要测量某段距离，在相同条件下重复进行n次，得次，得n个测量值个测量值 ，它们可以看成是，它们可以看成是n个相
5、个相互独立的随机变量具有相同的分布、相同的数学期望互独立的随机变量具有相同的分布、相同的数学期望和方差和方差 ， 人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到大人们已经知道，在自然界和生产实践中遇到大量随机变量都服从或近似服从正态分布，正因如此，量随机变量都服从或近似服从正态分布，正因如此，正态分布占有特别重要的地位。正态分布占有特别重要的地位。 第二节第二节 中心极限定理中心极限定理 那么，那么，如何判断一个随机变量服从正态分布如何判断一个随机变量服从正态分布显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知显得尤为重要。如经过长期的观测，人们已经知道，很多工程测量中产生的误差道，很多工程测量中产生的误差
6、X X都是服从正态分都是服从正态分布的随机变量。布的随机变量。 分析起来，造成误差的原因有仪器偏差分析起来，造成误差的原因有仪器偏差X X1 1、大气折射偏差大气折射偏差X X2 2, ,温度变化偏差温度变化偏差X X3 3、估读误差、估读误差造成的偏差造成的偏差X X4 4等等，这些偏差等等，这些偏差XiXi 对总误差对总误差 的影响都很微小，没有一个起到特别突出的影的影响都很微小，没有一个起到特别突出的影响，虽然每个响，虽然每个XiXi的分布并不知道，但的分布并不知道，但 却服从正态分布。却服从正态分布。1. 德莫佛-拉普拉斯定理 例：例： 在人寿保险公司里有在人寿保险公司里有300030
7、00个同一年龄的人参个同一年龄的人参加人寿保险加人寿保险. .在一年里在一年里, ,这些人的死亡率为这些人的死亡率为0.1%.0.1%.参加参加保险的人在一年的头一天交付保险费保险的人在一年的头一天交付保险费1010元元, ,死亡时死亡时, ,家属可以从保险公司领取家属可以从保险公司领取20002000元元. . 求求: : (1) (1)保险公司一年中获利不小于一万元的概率保险公司一年中获利不小于一万元的概率; ; (2) (2) 保险公司公司亏损的概率是多少保险公司公司亏损的概率是多少? ?解解: 设一年中死亡人数为X,则(1)保险公司每年利润为:(2)PP保险公司亏本保险公司亏本 可见保
8、险公司亏本的概率很小可见保险公司亏本的概率很小. .注意:德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理: :说明: 这是此后这是此后200多年来，概率论研究的一个多年来，概率论研究的一个中心，故称作中心，故称作中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）。）。 2.2.林德贝格林德贝格-勒维定理勒维定理( (独立同分布独立同分布) ) 例例 对敌阵地进行对敌阵地进行100100次炮击次炮击, ,每次炮击中每次炮击中, ,炮弹的命炮弹的命中颗数的数学期望为中颗数的数学期望为4,4,方差为方差为2.25,2.25,求在求在100100次炮击中次炮击中, ,有有380380颗到
9、颗到420420颗炮弹击中目标的概率的近似值颗炮弹击中目标的概率的近似值. .解解: 设第设第i i次炮击中炮弹命中颗数为次炮击中炮弹命中颗数为X Xi i, , i=1,2,100.i=1,2,100.由题意可知由题意可知: :解:最后，我们指出最后，我们指出大数定律与中心极限定理的区别大数定律与中心极限定理的区别： 因此，在所给条件下，中心极限定理不仅给出了因此，在所给条件下，中心极限定理不仅给出了概率的近似表达式，而且也能保证了其极限是概率的近似表达式，而且也能保证了其极限是1，可见，可见中心极限定理的结论更为深入。中心极限定理的结论更为深入。这时，对于任意的这时，对于任意的0及某固定的
10、及某固定的n，有，有 2、而在以上条件下，中心极限定理（林德伯格、而在以上条件下，中心极限定理（林德伯格勒勒维）亦成立。维）亦成立。中心极限定理的意义中心极限定理的意义 在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理定理. 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.
