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1、第三十六讲第三十六讲 直接证明与间接证明直接证明与间接证明回回归课本本证明明1.证明分明分为直接直接证明明与与间接接证明明.直接直接证明包括明包括综合法合法 分析分析法法等等;间接接证明主要是明主要是反反证法法.2.综合法合法:一般地一般地,利用利用已知条件和某些数学定已知条件和某些数学定义 定理定理 公理公理,经过一系列的推理一系列的推理论证,最后最后推推导出所要出所要证明的明的结论成立成立,这种种证明方法叫做明方法叫做综合法合法.3.3.分析法分析法: :一般地一般地, ,从从要要证明的明的结论出出发, ,逐步逐步寻求使求使它成立它成立的充分条件的充分条件, ,直至最后直至最后, ,把要把
2、要证明的明的结论归结为判定一个明判定一个明显成立的条件成立的条件( (已知条件已知条件 定定义 定理定理 公理等公理等) )为止止. .这种种证明方法叫做分析法明方法叫做分析法. .4.4.反反证法法: :一般地一般地, ,由由证明明p pq q转向向证明明 q qr rt t,t,t与假与假设矛盾矛盾, ,或与某个真命或与某个真命题矛盾矛盾, ,从而判定从而判定q q为假假, ,推出推出q q为真的方法真的方法, ,叫反叫反证法法. .考点陪考点陪练1.1.分析法是从要分析法是从要证明的明的结论出出发, ,逐步逐步寻求使求使结论成立的成立的 ( ( ) )A.A.充分条件充分条件 B.B.必
3、要条件必要条件C.C.充要条件充要条件 D.D.等价条件等价条件解析解析: :根据分析法的要求根据分析法的要求, ,只要能找到一个条件使只要能找到一个条件使结论成立即成立即可可, ,并不需要是等价条件并不需要是等价条件( (充要条件充要条件),),只需要是充分条件即只需要是充分条件即可可. .答案答案:A:A2.2.用用P P表示已知表示已知,Q,Q表示要表示要证的的结论, ,则综合法的推理形式合法的推理形式为( ( ) )A.PA.PQ Q1 1QQ1 1Q Q2 2QQ2 2Q Q3 3QQn nQ QB.PB.PQ Q1 1QQ1 1Q Q2 2QQ2 2Q Q3 3QQn nQ QC.
4、QC.QQ Q1 1QQ1 1Q Q2 2QQ2 2Q Q3 3QQn nP PD.QD.QQ Q1 1QQ1 1Q Q2 2QQ2 2Q Q3 3QQn nP P答案答案:A:A3.3.用反用反证法法证明命明命题“三角形的内角至多有一个三角形的内角至多有一个钝角角”时, ,假假设正确的是正确的是( )( )A.A.假假设至少有一个至少有一个钝角角B.B.假假设至少有两个至少有两个钝角角C.C.假假设没有一个没有一个钝角角D.D.假假设没有一个没有一个钝角或至少有两个角或至少有两个钝角角解析解析: :此此题实际是一个命是一个命题的否定的否定问题, ,“至多有一个至多有一个” “至少有两个至少有
5、两个”是是对应的的, ,此此题极易极易错选为C C或或A.A.答案答案:B:B4.4.反反证法的关法的关键是在正确的推理下得出矛盾是在正确的推理下得出矛盾. .这个矛盾可以个矛盾可以是是( )( )与已知矛盾与已知矛盾;假假设矛盾矛盾;与定与定义 公理公理 定理定理 法法则矛盾矛盾;与事与事实矛盾矛盾. .A. A. B.B.C. C. D.D.答案答案:D:D5.5.在不等在不等边三角形中三角形中,a,a为最大最大边, ,要想得到要想得到A A为钝角的角的结论, ,三三边a a b b c c应满足什么条件足什么条件( )( )A.aA.a2 2bbb2 2+c+c2 2 D.a D.a2
