常微分方程基本概念推荐课件

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1、一、微分方程一、微分方程一、微分方程一、微分方程第六章微第六章微第六章微第六章微 分分分分 方方方方 程程程程第一节第一节第一节第一节微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念微分方程的基本概念二、微分方程的解二、微分方程的解二、微分方程的解二、微分方程的解2021/8/221n300多年前，由牛顿多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关与求解

2、微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物然而，运动物体体(变量变量)与它的瞬时变化率与它的瞬时变化率(导数导数)之间，通常在运动过之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结这种联系，而这种联系，用

3、数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然运动规律将一目了然.下面的例子，将会使你看到微分下面的例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言. 2021/8/222定义定义 1凡含有未知函数导数凡含有未知函数导数 ( (或微分或微分) ) 的方程的方程，一、微分方程一、微分方程一、微分方程一、微分方程称为称为微分方程微分方程， 有有时时简简称称为为方方程程，未未知知函函数数是是一一元元函数的微分方程函数的微分方程称做常微分方程称做常微分方程，

4、 未未知知函函数数是是多多元元函数的微分方程函数的微分方程称做偏微分方程称做偏微分方程. . 本本教教材材仅仅讨讨论论常常微微分方程，并简称为微分方程分方程，并简称为微分方程. .( (1) ) y = kx, k 为常数；为常数；例例如如，下下列列方方程程都都是是微微分分方方程程 ( (其其中中 y, v, 均均为为未知函数未知函数).).( (2) ) ( y - - 2xy) dx + + x2 dy = 0；( (3) ) mv (t) = mg - - kv(t)；2021/8/223微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为称为微分方程

5、的阶微分方程的阶. . 例如，方程例如，方程 ( (1) ) - - ( (3) ) 为一阶微为一阶微分方程，分方程， 通常，通常，n 阶微分方程的一般形式为阶微分方程的一般形式为F(x, y, y , , y(n) = 0，其中其中 x 是自变量，是自变量， y 是未知函数，是未知函数，F(x, y, y , , y(n)是已知函数，是已知函数， 而且一定含有而且一定含有 y(n).( (4) )( (5) )方程方程 ( (4) ) - - ( (5) ) 为二阶微分方程为二阶微分方程.2021/8/224定义定义 2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的任何代入微分方程后使其成为恒等式的函

6、数，都叫做该方程的解函数，都叫做该方程的解. .二、微分方程的解二、微分方程的解二、微分方程的解二、微分方程的解 若若微微分分方方程程的的解解中中含含有有任意常数的个数与方程的阶数相同任意常数的个数与方程的阶数相同， 且且任任意意常常数数之之间间不不能能合合并并，则则称称此此解解为为该该方方程程的的通通解解( (或或一一般般解解) ).当当通通解解中中的的各各任任意意常常数数都都取取特特定定值值时时所所得得到到的的解解，称称为方程的为方程的特解特解. .例例如如方方程程 y = 2x 的的解解 y = x2 + + C 中中含含有有一一个个任任意常数且与该方程的阶数相同，意常数且与该方程的阶数

7、相同， 因此，这个解是方程的因此，这个解是方程的通解；通解； 如果求满足条件如果求满足条件 y(0) = 0 的解，代入通解的解，代入通解 y = x2 + + C 中，中， 得得 C = 0，那那么么 y = x2 就就是是方方程程 y = 2x 的的特特解解.2021/8/225二阶微分方程的初始条件是二阶微分方程的初始条件是即即 y(x0) = y0 与与 y (x0) = y 0，一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为一个微分方程与其初始条件构成的问题，称为初值问题初值问题. .求解某初值问题，就是求方程的特解求解某初值问题，就是求方程的特解.用用来来确确定定通通解解中中的的任任意意

8、常常数数的的附附加加条条件件一一般般称称为初始条件为初始条件.通常一阶微分方程的初始条件是通常一阶微分方程的初始条件是2021/8/226例例 1 验证函数验证函数 y = 3e x xe x 是方程是方程y + + 2y + + y = 0的解的解.解解 求求 y = 3e x xe x 的导数，的导数，y = -= - 4e x + xe - - x,y = 5e x - - xe - - x,将将 y，y 及及 y 代入原方程的左边，代入原方程的左边，(5e x - - xe - - x) + + 2(- - 4e x + xe - - x) + + 3e x xe x = 0，即函数即

9、函数 y = 3e x xe x 满足原方程，满足原方程，得得有有所以该函数是所以该函数是所给二阶微分方程的解所给二阶微分方程的解.2021/8/227 得得 C = 2，故故所所求特解为求特解为 y = 2x2 . 例例 2 验证方程验证方程 的通解的通解 为为 y = Cx2 ( (C 为为任任意意常常数数) )，并并求求满满足足初初始始条条件件 y|x = 1 = 2 的的特特解解.解解 由由 y = Cx2 得得y = 2Cx,将将 y 及及 y 代代入入原原方方程程的的左左、右右两两边边，左边有左边有 y = 2Cx，所所 以以 函函 数数 y = C x2 满满 足足 原原 方方

