连续介质力学第二章

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1、第二章第二章 张量分析张量分析偏导数的记法偏导数的记法12哈密顿算子哈密顿算子3梯度梯度2.1基础知识基础知识则梯度为：则梯度为：标量的梯度：标量的梯度：标量函数：标量函数：展开后有：展开后有：原式原式矢量的梯度：矢量的梯度：左梯度左梯度其中：其中：右梯度右梯度两者关系两者关系左梯度左梯度右梯度右梯度写成矩阵形式为：写成矩阵形式为： 张量的梯度：张量的梯度： 设设T T为任意二阶张量为任意二阶张量 它的左梯度它的左梯度gradTgradT定义为：定义为： T T的右梯度定义为：的右梯度定义为：一般地一般地 4散散 度度矢量场的散度矢量场的散度 矢量场的矢量场的左散度左散度定义为：定义为：原式原

2、式右散度右散度表示为：表示为： 显然显然 今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别张量的散度张量的散度 关于二阶张量场关于二阶张量场 的的左散度左散度定义为：定义为： 展开后有：展开后有：原式原式 关于二阶张量场关于二阶张量场 的的右散度右散度定义为：定义为： 一般地，一般地， ，当，当T T为对称张量的时候，两者相等为对称张量的时候，两者相等5旋度旋度原式原式展开后有：展开后有：矢量场的旋度：矢量场的旋度：左旋度：左旋度：右旋度：右旋度：.张量场的旋度张量场的旋度 设设T T为任意二阶张量，则它的为任意二阶张量，则它的左旋度左旋度定义为：定义为：其中：其中

3、：右旋度右旋度定义为：定义为： 其中：其中：小结小结：哈密顿算子哈密顿算子梯度梯度散度散度旋度旋度展开后有：展开后有：原式原式2.2 Laplace2.2 Laplace算子算子公式公式：2.3 2.3 物质导数物质导数若若则则：2.4 2.4 积分定理积分定理1 Gauss定理定理有向面积：有向面积：根据根据GaussGauss定理有：定理有：左边左边右边右边2StokesStokes定理定理根据根据StokesStokes定理有：定理有：左边左边右边右边证明证明2.5 2.5 曲线坐标曲线坐标 基矢量基矢量 度量张量度量张量 曲线坐标曲线坐标 1 设空间中任一点设空间中任一点P P，其位置

4、可用矢径，其位置可用矢径P P表示。在曲线坐表示。在曲线坐标系中，指标可为上标或下标。标系中，指标可为上标或下标。 在斜角坐标系在斜角坐标系 中，中，P P为为 的函数，即的函数，即P P也可用另外三个变量也可用另外三个变量 ， ， 来表示，即来表示，即 这种坐标系记为这种坐标系记为 。这两组变量。这两组变量 和和 表示同一空间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：表示同一空间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来： 若若 是的线性函数，则是的线性函数，则 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：这里这里 为变换系数，它是常数。为变换系数，它是常数。 若若 不是不是

5、的线性函数，则的线性函数，则 称为称为曲线坐标曲线坐标。 在曲线坐标系在曲线坐标系 中，若雅可比中，若雅可比(Jacobi)(Jacobi)行列式行列式J J不为零，即不为零，即则坐标变换具有逆变换，即有则坐标变换具有逆变换，即有 连续介质力学中最常用的正交曲线坐标系，是柱面坐标连续介质力学中最常用的正交曲线坐标系，是柱面坐标系和球面坐标系。现叙述如下。系和球面坐标系。现叙述如下。柱面坐标系柱面坐标系 设直角坐标系为设直角坐标系为 曲线坐标系为曲线坐标系为则式则式 的具体形式取为：的具体形式取为：其中其中 由此可见，不是由此可见，不是 的线性函数，故的线性函数，故 属于曲线属于曲线坐标系。这种

6、坐标变换的雅可比行列式为坐标系。这种坐标变换的雅可比行列式为 除除 外，外， ，故有逆变换的具体形式如下，故有逆变换的具体形式如下： 由此可得坐标曲面：由此可得坐标曲面： (i) ( (i) (常数常数) )为以为以z z轴为公共轴的圆柱面轴为公共轴的圆柱面( (当当 时，即时，即为为z z轴轴) )； (ii) ( (ii) (常数常数) )为通过为通过z z轴的平面；轴的平面； (iii) ( (iii) (常数常数) )为垂直于为垂直于z z轴的平面；轴的平面； (i) (i) 和和 的交线的交线(z(z线线) )是直线；是直线；(ii)(ii) 和和 的交线的交线(r(r线线) )是直