6、2bb2 2+c+c2 2答案答案:C:C类型一型一 综合法合法解解题准准备:1.:1.用用P P表示已知条件、已有的定表示已知条件、已有的定义、定理等、定理等,Q,Q表示表示所要所要证的的结论, ,则综合法可用框合法可用框图表示表示为: :2.2.综合法是合法是“由因到果由因到果”, ,即由已知条件出即由已知条件出发, ,经过逐步的推逐步的推理理, ,最后达到待最后达到待证结论. .综合法又叫做合法又叫做顺推推证法或由因到果法或由因到果法法. .3.3.综合法格式合法格式: :从已知条件出从已知条件出发, ,顺着推着推证, ,由由“已知已知”得得“推知推知”, ,由由“推知推知”得得“未知未
7、知”, ,逐步推出求逐步推出求证的的结论, ,这就是就是顺推法的格式推法的格式, ,它的常它的常见书面表达是面表达是“,”或或“”. . 反思感悟反思感悟 用用综合法合法证题是从已知条件出是从已知条件出发, ,逐步推向逐步推向结论, ,综合法的适用范合法的适用范围是是: :(1)(1)定定义明确的明确的问题, ,如如证明函数的明函数的单调性、奇偶性性、奇偶性, ,求求证无无条件的等式或不等式等条件的等式或不等式等. .(2)(2)已知条件明确已知条件明确, ,并且容易通并且容易通过分析和分析和应用条件能逐步逼近用条件能逐步逼近结论的的题型型. .类型二型二 分析法分析法解解题准准备:1.:1.
8、用用Q Q表示要表示要证明的明的结论, ,则分析法可用框分析法可用框图表示表示为2.2.分析法是分析法是“执果索因果索因”, ,一步步一步步寻求上一步成立的充分条求上一步成立的充分条件件, ,因此分析法又叫做逆因此分析法又叫做逆证法或法或执果索因法果索因法. .3.3.分析法格式分析法格式: :与与综合法正好相反合法正好相反, ,它是从要求它是从要求证的的结论出出发, ,倒着分析倒着分析, ,由未知想需知由未知想需知, ,由需知逐由需知逐渐靠近已知靠近已知( (已知条件已知条件, ,已已经学学过的定的定义、定理、公理、公式、法、定理、公理、公式、法则等等).).这种种证明明的方法关的方法关键在
9、于需保在于需保证分析分析过程的每一步都是可以逆推的程的每一步都是可以逆推的, ,它的常它的常见书写表达式是写表达式是“要要证只需只需”或或“”. .4.4.综合法和分析法均属于直接合法和分析法均属于直接证明的方法明的方法, ,经常要把两种方常要把两种方法法结合起来用合起来用, ,也就是也就是说“两两头凑凑”, ,会使会使问题容易解决容易解决. .反思感悟反思感悟在解决在解决问题时,根据条件的根据条件的结构特点去构特点去转化化结论,得到中得到中间结论Q,根据根据结论的特点的特点转化得到中化得到中间结论P,归结为证明明P Q之之间的关系的关系,通常用分析法通常用分析法寻找思路找思路,综合法完合法完
10、成成证明明. 类型三型三 反反证法法解解题准准备:1.:1.反反证法是法是间接接证明的一种方法明的一种方法, ,在数学研究和考在数学研究和考试中有着重要的作用中有着重要的作用. .一般地一般地, ,假假设原命原命题不成立不成立, ,经过正正确的推理确的推理, ,最后得出矛盾最后得出矛盾, ,因此因此说明假明假设错误, ,从而从而证明了明了原命原命题的成立的成立, ,这样的的证明方法叫做反明方法叫做反证法法. .2.2.反反证法的理法的理论依据是依据是逻辑规律中的排除律律中的排除律: :一个事物是一个事物是A A或或 , ,二者必居其一二者必居其一, ,反反证法即法即证明明结论的反面的反面错误,