10、程程.又因为该函数含有一个任意常数，又因为该函数含有一个任意常数， 所所以以 y = Cx2 是是一一阶微分方程阶微分方程将初始条件将初始条件 y|x = 1 = 2 代入通解，代入通解，2021/8/228例例 3设设一一个个物物体体从从 A 点点出出发发作作直直线线运运动动，在在任任一一时时刻刻的的速速度度大大小小为为运运动动时时间间的的两两倍倍. 求求物物体体运动规律运动规律 ( (或称运动方程或称运动方程) )解解首先建立坐标系：取首先建立坐标系：取 A 点为坐标原点，点为坐标原点，物体运动方向为坐标轴的正方向物体运动方向为坐标轴的正方向( (如图如图) )， 并设物体并设物体在时刻在

11、时刻 t 到达到达 M 点，其坐标为点，其坐标为 s(t). 显显然然，s(t) 是是时时间间 t 的的函函数数，它它表表示示物物体体的的运运动动规规律律，是是本本题题中中待待求的未知函数，求的未知函数， s(t) 的的导导数数 s (t) 就就是是物物体体运运动动的的速速度度 v(t).由题意，知由题意，知v(t) = 2t ，以及以及s(0) = 0.ASOMs(t)2021/8/229因为因为 v(t) = s (t)，因此，求物体的运动方程已，因此，求物体的运动方程已化成了求解初值问题化成了求解初值问题 积分后，得通解积分后，得通解 s(t) = t2 + C . 故初值问题的解为故初

12、值问题的解为 s(t) = t2，也是本题所求的物体的运动方程也是本题所求的物体的运动方程. 再将初始条件再将初始条件 代入通解中，得代入通解中，得 C = 0，2021/8/2210例例 4已已知知直直角角坐坐标标系系中中的的一一条条曲曲线线通通过过点点 ( (1, 2) )，且且在在该该曲曲线线上上任任一一点点 P( (x, y) ) 处处的的切切线线斜斜率率等于该点的纵坐标的平方，求此曲线的方程等于该点的纵坐标的平方，求此曲线的方程.解解 设所求曲线的方程为设所求曲线的方程为 y = y(x)， 根根据据导导数数的的几何意义及本题所给出的条件，几何意义及本题所给出的条件，y = y2，即

13、即积分得积分得又由于已知曲线过点又由于已知曲线过点 (1, 2)，代入上式，得，代入上式，得所以，求此曲线的方程为所以，求此曲线的方程为得得2021/8/2211一一般般地地，微微分分方方程程的的每每一一个个解解都都是是一一个个一一元元函数函数 y = y(x) ，其其图图形形是是一一条条平平面面曲曲线线，我我们们称称它为微分方程的它为微分方程的积分曲线积分曲线. 通通解解的的图图形形是是平平面面上上的的一族曲线，称为一族曲线，称为积分曲线族积分曲线族， 特特解解的的图图形形是是积积分分曲线族中的一条确定的曲线曲线族中的一条确定的曲线. 这这就就是是微微分分方方程程的的通解与特解的几何意义通解

14、与特解的几何意义.2021/8/2212一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程第六章微第六章微第六章微第六章微 分分分分 方方方方 程程程程第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程第二节一阶微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程二、齐次方程二、齐次方程二、齐次方程二、齐次方程2021/8/2213一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为F(x, y, y ) = 0.2021/8/2214一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程一、可分离变量方程例如：形如例如：形如y = f

15、 (x) g (y)的微分方程，称为的微分方程，称为可分离变量方程可分离变量方程.( (1) ) 分离变量分离变量将方程整理为将方程整理为使方程各边都只含有一个变量使方程各边都只含有一个变量.的形式，的形式，2021/8/2215( (2) ) 两边积分两边积分两边同时积分，得两边同时积分，得故方程通解为故方程通解为我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示我们约定在微分方程这一章中不定积分式表示被积函数的一个原函数，被积函数的一个原函数，而把积分所带来的任意常而把积分所带来的任意常数明确地写上数明确地写上.2021/8/2216例例 1 求方程求方程解解分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边

16、积分，得这就是所求方程的通解这就是所求方程的通解2021/8/2217例例 2 求方程求方程解解分离变量，得分离变量，得两边积分，得两边积分，得化简得化简得2021/8/2218另外，另外，y = 0 也是方程的解，也是方程的解，因此因此 C2 为任意常数为任意常数求解过程可简化为：求解过程可简化为：两边积分得两边积分得即通解为即通解为其中其中 C 为任意常数为任意常数. .中中 的的 C2 可可以以为为 0，这样，方程的通解是这样，方程的通解是分离变量得分离变量得2021/8/2219例例 3 求求方方程程 dx + + xydy = y2dx + + ydy 满满足足初初始始条条件件 y(

17、0) = 2 的特解的特解.解解将方程整理为将方程整理为分离变量，得分离变量，得两边积分，有两边积分，有2021/8/2220化简，得化简，得即即将初始条件将初始条件 y(0) = 2 代入，代入，为所求之通解为所求之通解. .得得 C = 3. .故所求特解为故所求特解为2021/8/2221例例 4解解分离变量得分离变量得即即2021/8/2222两边积分，得两边积分，得经整理，得方程的通解为经整理，得方程的通解为也可写为也可写为2021/8/2223 形如方程称为齐次方程,求解方法:二、可化二、可化为变量分离方程量分离方程类型型2021/8/2224例4求解方程解:方程变形为这是齐次方程

