关于实数集完备性的基本定理课件

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1、第七章第七章 实数的完备性实数的完备性 1 1 关于实数集完备性的基本定理关于实数集完备性的基本定理 首页首页2 2 闭区间上连续函数性质的证明闭区间上连续函数性质的证明 首页首页1 1 关于实数集完备性的基本定理关于实数集完备性的基本定理 一、区间套定理与柯西收敛准则一、区间套定理与柯西收敛准则 二、聚点定理与有限覆盖定理二、聚点定理与有限覆盖定理 三、实数完备性基本定理的等价性三、实数完备性基本定理的等价性 若若 是一个区间套，则在实数是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点系中存在唯一的一点 , 构成区间套的闭区间列是前一个构成区间套的闭区间列是前一个套者后套者后一个， 一、区间套定理与

2、柯西收敛准则一、区间套定理与柯西收敛准则 （i）(ii)或简称或简称区间套区间套 这里的性质（这里的性质（i i）表明，）表明， 即各闭区间的端点满足如下不等式即各闭区间的端点满足如下不等式 (1)(1) 定理定理7.17.1（区间套定理）（区间套定理） 使得使得 即即 (2) (2) 设闭区间列设闭区间列 具有如下性质具有如下性质 则称则称 为为闭区间套闭区间套， 定义定义1 1首页首页且有且有 分析分析 即要证明闭区间列即要证明闭区间列 有唯一的公共点，有唯一的公共点， 所以首先我们要至少找到一个公共点，所以首先我们要至少找到一个公共点， 式和单调有界定理可以知道数列式和单调有界定理可以知

3、道数列 由（由（1 1） 和和 都存在极限，都存在极限， 只要证明这两个数列极限相等且属于所有的只要证明这两个数列极限相等且属于所有的 我们我们 则找到一找到一个公共点公共点; ; 然后证明唯一性然后证明唯一性. . 证证由（）式，由（）式，为递增有界数列，为递增有界数列， 依单调有界定理，依单调有界定理，有极限有极限 , , （3）同理，递减有界数列也有极限，同理，递减有界数列也有极限， 并按区间套的条件并按区间套的条件（ii）有有 （4）且且 （5）联合（联合（3）、（）、（5）即得（）即得（2）式）式. 最后证明满足（最后证明满足（2）的）的 是唯一的是唯一的 设数设数 也满足也满足 首

4、页首页 区间套定理中要求各个区间都是区间套定理中要求各个区间都是闭区间闭区间，才能保证，才能保证定理的结论成立定理的结论成立由区间套的条件（由区间套的条件（ii）得）得 故有故有 注注1 对于开区间列，有可能不成立对于开区间列，有可能不成立,如如 , 虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个，虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个， 且且 ， 但不存在属于所有开区间的公共点但不存在属于所有开区间的公共点 则由（）式有则由（）式有 首页首页 前者是区间套定理本身条件的要求前者是区间套定理本身条件的要求 保证诸区间保证诸区间 后者则把后者则把证明整个区间证明整个区间 上所具有某性质的问题归结为上所具

5、有某性质的问题归结为 点邻域点邻域 的性质，的性质， 应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题，应用区间套定理的关键是针对要证明的数学命题， 恰恰当地构造区间套当地构造区间套.注注2 2 一方面，这样的区间套必须是一方面，这样的区间套必须是闭闭、缩缩、套套，即闭区间列即闭区间列 .满足（满足（i）(ii)另一方面，也是最重要的，要把欲证命题的本质属性保留在另一方面，也是最重要的，要把欲证命题的本质属性保留在区间套的每一个闭区间中，区间套的每一个闭区间中， 存在唯一公共点存在唯一公共点 ,实现完满整体向局部的转化实现完满整体向局部的转化. 由（由（4）容易推的如下很有用的区间套性质）容易推的如

6、下很有用的区间套性质 . 首页首页 使得在每个使得在每个 外只有数列外只有数列 中有限项中有限项. 要使用区间套定理证明充要使用区间套定理证明充分性，关键是如何构造合适的区间套，使其公共点正好是数列分性，关键是如何构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限的极限. 对任给的对任给的 ,存在存在 ,使得对使得对 ,的的 ， 存在存在 ,使得当使得当 时有时有 作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的作为区间套定理的应用，我们来证明第二章中叙述而未证明的“数列的柯西收敛准则（定理数列的柯西收敛准则（定理.）.即即 数列数列 收敛的充要条件是：收敛的充要条件是：有有 . 分析分析 由

