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1、 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY一阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (一)一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题解法及应用 第十二章 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 代换自变量自变量代换因变量因变量代换某组合式某组合式(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程四个标准类型: 可分离
2、变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例1. 求下列方程的通解提示提示: (1)故为分离变量方程:通解机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解 .化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY方法方法 1
3、这是一个齐次方程 .方法方法 2 化为微分形式 故这是一个全微分方程 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例2. 求下列方程的通解:提示提示: (1)令 u = x y , 得(2) 将方程改写为(贝努里方程) (分离变量方程)原方程化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY令 y = u t(齐次方程)令 t = x 1 , 则可分离变量方程求解化方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHO
4、U UNIVERSITY变方程为两边乘积分因子用凑微分法得通解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;(03考研) (2) 求出F(x) 的表达式 .解解: (1) 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由一阶线性微分
5、方程解的公式得于是 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY练习题练习题:(题3只考虑方法及步骤)P326 题2 求以为通解的微分方程.提示提示:消去 C 得P327 题3 求下列微分方程的通解:提示提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 :提示提示: 这是一阶线性方程 , 其中P326 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10)机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY提示提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程提示提示: 为贝努里方程 ,
6、 令提示提示: 为全微分方程 , 通解提示提示: 可化为贝努里方程令微分倒推公式微分倒推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY原方程化为 , 即则故原方程通解提示提示: 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 一鸭子从点 A 游向点二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O ,提示提示: 如
7、图所示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子(在静水中)的游速大小为b求鸭子游动的轨迹方程 . O ,水流速度大小为 a ,两岸 则关键问题是正确建立数学模型, 要点:则鸭子游速 b 为机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY定解条件由此得微分方程即鸭子的实际运动速度为( 求解过程参考P273例3 )( 齐次方程 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY思考思考: 能否根据草图列方程?练习题练习题:P327 题 5 , 6P32
8、7 题题5 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),在纵轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 .提示提示: 设曲线上的动点为 M (x,y),令 X = 0, 得截距由题意知微分方程为即定解条件为此点处切线方程为它的切线机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITYP327 题题6. 已知某车间的容积为的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空的含量不超过 0.06 % ?提示提示: 设每分钟应输入 t 时刻车间空气中含则在内车间内两端除以 并令与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 )得微分方程( 假定输入的新鲜空气 输入 , 的改变量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITYt = 30 时解定解问题因此每分钟应至少输入 250 新鲜空气 .初始条件得机动 目录 上页 下页 返回 结束 k = ? YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY 作业作业 P269 3 , 7; P276 *4 (2) ; P282 9 (2) , (4) 机动 目录 上页 下页 返回 结束