18、,即将变量分离后得2021/8/2225两边积分得:即代入原来变量,得原方程的通解为2021/8/2226例6求下面初值问题的解解:方程变形为这是齐次方程,将变量分离后得2021/8/2227两边积分得:整理后得变量还原得故初值问题的解为2021/8/2228三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程一阶微分方程的下列形式一阶微分方程的下列形式称为一阶线性微分方程，简称称为一阶线性微分方程，简称一阶线性方程一阶线性方程. . 其中其中P(x)、Q (x) 都是自变量的已知连续函数都是自变量的已知连续函数. . 左边的每项中仅含左边的每项中仅含 y 或或 y

19、 ，且均为，且均为 y 或或 y 的一次项的一次项. . 它的特点它的特点是：右边是已知函数，是：右边是已知函数，2021/8/2229称称为为一一阶阶线线性性齐齐次次微微分分方方程程，简简称称线线性性齐齐次次方方程程， 0，则称方程，则称方程 为一阶线性非齐次微分为一阶线性非齐次微分方程，简称方程，简称线性非齐次方程线性非齐次方程. 通常方程通常方程 称为方程称为方程 所对应的线性齐次方程所对应的线性齐次方程.若若 Q (x)若若 Q (x) 0，则方程成为，则方程成为2021/8/22301 1. . . .一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程的解法一阶线性齐次方程

20、的解法一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程是可分离变量方程是可分离变量方程. .两边积分，得两边积分，得所以，方程的通解公式为所以，方程的通解公式为分离变量，得分离变量，得2021/8/2231例例 6 求方程求方程 y + + (sin x)y = 0 的通解的通解.解解所所给给方方程程是是一一阶阶线线性性齐齐次次方方程程，且且 P(x) = sin x，由通解公式即可得到方程的通解为由通解公式即可得到方程的通解为则则2021/8/2232例例 7求方程求方程 (y - - 2xy) dx + + x2dy = 0 满足初始满足初始条件条件 y|x=1 = e 的特解的特解. .解解将所给方程化

21、为如下形式：将所给方程化为如下形式：这是一个线性齐次方程，这是一个线性齐次方程，则则由通解公式得该方程的通解由通解公式得该方程的通解将初始条件将初始条件 y(1) = e 代入通解，代入通解， 得得 C = 1. .故所求特解为故所求特解为2021/8/22332 2. . . .一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法一阶线性非齐次方程的解法设设 y = C(x)y1 是非齐次方程的解，是非齐次方程的解， 将将 y = C(x)y1 ( (其其中中 y1 是是齐齐次次方方程程 y + + P (x) y = 0 的的解解) )及及其其导导数数 y = C (x

22、) y1 + + C(x) y 1 代入方程代入方程则有则有即即2021/8/2234因因 y1 是对应的线性齐次方程的解，是对应的线性齐次方程的解，因此有因此有其中其中 y1 与与 Q(x) 均为已知函数，均为已知函数，代入代入 y = C (x)y1 中，得中，得容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程容易验证，上式给出的函数满足线性非齐次方程 所以可以通过积分所以可以通过积分求得求得2021/8/2235且且含含有有一一个个任任意意常常数数，所所以以它它是是一一阶阶线线性性非非齐齐次次方方程程的通解的通解在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解为在运算过程中，我们取线性齐次方程的一个解

23、为于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：于是，一阶线性非齐次方程的通解公式，就可写成：上上述述讨讨论论中中所所用用的的方方法法，是是将将常常数数 C 变变为为待待定定函数函数 C(x)， 再通过确定再通过确定 C(x) 而求得方程解的方法，而求得方程解的方法，称为称为常数变易法常数变易法. .2021/8/2236例例 8 求方程求方程 2y - - y = ex 的通解的通解.解解法一法一 使用常数变易法求解使用常数变易法求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方这是一个线性非齐次方程，它所对应的线性齐次方程的通解为程的通

24、解为将将 y 及及 y 代入该方程，得代入该方程，得设设所所给给线线性性非非齐齐次次方方程程的的解解为为2021/8/2237于是，有于是，有因此，原方程的通解为因此，原方程的通解为解法解法二二 运用通解公式求解运用通解公式求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：2021/8/2238则则代入通解公式，得原方程的通解为代入通解公式，得原方程的通解为2021/8/2239例例 9 求解初值问题求解初值问题解解使用常数变易法求解使用常数变易法求解将所给的方程改写成下列形式：将所给的方程改写成下列形式：则与其对应的线性齐次方程则与其对应的线性齐次方程的通解为的通解为2021/8/

25、2240设所给线性非齐次方程的通解为设所给线性非齐次方程的通解为于是，有于是，有将将 y 及及 y 代入该方程，得代入该方程，得2021/8/2241因此，原方程的通解为因此，原方程的通解为将初始条件将初始条件 y(p p) = 1 代入，得代入，得 C = p p，所所 以以 ，所求的特解，即初值问题的解为所求的特解，即初值问题的解为2021/8/2242例例 10求方程求方程 y2dx + (x - - 2xy - - y2)dy = 0 的通解的通解.解解将原方程改写为将原方程改写为这这是是一一个个关关于于未未知知函函数数 x = x(y) 的的一一阶阶线线性性非非齐齐次次方程，方程，它