7、线；是直线；(iii) (iii) 和和 的交线的交线( ( 线线) )是圆。是圆。这种坐标系称为这种坐标系称为柱面坐标系柱面坐标系 和坐标曲线：和坐标曲线： 球面坐标系球面坐标系 设直角坐标系为设直角坐标系为 ，曲线坐标系，曲线坐标系 则式则式 的具体形式取为：的具体形式取为：其中其中 由此可见，由此可见， 不是不是 的线性函数，故的线性函数，故 属于曲线坐标系，属于曲线坐标系，这种坐标变换的雅可比行列式为这种坐标变换的雅可比行列式为 除除 ， ， 外，外， ，故有逆变换，故有逆变换的具体形式如下：的具体形式如下： 由此可得坐标曲面由此可得坐标曲面： (i) (i) (常数常数) )为中心在

8、原点的球面为中心在原点的球面( (当当 时，即为时，即为原点原点) )； (ii) ( (ii) (常数常数) )为以原点为顶点的圆锥为以原点为顶点的圆锥( (当当 或或 时变为直线，当时变为直线，当 时为时为 面面) )； (iii) (iii) (常数常数) )为通过为通过 轴的平面轴的平面； 和坐标曲线：和坐标曲线： (i) (i) 和和 的交线的交线( ( 线线) )是圆；是圆； (ii) (ii) 和和 的交线的交线(r(r线线) )是直线；是直线； (iii) (iii) 和和 的交线的交线( ( 线线) )是半圆。是半圆。 这种坐标系称为球面坐标系。这种坐标系称为球面坐标系。2基

9、矢量基矢量度量张量度量张量 给定曲线坐标之后，过空间任意一点沿每一族坐标给定曲线坐标之后，过空间任意一点沿每一族坐标曲线可以得到一个切矢量：曲线可以得到一个切矢量： 取取 为为，则 在斜角坐标系中，设其协变基矢量为在斜角坐标系中，设其协变基矢量为由于由于 是常数，故有是常数，故有 对于一个矢量对于一个矢量a a可有两种类型的分量可有两种类型的分量 和和 ，设其对应的，设其对应的基矢量为基矢量为 和和 ，则，则 由由 的定义可知，下列混合积等式成立：的定义可知，下列混合积等式成立： 这两个量定义为爱丁顿这两个量定义为爱丁顿(Eddington)(Eddington)张量并分别记为张量并分别记为

10、和和 。由此定义可知由此定义可知 对于矢量对于矢量 ，则有，则有令令它们分别称为它们分别称为协变度量张量协变度量张量、逆变度量张量逆变度量张量和和混合度量张量混合度量张量 考虑到矢量考虑到矢量a a的任意性的任意性 可知：基矢量可知：基矢量 与与 是正交的，它们称为是正交的，它们称为互逆基矢量互逆基矢量 互逆基矢量间具有下列关系：互逆基矢量间具有下列关系： 由于由于故知故知 和和 互为互为逆阵逆阵。因为它们均为正定矩阵，故行列式。因为它们均为正定矩阵，故行列式可以证明这样的等式：可以证明这样的等式： 爱丁顿张量可以写成下列形式：爱丁顿张量可以写成下列形式： 在直角坐标系下，在直角坐标系下， ，

11、故有，故有 在曲线坐标系中，任意张量在曲线坐标系中，任意张量例如二阶逆变一阶协变张量可表示成下列四种记法：例如二阶逆变一阶协变张量可表示成下列四种记法：(1)(1)不变性记法不变性记法 (2)(2)分量记法分量记法 (3)(3)并矢记法并矢记法 (4)(4)基张量记法基张量记法 2.6 2.6 克里斯托弗尔符号克里斯托弗尔符号 在基矢量组在基矢量组 ， ， 中把中把 按下式分解按下式分解 这里分解系数这里分解系数 和和 分别称为分别称为第一类和第二类克第一类和第二类克里斯托弗尔里斯托弗尔(Christoffel)(Christoffel)符号符号 定义：定义：性质：性质：克里斯托弗尔符号不是张

12、量克里斯托弗尔符号不是张量 和和 关于指标关于指标i i和和j j对称。对称。 由于由于 根据偏导数的性质根据偏导数的性质 同理可得：同理可得：和和 的指标可用度量张量升降。的指标可用度量张量升降。事实上事实上同样地同样地 在直线坐标系中在直线坐标系中， 事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量和均为常量，事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量和均为常量，故故 和和 。 克里斯托弗尔符号可用度量张量表示。克里斯托弗尔符号可用度量张量表示。 事实上，由于事实上，由于 对指标进行轮换，则有对指标进行轮换，则有另外另外 由于由于由于由于 ，故有，故有 于是于是2.7 2.7 协变导数协变导数 逆变导数