7、数列极限定义易证得必要性；由数列极限定义易证得必要性； 我们将对柯西列我们将对柯西列 构造区间套构造区间套 推论推论 若若 是区间套所确定的点则对任给是区间套所确定的点则对任给 首页首页 在区间在区间 内含有内含有 中几乎所有的项，中几乎所有的项， 存在存在 ，使得对使得对一切一切 有有 , 即在区间即在区间 内含有内含有 中几乎所有的项中几乎所有的项 对任给的对任给的 ,存在存在 ,当当 时有时有 证证必要性必要性设设 由数列极限定义由数列极限定义,因而因而 .充分性充分性按假设按假设,对任给的对任给的 , (这里及以下这里及以下,为叙述简单起见为叙述简单起见,我们用我们用“ 中几乎中几乎所

8、有的项所有的项”表示表示“ 中除有限项外的所项中除有限项外的所项”).据此据此，令令 则存在则存在 ，记这个区间为记这个区间为首页首页 则存在则存在 在区间在区间 内含有内含有 中中几乎所有的项几乎所有的项.再令再令记记它也含有它也含有 中几乎所有的项，中几乎所有的项， 且满足且满足继续依次令继续依次令照以上方法得一闭区间列照以上方法得一闭区间列其中每个区间都含其中每个区间都含 中几乎所有的项，中几乎所有的项， 且满足且满足首页首页 本证明中的关键是构造合适的区间套，使其公共点正好是数本证明中的关键是构造合适的区间套，使其公共点正好是数列的极限列的极限.即即 是区间套是区间套. 由区间套定理，

9、存在唯一的一个数由区间套定理，存在唯一的一个数 现在证明数现在证明数 就是数列就是数列 的极限的极限. 事实上，由定理事实上，由定理7.17.1的推论，的推论， 对任给的对任给的 ，存在，存在 使得当使得当 nN 时有时有因此在因此在 内含有内含有 中除有限项外的所有项中除有限项外的所有项.这就证得这就证得 . 注意本证明中构造区间套的方法，我们可由此体会到注意本证明中构造区间套的方法，我们可由此体会到在处理具体问题时构造区间套的思想方法在处理具体问题时构造区间套的思想方法. .注注首页首页 若若 的临域内都含有的临域内都含有 中无穷多个点则称中无穷多个点则称 为集为集 的一个的一个聚点聚点.

10、 点集点集 只有一个聚点只有一个聚点 存在存在 在在 中至中至多包含中多包含中 有限多个点有限多个点. 又若又若 为开区间为开区间(a,b)(a,b)内每一点以及端内每一点以及端点点a、b都是都是S的聚点；的聚点； 任何有限数集也任何有限数集也没有聚点没有聚点. (它可以属于它可以属于 也可也可以不属于以不属于 )定义定义2 2 设设 为数轴上的点集为数轴上的点集 为定点为定点 点集点集 有两个聚点有两个聚点 和和而正整数集而正整数集 没有聚点，没有聚点，注注1 点集的点集的 聚点可以属于聚点可以属于 ，也可以不属于，也可以不属于 ；注注2设设 是数集，不是的是数集，不是的 聚点聚点 首页首页

11、二、聚点定理与有限覆盖定理二、聚点定理与有限覆盖定理 则其极限则其极限 称为称为S S的一个的一个聚点聚点. . 若点若点 的任何邻域的任何邻域 内都含有内都含有 中异于中异于 的点，的点，聚点概念的另两个等价定义如下聚点概念的另两个等价定义如下 定义定义 对于点集对于点集 ， 即即 ， 则则 称为称为S的一个的一个聚点聚点. 定义定义若存在各项互异的收敛数列若存在各项互异的收敛数列 ，关于以上三个定义等价性的证明，我们简述如下关于以上三个定义等价性的证明，我们简述如下. .1 1）定义）定义2 2 定义定义 是显然的是显然的; ;2 2）定义）定义 定义定义2 2也不难得到也不难得到; ;3

12、 3）定义）定义 定义定义 . . 首页首页 而取而取 则是为了保证点则是为了保证点列的各相互异性列的各相互异性. .令令 , , , ,则存在则存在 且显然且显然 . . 则对任给的则对任给的 , ,存在存在 ，证证 设设 为为 ( (按定义按定义) )的聚点的聚点, ,令令 则存在则存在 令令 则存在则存在 且且 无限地重复以上步骤，得到中各项互异的数列无限地重复以上步骤，得到中各项互异的数列. . 且由且由 , , 易见易见 . . 注注 本证明中取本证明中取 , 为了保证数列收敛到为了保证数列收敛到 . .因此可以取其他的小量因此可以取其他的小量; ;注意这种技巧！注意这种技巧！首页首

13、页故存在故存在 使得使得 , , 其中必有一子其中必有一子区间内包含中无限多个点，区间内包含中无限多个点， 因为无限点集因为无限点集, ,故两个区间中至少有一故两个区间中至少有一个含有中无穷多个点个含有中无穷多个点, ,记此子区间为记此子区间为 . .把区间把区间 二等分，二等分，应用区间套定理来证聚点定理应用区间套定理来证聚点定理定理定理. .( (魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(Weierstrass)(Weierstrass)聚点定理聚点定理) ) 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点. .分析分析 为有界点集，为有界点集， 继续上述步骤，可得一区间套，