26、的自由项它的自由项 Q(y) = 1.2021/8/2243代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有即所求通解为即所求通解为2021/8/2244第七章微第七章微第七章微第七章微 分分分分 方方方方 程程程程第三节一阶微分方程应用举例第三节一阶微分方程应用举例第三节一阶微分方程应用举例第三节一阶微分方程应用举例例例 1 设设曲曲线线过过点点 ( (1, 1) )，且且其其上上任任意意点点 P 的的切切线在线在 y 轴上截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程轴上截距是切点纵坐标的三倍，求此曲线方程.解解设设所所求求的的曲曲线线方方程程为为 y = y(x)，P(x,

27、 y) 为为其其上上任意点，任意点， 则则过过点点 P 的的切切线线方方程为程为其中其中 (X, Y) 是切线上动点是切线上动点, ,(x, y) 是曲线上任意固定的点是曲线上任意固定的点. .xyOP(x, y)L2021/8/2245令令 X = 0 ，得切线在，得切线在 y 轴上的截距为轴上的截距为 Y = y - - xy ，y - - xy = 3y，这是一阶线性齐次方程，其通解为这是一阶线性齐次方程，其通解为因曲线过点因曲线过点 ( (1, 1) ). 代入方程，得代入方程，得 C = 1.所所 以以 曲曲 线线方程为方程为由题意得由题意得2021/8/2246例例 2 设设跳跳伞

28、伞员员开开始始跳跳伞伞后后所所受受的的空空气气阻阻力力与与他下落的速度成正比他下落的速度成正比 ( (比例系数为常数比例系数为常数 k 0) )，起起跳跳时时的的速速度度为为 0. 求求下下落落的的速速度度与与时时间间之之间间的的函函数关系数关系.解解设下落速度为设下落速度为 v(t)， 则则加加速速度度 a = v (t)运运动动，物体所受的外力为：物体所受的外力为：F = mg kv，于是，由牛顿第二定律可得于是，由牛顿第二定律可得 mg - - kv = mv ， 2021/8/2247又由题意得初始条件又由题意得初始条件v | |t = 0 = 0，可见，初值问题可见，初值问题 是一个

29、一是一个一阶线性非齐次微分方程，其通解为阶线性非齐次微分方程，其通解为由由 v(0) = 0 得得 C = mg. . 即为所求的函数关系即为所求的函数关系. .所以，特解所以，特解2021/8/2248例例 4 假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却，假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却， 物物体体的的初初始始温温度度为为 200 C ，且且由由 200 C 冷冷却却到到 100 C 需需要要 40 s.已已知知( (冷冷却却定定律律) )：冷冷却却速速率率与与物物体体和和介介质质的的温温度度差差成正比成正比.其介质其介质( (冷却剂冷却剂) )温度始终保持为温度始终保持为 10 C， 并并求求物

30、物体温度降到体温度降到 20 C 所需的时间所需的时间.解解设物体温度为设物体温度为 = (t)， 则则物物体体的的冷冷却却速速率率为为 (t) . 由冷却定律可得由冷却定律可得 (t) 应满足的微分方程为应满足的微分方程为 (t) = - - k (t) - -10 (k 0) ，试求物体温度试求物体温度 与时间与时间 t 的函数关系的函数关系,2021/8/2249另由题意知另由题意知 (t) 所满足的初始条件为所满足的初始条件为 | |t = 0 = 200.于是，初值问题是于是，初值问题是解此初值问题，得特解解此初值问题，得特解 (t) = 10 + + 190e- -kt .因此，得

31、因此，得由于由于 (40) = 100， 即即 100 = 10 + 190e- -40k ，2021/8/2250最后，将最后，将 = 20 代入上式，代入上式，即物体温度降到即物体温度降到 20 C 大约需要大约需要 2 min38 s . 从而得物体温度从而得物体温度 与时间与时间 t 的函数关系为的函数关系为并解出并解出2021/8/2251一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构第七章微第七章微第七章微第七章微 分分分分 方方方方 程程程程第四节第四节第四节第四节二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二阶常

32、系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法三、应用举例三、应用举例三、应用举例三、应用举例2021/8/2252一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构一、二阶线性微分方程解的结构二阶微分方程的如下形式二阶微分方程的如下形式y + p(x)y + q(x)y = f (x) 称为二阶线性微分方程称为二阶线性微分方程，简称简称二阶线性方程二阶线性方程. f (x) 称称为为自自由由项项，当当 f (x) 0 时时，称称为为二二阶阶

33、线线性性非非齐齐次次微分方程微分方程， 简称简称二阶线性非齐次方程二阶线性非齐次方程. . 当当 f (x) 恒恒为为 0 时时，称为称为二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程， 简简称称二二阶阶线线性性齐次方程齐次方程. 方方程程中中 p(x)、 q(x) 和和 f (x) 都都是是自自变变量量的已知连续函数的已知连续函数. 这这类类方方程程的的特特点点是是：右右边边是是已已知知函数或零，左边每一项含函数或零，左边每一项含 y 或或 y 或或 y， 且且每每项项均均为为 y 或或 y 或或 y 的一次项，的一次项， 例例如如 y + + xy + + y = x2 就就是是二阶线性非齐次方