13、逆变导数 在曲线坐标系下，哈密顿算子定义为在曲线坐标系下，哈密顿算子定义为1 设设T T为任意张量，则为任意张量，则 构成新的张量，称为构成新的张量，称为T T的梯的梯度。为简单起见，现以度。为简单起见，现以 为例给出它的梯度为例给出它的梯度的并矢形式如下：的并矢形式如下： 其中其中：称为张量称为张量 的协变导数的协变导数 不难证明下列结果不难证明下列结果 对于矢量对于矢量a a，这是特殊情形。此时，我们可写出，这是特殊情形。此时，我们可写出 可见，度量张量和爱丁顿张量对于可见，度量张量和爱丁顿张量对于 或或 有如常有如常数可以移进或移出于其内或外。数可以移进或移出于其内或外。这里这里称为协变

14、矢量称为协变矢量 的协变导数。的协变导数。 另一方面，我们也可以写出另一方面，我们也可以写出称为逆变矢量称为逆变矢量 的协变导数的协变导数 这里这里2逆变导数逆变导数 由于协变导数的指标是张量指标，故可应用逆变由于协变导数的指标是张量指标，故可应用逆变度量张量把它的指标升高而得到逆变导数如下：度量张量把它的指标升高而得到逆变导数如下：2.8 2.8 不变性微分算子不变性微分算子1梯度梯度 2散度散度 若若T T为矢量为矢量a a，则：，则： 即即考虑到：考虑到：3旋旋 度度 若若T T为矢量为矢量a a，则有，则有拉普拉斯算子拉普拉斯算子4若若f f为标量，则有为标量，则有2.9 2.9 内禀

15、导数内禀导数 设区域内的曲线设区域内的曲线C C定义为：定义为： 其中其中t t为一参数。若为一参数。若 是一个可微的矢量并且是一个可微的矢量并且 是是属于属于 类的，则类的，则称为称为 对对t t的的内禀导数内禀导数 这里这里 对于任意张量，例如，对于二阶混合张量对于任意张量，例如，对于二阶混合张量 而言，而言，则有则有对于度量张量，由于对于度量张量，由于故度量张量可以移进或移出内禀导数记号之内或外。故度量张量可以移进或移出内禀导数记号之内或外。 若矢量若矢量a a还和还和t t显示相关，亦即显示相关，亦即其中：其中：称为称为a a 的物质导数的物质导数 对于任意张量，例如，对于二阶混合张量

16、对于任意张量，例如，对于二阶混合张量 而言，而言，则其物质导数为则其物质导数为 对于度量张量，由于对于度量张量，由于g g 和和g 和和t t没有显示关系，所以没有显示关系，所以 2.10 2.10 非完整系物理标架下的微分算子非完整系物理标架下的微分算子1非完整系物理标架非完整系物理标架 对于正交曲线坐标系，它满足下列条件：对于正交曲线坐标系，它满足下列条件： 我们将基矢量我们将基矢量 的大小记作的大小记作 ，称为拉梅，称为拉梅(Lame)(Lame)系系数，即数，即 如果我们取与同向的单位矢量如果我们取与同向的单位矢量 作为基矢量作为基矢量则构成所谓非完整系物理标架则构成所谓非完整系物理标

17、架( (或称单位正交活动标架或称单位正交活动标架) )。 非完整系物理标架基矢量，具有如下性质：非完整系物理标架基矢量，具有如下性质：2偏导数算子，克里斯托弗尔符号偏导数算子，克里斯托弗尔符号非完整系物理标架下的非完整系物理标架下的偏导数算子偏导数算子 定义为定义为它对标架每个矢量作用，仍是一个矢量。它对标架每个矢量作用，仍是一个矢量。 我们不妨记为我们不妨记为 这里这里 称为非完整物理标架下的称为非完整物理标架下的克里斯托弗尔符号克里斯托弗尔符号 几何意义：几何意义：非完整物理标架下的克里斯托弗尔符号表示非完整物理标架下的克里斯托弗尔符号表示 在在 轴上的投影，即轴上的投影，即由由对其两端作

18、用对其两端作用偏导数算子偏导数算子 由此可见由此可见 的后两指标具有反称性的后两指标具有反称性。下面我们研究下面我们研究 的具体表达式。的具体表达式。注意到注意到 将指标轮换将指标轮换 ， ， 得得再轮换再轮换可以得到：可以得到：显然，在显然，在 、 、 互不相等时互不相等时总之，不为零的克里斯托弗尔符号只有总之，不为零的克里斯托弗尔符号只有3梯度梯度 哈密顿算子哈密顿算子 1标量函数的梯度标量函数的梯度 2定义非完整物理标架下的哈密顿算子定义非完整物理标架下的哈密顿算子 设标量函数设标量函数 ，则它在非完整系物理标架下的，则它在非完整系物理标架下的梯度梯度 定义为一个矢量定义为一个矢量其并矢