14、再证其继续上述步骤，可得一区间套，再证其公共点即为的聚点公共点即为的聚点 . .证证为有界点集为有界点集, ,记记现将等分为两个子区间现将等分为两个子区间. . 且且首页首页 则其中至少有一个子区间含则其中至少有一个子区间含有无穷多个点，有无穷多个点，再将再将 等分为两个子区间，等分为两个子区间，首页首页则取出这样的一个子区间，则取出这样的一个子区间，记为记为 . . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列 它满足它满足 且其中每一个闭区间都含且其中每一个闭区间都含 中无穷中无穷多个点多个点. .即即 是区间套，是区间套，由区间套定

15、理，由区间套定理， 存在唯一的一点存在唯一的一点 于是由定理于是由定理7.17.1的推论，的推论， 对任给的对任给的 , ,存在存在当当 时时 从而从而 内含有内含有 中无穷多个点，中无穷多个点， 按定义按定义2 2 为为 的聚点的聚点. . 推论推论（致密性定理）（致密性定理） 有界数列必有收敛子列有界数列必有收敛子列证证 设设 为有界数列为有界数列 若若 中有无限多个相等的项，中有无限多个相等的项， 则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收则由这些项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的敛的 首页首页当当 有有先证明先证明 是有界的是有界的. .设数列设数列 满足柯西条件满足柯

16、西条件. . 点集点集 至少有一个聚点，记为至少有一个聚点，记为 存在存在 的一个收敛子列（以为其极限）的一个收敛子列（以为其极限）. . 于是按定义于是按定义 ， 则则 在数轴上的在数轴上的对应的点集必为有界无限点集，对应的点集必为有界无限点集，若数列若数列 不含有无限多个相等的项，不含有无限多个相等的项，作为致密性定理的应用，我们用它重证数列的柯西收敛作为致密性定理的应用，我们用它重证数列的柯西收敛准则中的充分性准则中的充分性 .首页首页故由聚点定理，故由聚点定理，证证 为此为此, ,取取 则存在正整数则存在正整数N，由此得由此得令令 因而当因而当 时得到时得到 于是，由致密性定理，有界于

17、是，由致密性定理，有界数列数列 必有收敛子列必有收敛子列首页首页则对一切正整数则对一切正整数 对任给的对任给的这就证明了这就证明了 使得使得 当当 时有时有 . . 对每一对每一点点 ，都可确定正数，都可确定正数 （它依赖于（它依赖于 与与 ），）， 若其中开区间的个数是无限（有限）的，则称若其中开区间的个数是无限（有限）的，则称 为为 的一个的一个无限开覆盖无限开覆盖（有限开覆盖）（有限开覆盖） 则称则称 为为 的一个的一个开覆盖开覆盖，或，或 称称 覆盖覆盖 若若 中任何一点都中任何一点都含在含在 中至少一个开区间内，中至少一个开区间内， （即（即 的每的每一个元素都是形如一个元素都是形如

18、 的开区间）的开区间）定义定义3 3设设 为数轴上的点集，为数轴上的点集， 为开区间的集合为开区间的集合在具体问题中，一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所在具体问题中，一个点集的开覆盖常由该问题的某些条件所确定确定例如，若函数例如，若函数 在在 内连续，内连续， 则给定则给定 ，这样就得到一个开区间集这样就得到一个开区间集 它是区间它是区间 的一个无限开覆盖的一个无限开覆盖首页首页 同样，其中至少有一个子同样，其中至少有一个子区间不能用区间不能用 中有限个开区间来盖中有限个开区间来盖 则其中至少有一个子区间不则其中至少有一个子区间不能用能用 中有限个开区间来覆盖中有限个开区间来覆盖. . 将

19、将 等分为两个子区间，等分为两个子区间， 从而导致区从而导致区间套中某区间可用一个开区间覆盖的矛盾间套中某区间可用一个开区间覆盖的矛盾. . 若闭区间不能用有限个开区间覆盖，把这若闭区间不能用有限个开区间覆盖，把这区间二等分，区间二等分， 则从则从 中可选中可选出有限个开区间来覆盖出有限个开区间来覆盖 假设定理的结论不成立，即不能用假设定理的结论不成立，即不能用 中有限中有限个开区间来覆盖个开区间来覆盖 设设 为闭区间为闭区间 的一个（无限）开覆盖，的一个（无限）开覆盖，首页首页定理定理. . （海涅（海涅博雷尔（博雷尔（HeineBorelHeineBorel）有限覆盖定理）有限覆盖定理）分