34、程二阶线性非齐次方程. 而而 y + + x(y )2 + + y = x2 就就不不是是二阶线性方程二阶线性方程.2021/8/2253定定理理 1如如果果函函数数 y1 与与 y2 是是线线性性齐齐次次方方程程的的两个解，两个解，y = C1 y1 + + C2 y2仍为该方程的解仍为该方程的解，证证因因为为 y1 与与 y2 是是方方程程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个解，的两个解，与与所以有所以有其中其中 C1， C2 是任意常数是任意常数.则函数则函数2021/8/2254于是有于是有y + p(x)y + q(x)y = 0所以所以 y = C1y1 + C2y

35、2 是是 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解的解.2021/8/2255定定义义设设函函数数 y1(x) 和和 y2(x) 是是定定义义在在某某区区间间 I 上上的两个函数，的两个函数，k1 y1(x) + + k2 y2(x) = 0不失一般性，不失一般性，考察两个函数是否线性相关，考察两个函数是否线性相关， 我们往往采用另一种我们往往采用另一种简单易行的方法，即看它们的比是否为常数，简单易行的方法，即看它们的比是否为常数， 事事实实上上，当当 y1(x) 与与 y2(x) 线性相关时，有线性相关时，有 k1 y1 + + k2 y2 = 0， 其其中中 k1, k2 不全为不

36、全为 0，如果存在两个不全为如果存在两个不全为 0 的常数的常数 k1和和 k2， 使使在区间在区间 I 上恒成立上恒成立.则称函数则称函数 y1(x) 与与 y2(x) 在区间在区间 上上是是线性相关线性相关的，否则称为的，否则称为线性无关线性无关.2021/8/2256即即 y1 与与 y2 之比为常数之比为常数. 反反之之，若若y1 与与 y2 之之比比为为常常数数，则则 y1 = l l y2，即，即 y1 - - l l y2 = 0. 所以所以 y1 与与 y2 线性相关线性相关. 因因此此，如如果果两两个个函函数数的的比比是是常常数数，则则它它们们线性相关；线性相关；例例如如函函

37、数数 y1 = ex，y2 = e - -x，所以，它们是线所以，它们是线性无关的性无关的.如果不是常数，则它们线性无关如果不是常数，则它们线性无关.2021/8/2257定定理理 2如如果果函函数数 y1 与与 y2 是是二二阶阶线线性性齐齐次次方方程程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解，的两个线性无关的特解，y = C1 y1 + C2 y2是该方程的通解，是该方程的通解，证证因因为为 y1 与与 y2 是是方方程程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解，的解，所以，由定理所以，由定理 1 知知 y = C1 y1 + C2 y2 也是该方程的解

38、也是该方程的解.又因为又因为 y1 与与 y2 线性无关，即线性无关，即 y1 与与 y2 之比不为常数，之比不为常数，故故C1 与与C2不能合并为一个任意常数，不能合并为一个任意常数，因此因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解是二阶线性齐次方程的通解.则则其中其中 C1, C2为任意常数为任意常数.所所以以它它们们中中任任一一个个都都不不能能用用另另一一个个 ( ( 形形如如 y1 = ky2 或或 y2 = k1 y) ) 来表示来表示.2021/8/2258定理定理 3如果函数如果函数 y* 是线性非齐次方程的一个是线性非齐次方程的一个特解，特解，y = Y

39、+ y*，是线性非齐次方程的通解是线性非齐次方程的通解.证证因为因为 y*与与 Y 分别是线性非齐次方程分别是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 和线性齐次方程和线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解，的解，所以有所以有y* + p(x)y* + q(x)y* = f (x)，Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .Y 是该方程所对应的线性齐次方程的通解，是该方程所对应的线性齐次方程的通解，则则2021/8/2259又因为又因为 y = = Y + + y* ， y = Y + + y* ， 所以所以y + p(x)y + q(x)

40、y = (Y + + y* ) + p(x)(Y + + y* ) + q(x)(Y + + y*)= (Y + p(x) Y + q(x)Y) + + ( y* + p(x) y* + q(x)y*)= f (x).2021/8/2260求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为：( (1) ) 求求线线性性齐齐次次方方程程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的的线线性无关的两个特解性无关的两个特解 y1 与与 y2，得该方程的通解得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2.( (2) ) 求求线线性性非非齐齐次次方方程程 y + p(x)y +

41、 q(x)y = f (x) 的一个特解的一个特解 y*.那么，线性非齐次方程的通解为那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*. 又又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常数，数，故故 y = Y + y* 中含有两个任意常数中含有两个任意常数. 即即 y = Y + y* 是线性非齐次方程是线性非齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的通解的通解.这说明函数这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解，是线性非齐次方程的解，2021/8/2261y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)