19、形式为其并矢形式为: 这就是标量函数这就是标量函数f f的梯度在非完整系物理标架下的梯度在非完整系物理标架下的表达式的表达式 矢量场的梯度矢量场的梯度 3 设矢量场设矢量场 ，则它在非完整系物理标架下的，则它在非完整系物理标架下的左梯度左梯度 定义一个二阶张量定义一个二阶张量它的并矢形式为：它的并矢形式为：其中其中 类似地，我们还可以定义类似地，我们还可以定义 的右梯度，的右梯度， ，可以证明可以证明张量场的梯度张量场的梯度 4 设二张量场设二张量场 ，则它在非完整系物理标架，则它在非完整系物理标架下的左梯度下的左梯度 定义为一个三阶张量定义为一个三阶张量 其中其中这是这是 的分量形式的分量形

20、式 的右梯度的右梯度 定义为定义为 一般情况下一般情况下4散度散度 1矢量场的散度矢量场的散度 设矢量场设矢量场 ，则它的散度，则它的散度 定义为一个标量定义为一个标量其展开形式为：其展开形式为：2张量场的散度张量场的散度 设任意二阶张量设任意二阶张量 ，则它的左散，则它的左散度度 定义为一个矢量定义为一个矢量其并矢形式为其并矢形式为:这是这是 的分量形式。的分量形式。定义：定义： 的右散度的右散度 5旋度旋度1矢量场的旋度矢量场的旋度 设任意矢量场设任意矢量场 ，则它的左旋度，则它的左旋度定义为一个矢量定义为一个矢量 其并矢形式为其并矢形式为2张量场的旋度张量场的旋度 设任意二阶张量场设任意

21、二阶张量场 ，则它的左旋度，则它的左旋度定义为一个二阶张量定义为一个二阶张量其并矢形式为其并矢形式为这就是这就是 的分量形式的分量形式 定义：二阶张量定义：二阶张量 的右旋度的右旋度 6拉普拉斯算子拉普拉斯算子1作用于标量场拉普拉斯算子作用于标量场拉普拉斯算子 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)算子定义为算子定义为 当拉普拉斯算子作用于标量函数当拉普拉斯算子作用于标量函数 时，即时，即2作用于矢量场的拉普拉斯算子作用于矢量场的拉普拉斯算子 当拉普拉斯算子作用于矢量场当拉普拉斯算子作用于矢量场 时，则时，则7双重哈密顿算子双重哈密顿算子 作用于标量场的双重哈密顿算子作用于标量场

22、的双重哈密顿算子 称为双重哈密顿算子称为双重哈密顿算子 设设f f为任一标量函数，双重哈密顿算子对为任一标量函数，双重哈密顿算子对f f作用，则有：作用，则有：作用于矢量场的双重哈密顿算子作用于矢量场的双重哈密顿算子 设设 为一个矢量场，双重哈密顿算子对为一个矢量场，双重哈密顿算子对a a的点积作用为的点积作用为 8物质导数物质导数标量函数的物质导数标量函数的物质导数 设设 是关于标性变量是关于标性变量( (例如时间例如时间) )位位置矢量置矢量 的标量值函数，则它的物质导数的标量值函数，则它的物质导数定义为：定义为： 将物质导数写成分量形式，则将物质导数写成分量形式，则 矢量函数的物质导数矢

23、量函数的物质导数 对于矢量值函数对于矢量值函数 ，它的物，它的物质质导数导数 定义为：定义为：其并矢形式为：其并矢形式为：这就是矢量函数这就是矢量函数a a的物质导数的分量形式。的物质导数的分量形式。习习 题题一、给出下列张量符号的意义一、给出下列张量符号的意义（1）（2）（3）（4）（5）二、二、KroneckerKronecker符号符号（1）（2）(3)(4)(5)三、置换符号三、置换符号（1）（2）四、求下列矢量表达式的分量四、求下列矢量表达式的分量（1）（2）（3）五、证明五、证明六、已知六、已知求：求：和和七、证明七、证明（1）（2）（3）一、给出下列张量符号的意义一、给出下列张量符号的意义（1）（2）（3）（4）二、二、KroneckerKronecker符号符号（1）（2）(3)(4)(5)（5）三、置换符号三、置换符号（1）（2）（1）（2）（3）四、求下列矢量表达式的分量四、求下列矢量表达式的分量五、证明五、证明六、已知六、已知求：求：和和