11、 ,从而从而结论正确正确. .3.3.用反用反证法法证明明问题的步的步骤:(1):(1)分清命分清命题的条件和的条件和结论, ,假假设命命题的的结论不成立不成立, ,即假即假设结论的反面成立的反面成立;(2);(2)从从这个个假假设出出发, ,经过推理推理论证, ,得出矛盾得出矛盾;(3);(3)从矛盾判断假从矛盾判断假设不不正确正确, ,从而肯定命从而肯定命题的的结论正确正确. .4.4.适宜用反适宜用反证法法证明的数学命明的数学命题:(1):(1)结论本身是以否定形式本身是以否定形式出出现的命的命题;(2);(2)关于唯一性、存在性命关于唯一性、存在性命题;(3);(3)结论以以“至至多多
12、”、“至少至少”等形式出等形式出现的命的命题;(4);(4)结论的反面比原的反面比原结论更具体、更容易研究的命更具体、更容易研究的命题. .【典例典例3】已知已知a,b,c是互不相等的是互不相等的实数数.求求证:由由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和和y=cx2+2ax+b确定的确定的三条抛物三条抛物线至少有一条与至少有一条与x轴有两个不同的交点有两个不同的交点.证明明假假设题设中的函数确定的三条抛物中的函数确定的三条抛物线都不与都不与x轴有两有两个不同的交点个不同的交点(即任何一条抛物即任何一条抛物线与与x轴没有两个不同的交没有两个不同的交点点),由由y=axy=ax2 2+2
13、bx+c,+2bx+c,y=bxy=bx2 2+2cx+a,+2cx+a,y=cxy=cx2 2+2ax+b,+2ax+b,得得1 1=(2b)=(2b)2 2-4ac0,-4ac0,2 2=(2c)=(2c)2 2-4ab0,-4ab0,3 3=(2a)=(2a)2 2-4bc0.-4bc0.同向不等式求和得同向不等式求和得, ,4b4b2 2+4c+4c2 2+4a+4a2 2-4ac-4ab-4bc0,-4ac-4ab-4bc0,2a2a2 2+2b+2b2 2+2c+2c2 2-2ab-2bc-2ca0,-2ab-2bc-2ca0,(a-b)(a-b)2 2+(b-c)+(b-c)2
14、2+(c-a)+(c-a)2 20,0,a=b=c,a=b=c,这与与题设a,b,ca,b,c互不相等矛盾互不相等矛盾, ,因此假因此假设不成立不成立, ,从而命从而命题得得证. . 反思感悟反思感悟 本本题是是“至少至少”型命型命题, ,直接直接证明比明比较困困难, ,因此因此可用反可用反证法法, ,即否定命即否定命题寻找矛盾找矛盾命命题得得证. .错源源 逻辑不不严密密【典例典例】如如图, ,设四面体四面体P-ABCP-ABC中中,ABC=90,ABC=90,PA=PB=PC,D,PA=PB=PC,D是是ACAC中点中点, ,求求证:PD:PD平面平面ABC.ABC. 错解解PA=PC,D
15、PA=PC,D是是ACAC的中点的中点, ,PDAC.PDAC.又又BCAB,BCAB,BCPD.BCPD.又又ACBC=C,ACBC=C,PDPD平面平面ABC.ABC. 剖析剖析 本本题错误的原因在于的原因在于证明明PDBCPDBC时没有理没有理论依据依据, ,完完全凭感全凭感觉, ,没有没有逻辑感感. . 正解正解 连接接BD,BD,因因为BDBD是是RtABCRtABC斜斜边上的中上的中线, ,所以所以DA=DC=DB.DA=DC=DB.又又PA=PB=PC,PA=PB=PC,而而PDPD是公共是公共边, ,PADPBDPCD,PADPBDPCD,PDA=PDC=PDB=90PDA=PDC=PDB=90, ,PDAC,PDBD,PDAC,PDBD,又又AC,BDAC,BD为平面平面ABCABC内两相交的直内两相交的直线. .PDPD平面平面ABC.ABC.1.1.横向联系横向联系, ,多解求优多解求优3.3.巧用结论巧用结论, ,妙法解题妙法解题 答案答案AA