42、 + f2 (x)，y + p(x)y + q(x)y = f1 (x)，和和y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)则则是方程是方程 的特解的特解.定理定理 4设二阶线性非齐次方程为设二阶线性非齐次方程为的特解，的特解，2021/8/2262证证因为因为 y1* 与与 y2* 分别是分别是 与与 的特解，的特解，y1* + p(x)y1* + q(x)y1* = f 1(x)，与与y2* + p(x)y2* + q(x)y2* = f 2(x) .于是有于是有= f 1(x) + + f 2(x) ， 所以有所以有= y1* + p(x)y1* + q(x)y1*+ y2* +

43、p(x)y2* + q(x)y2*即即 y1* + y2* 满足方程满足方程 ，2021/8/2263二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法二、二阶常系数线性微分方程的解法如果二阶线性微分方程为如果二阶线性微分方程为y + py + qy = f(x) ，其中其中 p、 q 均为常数，均为常数， 则则称称该该方方程程为为二二阶阶常常系系数数线线性微分方程性微分方程.2021/8/2264设二阶常系数线性齐次方程为设二阶常系数线性齐次方程为y + py + qy = 0 .考虑到左边考虑到左边 p，q 均为常数，均为常数， 我我们们可可以

44、以猜猜想想该该方方程程具有具有 y = erx 形式的解，其中形式的解，其中 r 为待定常数为待定常数. 将将 y = rerx, y = r2erx 及及 y = erx 代入上式，代入上式，erx (r2 + pr + q) = 0 . 1 1. . . .二阶常系数线性齐次方程的解法二阶常系数线性齐次方程的解法二阶常系数线性齐次方程的解法二阶常系数线性齐次方程的解法由于由于erx 0，因此，只要，因此，只要 r 满足方程满足方程r2 + pr + q = 0，即即 r 是上述一元二次方程的根时，是上述一元二次方程的根时，y = erx 就是就是式的解式的解.方程方程称为方程称为方程的的特

45、征方程特征方程. 特征方特征方程根称为程根称为特征根特征根.得得2021/8/22651 特征方程具有两个不相等的实根特征方程具有两个不相等的实根 r1 与与 r2，2 特征方程具有两个相等的实根，特征方程具有两个相等的实根，这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个这时，由特征根可得到常系数线性齐次方程的一个特解特解 y1 = erx.还还需需再再找找一一个个与与 y1 线线性性无无关关的的特特解解 y2，为此，设为此，设 y2 = u(x)y1，其中其中 u(x)为待定函数为待定函数. 将将 y2 及及其其一一阶阶、二二阶阶导导数数 y 2 = (uer x) = er x(u (x)

46、+ ru(x)， y 2 = erx (u (x) + 2ru (x) + r2u(x)， 代代入入方方程程 y + py + qy = 0 中，得中，得因而它的通解为因而它的通解为所所以以 y1 与与 y2 线线性性无无关关， 都都是是 的解，的解， 即即 r1 r2.那么，这时函数那么，这时函数即即2021/8/2266注注意意到到 是是特特征征方方程程的的重重根根， 所所以以有有 r2 + + pr + + q = 0及及 2r + + p = 0.且且 erx 0，因此只要因此只要 u(x) 满足满足则则 y2 = uerx就是就是 式的解，式的解， 为为简简便便起起见见，取取方方程程

47、 u (x) = 0 的一个解的一个解 u = x， 于是得到方程于是得到方程 且与且与 y1 = erx 线性无关的解线性无关的解 y2 = xerx. 因此，因此，式的通式的通解为解为2021/8/22673 特特征征方方程程具具有有一一对对共共轭轭复复根根 r1 = + + ib b 与与 r2 = ib .b . 这时有两个线性无关的特解这时有两个线性无关的特解 y1 = e( + + ib b )x 与与 y2 = e( - - ib b )x.这是两个复数解，这是两个复数解， 为为了了便便于于在在实实数数范围内讨论问题，范围内讨论问题，我们再找两个线性无关的实数解我们再找两个线性无

48、关的实数解. 由欧拉公式由欧拉公式 ( (这公式我们将在无穷级数章中补证这公式我们将在无穷级数章中补证) )，可得，可得2021/8/2268于是有于是有由由定定理理 1 知知，以以上上两两个个函函数数 e x cosb bx 与与 e x sinb bx均为均为 式的解，式的解，且它们线性无关且它们线性无关. 因此，这时方程因此，这时方程的通解为的通解为2021/8/2269 上上述述求求二二阶阶常常系系数数线线性性齐齐次次方方程程通通解解的的方方法法称称为特征根法，其步骤是：为特征根法，其步骤是：( (1) ) 写出所给方程的特征方程；写出所给方程的特征方程；( (2) ) 求出特征根；求

49、出特征根； ( (3) ) 根根据据特特征征根根的的三三种种不不同同情情况况，写写出出对对应应的的特解，并写出其通解特解，并写出其通解.2021/8/2270特征根方程的通解 一对共轭复根r1,2= i两个不等的实根r1, r2两个相等的实根r1=r2=r( 0)2021/8/2271例例 1求方程求方程 y - - 2y - - 3y = 0 的通的通解解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2 - - 2r 3 = 0, 它有两它有两个不等的实根个不等的实根 r1 = - - 1， r2 = = 3, 其其对对应应的的两两个个线线性性无无关的特解为关的特解为 y1 = e- - x