20、析分析用反证法，用反证法，其中必有一子区间不能用有限个开区间覆盖，其中必有一子区间不能用有限个开区间覆盖，由此可构造区间套，其公共点属于某个开区间，由此可构造区间套，其公共点属于某个开区间， 证证 用反证法用反证法记这个子区间为记这个子区间为 ，则则 且且 再将再将 等分为两个子区间，等分为两个子区间，由区间套定理，存在唯一的一点由区间套定理，存在唯一的一点 于是，由定理于是，由定理. .推论，当推论，当n充分大时有充分大时有 由于由于 是是 的一个开覆盖，故存在开区间的一个开覆盖，故存在开区间 使使 其中每一个闭区间都不能用其中每一个闭区间都不能用 中有限个中有限个开区间来覆盖开区间来覆盖

21、即是即是 区间套，区间套，重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列 , ,记这个子区间为记这个子区间为 ，首页首页则则且且 它满足它满足 定理定理. .的结论只对闭区间的结论只对闭区间 成立，而对开区间成立，而对开区间则不一定成立则不一定成立 但不能从中选出有限个但不能从中选出有限个开区间覆盖开区间覆盖 例如，开区间集合例如，开区间集合 构成了开区间构成了开区间 的一个开覆盖，的一个开覆盖， 这与这与挑选挑选 时的假设时的假设“不能用不能用 中有限个区间来覆盖中有限个区间来覆盖”相矛相矛盾盾 有限覆盖定理的妙处在于将有限覆盖定理的妙处在于

22、将“无限无限”化为化为“有限有限”，它，它的的好处在以后的应用中我们会看到好处在以后的应用中我们会看到.这表明这表明 只须用只须用 中的一个开区间中的一个开区间 就能覆盖，就能覆盖，从而证得必存在属于从而证得必存在属于 的有限个开区间能覆盖的有限个开区间能覆盖 注注1 1注注2 2三、实数完备性基本定理的等价性三、实数完备性基本定理的等价性 至此，我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即至此，我们已经介绍了有关实数完备性的六个基本定理，即首页首页 即从其中即从其中任何一个命题都可推出其余的五个命题任何一个命题都可推出其余的五个命题 最后用区间套定理分最后用区间套定理分别证明余下的三个定理

23、别证明余下的三个定理首页首页1.1.确界原理确界原理( (定理定理1.1);1.1);2.2.单调有界定理单调有界定理( (定理定理2.9);2.9);3.3.区间套定理区间套定理( (定理定理7.1);7.1);4.4.有限覆盖定理有限覆盖定理( (定理定理7.3);7.3);5.5.聚点定理聚点定理( (定理定理7.2);7.2);6.6.柯西收敛准则柯西收敛准则( (定理定理2.10).2.10).在本书中在本书中, ,我们首先证明了确界原理，我们首先证明了确界原理， 由它证明单有界定理，由它证明单有界定理，再用单调有界定理导出区间套定理，再用单调有界定理导出区间套定理，事实上，在实数系

24、中这六个命题是相互等价的，事实上，在实数系中这六个命题是相互等价的，对此，我们可按下列顺序给予证明对此，我们可按下列顺序给予证明 使得使得 为为 的上界，而的上界，而 不是不是 的上界，的上界，故存在故存在 ，使得，使得 . (6)(6) 则对每一个正则对每一个正整数整数n存在相应的存在相应的 ， 即存在即存在 ，使得，使得 分别取分别取 对任何正对任何正数数 存在整数存在整数 使得使得 不是不是 的上界，的上界，其中其中 与与 分别见定理分别见定理2.92.9，7.17.1，与，与7.37.3；及及 请读者作为练习自证（见本节习题和）；请读者作为练习自证（见本节习题和）；而而 见下例见下例例

25、例用数列的柯西收敛准则证明确界原理用数列的柯西收敛准则证明确界原理证证设设 为非空有上界数集为非空有上界数集 由实数的阿基米德性，由实数的阿基米德性，又对正整数又对正整数 是是 的上界，故有的上界，故有 结合（）式得结合（）式得 ；同理有；同理有首页首页 故存在故存在 ，使得，使得 首先，对任何首先，对任何 和正整数和正整数n有有 ， 由柯西收敛准则数列由柯西收敛准则数列 收敛记收敛记 （7 7） 对任对任何何 ，由于，由于 及（）式，及（）式，从而得从而得于是，对任给的于是，对任给的 存在存在 ， 使得当使得当 时有时有现在证明现在证明 就是就是 的上确界，的上确界，由（）式得由（）式得 ，即，即 是是 的一个上界，的一个上界，对充分大对充分大n的同时有的同时有.又因又因 不是不是 的上界，的上界，结合上式得结合上式得这说明这说明 为为 的上确界的上确界同理可证：若同理可证：若 为非空有下界数集，则必存在下确界为非空有下界数集，则必存在下确界首页首页