50、 与与 y2 = e3x,所所以以方方程程的的通通解解为为2021/8/2272例例 2求求方方程程 y - - 4y + + 4y = 0 的的满满足足初初始始条条件件 y(0) = 1， y (0) = 4 的特解的特解.解解该方程的特征方程为该方程的特征方程为 r2 - - 4r + + 4 = 0，求得求得求得求得将将 y(0) = 1，y (0) = 4 代入上两式，得代入上两式，得 C1 = 1，C2 = 2，y = (1 + + 2x)e2x. 其其对对应应的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解为为 y1 = e2x 与与 y2 = xe2x，所以通解为所以通解为所以通解为所以

51、通解为因此，所求特解为因此，所求特解为 它它有有重根重根 r = 2.2021/8/2273例例 3求方程求方程 2y + + 2y + + 3y = 0 的通的通解解.解解该该方方程程的的特特征征方方程程为为 2r2 + + 2r + + 3 = 0，它它有共轭复根有共轭复根对对应应的的两两个个线线性性无无关关的的解解为为所以方程的通解为所以方程的通解为所以方程的通解为所以方程的通解为2021/8/2274例例 4求方程求方程 y + + 4y = 0 的通解的通解.解解该该方方程程的的特特征征方方程程为为 r2 + + 4 = 0，它它有有共共轭轭复根复根 r1,2 = 2i. 即即 =

52、0，b b = 2. 对对应应的的两两个个线线性性无关的解无关的解 y1 = cos 2x. y2 = sin 2x. 所以方程的通解为所以方程的通解为2021/8/2275 2 2. . . .二阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法二阶常系数线性非齐次方程的解法1 自自由由项项 f (x) 为为多多项项式式 Pn(x).设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y + + py + + qy = Pn(x),其中其中 Pn(x) 为为 x 的的 n 次多项式次多项式. 当原方程当原方程 中中 y 项的系数项的系数 q 0 时时

53、， k 取取 0；当当 q = 0，但但 p 0 时时，k 取取 1；当当 p = 0， q = 0 时，时，k 取取 2. 因为方程中因为方程中 p、q 均为均为常数且多项式的导数仍为多项式，常数且多项式的导数仍为多项式， 所以可设所以可设 式的式的特解为特解为其中其中 Qn(x) 与与 Pn(x) 是同次多项式，是同次多项式，2021/8/2276例例 5求方程求方程 y - - 2y + y = x2 的一个特解的一个特解.解解因为自由项因为自由项 f (x) = x2 是是 x 的二次多项式，的二次多项式，则则代入原方程后，有代入原方程后，有且且 y 的系数的系数 q = 1 0，取，

54、取 k = 0 . 所以设特解为所以设特解为2021/8/2277比较两端比较两端 x 同次幂的系数，有同次幂的系数，有解得解得A = 1，B = 4，C = 6.故所求特解为故所求特解为2021/8/2278例例 6求方程求方程 y + + y = x3 x + + 1 的一个特的一个特解解.解解因为自由项因为自由项 f (x) = x3 x + + 1 是一个是一个 x 的三的三次多项式，次多项式，则则代入原方程后，有代入原方程后，有且且 y 的的系系数数 q = 0， p = 1 0，取取 k = 1.所以设方程的特解为所以设方程的特解为2021/8/2279比较两端比较两端 x 同次幂

55、的系数：同次幂的系数：解得解得故所求特解为故所求特解为2021/8/22802 自由项自由项 f (x) 为为 Ae x 型型设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y + + py + + qy = Ae x，其中其中 ，A 均为常数均为常数.由于由于 p，q 为常数，且指数函数的导数仍为指为常数，且指数函数的导数仍为指数函数，数函数，其中其中 B 为待定常数，为待定常数， 当当 不是不是 式所对应的线性齐式所对应的线性齐次方程的特征方程次方程的特征方程 r2 + pr + q = 0 的根时的根时，取取 k = 0；当当 是其特征方程单根时是其特征方程单根时，取取 k =

56、1； 当当 是其特征是其特征方程重根时方程重根时，取取 k = 2.因此，我们可以设因此，我们可以设 的特解的特解2021/8/2281例例 7求方程求方程 y + + y + y = 2e2x 的通解的通解.解解 = = 2 它它不不是是特特征征方方程程 r2 + r + 1 = 0 的的根根，取取 k = 0，则则代入方程，得代入方程，得故原方程的特解为故原方程的特解为所以，设特解为所以，设特解为.B72= =2021/8/2282例例 8求方程求方程 y + + 2y - - 3y = ex 的特解的特解.解解 = = 1 是是特特征征方方程程 r2 + 2r - - 3 = 0 的的单

57、单根根，取取 k = 1，则则代入方程，得代入方程，得故原方程的特解为故原方程的特解为所以，设特解为所以，设特解为,41= =B2021/8/22833 自由项自由项 f (x) 为为 e x (Acos w wx + Bsin w wx)型型设二阶常系数线性非齐次方程为设二阶常系数线性非齐次方程为y + + py + + qy = e x (Acos w wx + Bsin w wx)，其中其中 ，A ，B 均为常数均为常数.由由于于 p，q 为为常常数数，且且指指数数函函数数的的各各阶阶导导数数仍仍为指数函数，为指数函数， 正正弦弦函函数数与与余余弦弦函函数数的的导导数数也也总总是是余弦函

58、数与正弦函数，余弦函数与正弦函数，因此因此, 我们可以设我们可以设 有特解有特解其中其中 C，D 为待定常数为待定常数.取取 k = 0， 是根时是根时，取取 k = 1，代入代入 式，求得式，求得 C 及及 D. 当当 + w wi 不是不是 式所对式所对应的齐次方程的特征方程的根时应的齐次方程的特征方程的根时，2021/8/2284例例 9求方程求方程 y + + 3y - - y = ex cos 2x 的一个特的一个特解解.解解自自由由项项 f (x) = ex cos 2x 为为 e x( (Acosw wx + Bsinw wx) ) 型的函数，型的函数，则则 且且 + + w w

59、i = 1 + + 2i，它不是对应的，它不是对应的常系数线性齐次方程的特征方程常系数线性齐次方程的特征方程 r2 + + 3r 1 = 0 的根，的根，取取 k = 0，所以设特解为，所以设特解为2021/8/2285代入原方程，得代入原方程，得比较两端比较两端 cos 2x 与与 sin 2x 的系数，得的系数，得解此方程组，得解此方程组，得故所求特解为故所求特解为2021/8/2286例例 10求方程求方程 y + + y = sin x 的一个特解的一个特解.解解自由项自由项 f (x) = sin x 为为 e x(Acosw wx + Bsinw wx) 型的函数，型的函数，且且

60、= 0，w w = 1，则则代入原方程，得代入原方程，得 且且 + + w wi = i 是是特特征征方程方程 r2 + 1 = 0 的根，的根，取取 k = 1，所以，设特解为，所以，设特解为2021/8/2287比较两端比较两端 sinx 与与 cosx 的系数，得的系数，得故原方程的特解为故原方程的特解为而对应齐次方程而对应齐次方程 y + + y = 0 的通解为的通解为Y = C1cosx + C2sinx.故原方程的通解为故原方程的通解为2021/8/2288例例 11方程方程 y + + 4y = x +1 + sinx 的通解的通解.解解自由项自由项 f (x) = x +1

61、+ sinx可以看成可以看成 f1 (x) = x +1 和和 f2 (x) = sin x 之和，之和，y + + 4y = x +1，y + + 4y = sin x .和和方程方程 的特解易求得，的特解易求得，设方程设方程 的特解为的特解为的特解的特解.所以分别求方程所以分别求方程2021/8/2289代入代入，得得3Asin x = sin x. .所以所以得原方程的特解得原方程的特解2021/8/2290原方程所对应的线性齐次方程为原方程所对应的线性齐次方程为 y + + 4y = 0，其通解为，其通解为Y = C1cos 2x + C2sin 2x，故原方程的通解为故原方程的通解为

62、2021/8/2291三、应用举例三、应用举例三、应用举例三、应用举例例例 12 弹簧振动问题弹簧振动问题设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为设有一个弹簧上端固定，下端挂着一个质量为 m 的物体，的物体，当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与当弹簧处于平衡位置时，物体所受的重力与弹性恢复力大小相等，方向相反，弹性恢复力大小相等，方向相反，设设给给物物体体一一个个初初始始位位移移 x0 初初速速度度 v0， 则则物物体体便便在在其其平平衡衡位位置置附附近上下振动近上下振动. 已已知知阻阻力力与与其其速速度度成正比，成正比，O 试试求求振振动动过过程程中中位位移移 x 的变化规律的变化规律.2

63、021/8/2292物体在振动过程中，受到两个力的作用：物体在振动过程中，受到两个力的作用：ma = - - kx m mv, , 其中其中 a 为加速度，为加速度， v 为速度，为速度，解解 建建立立坐坐标标系系，平平衡衡位位置置为为原原点点, 铅铅垂垂方方向向为为 x 轴的正向，则物体位移轴的正向，则物体位移 x 是时间是时间 t 的函数的函数 x = x(t).根根据据牛牛顿顿第第二二定定律律 F = ma，知知 负负号号表表示示阻阻力力 f2 与速度与速度 v 方向相反，方向相反， 其其中中 m m 为为比例系数大于比例系数大于 0 ( ( 或称阻尼系数或称阻尼系数 ) )，阻力阻力

64、f2 与速度与速度 v 成正比，成正比， f2= - - m mv, , 负负号号表表示示弹弹性性恢恢复复力力与与位位移移 x 方方向向相反；相反； 其中其中 k 为为弹性系数大于弹性系数大于 0，由胡克定律知，由胡克定律知， f1= - - kx， 弹性恢弹性恢复力复力 f1 与阻力与阻力 f2，2021/8/2293则则 上上式方程可表示为式方程可表示为称为振动的微分方程，称为振动的微分方程， 是一个二阶常系数线性齐次是一个二阶常系数线性齐次方程，方程，它的特征方程为它的特征方程为 r2 + 2nr + w w2 = 0， 其根为其根为那么，上式变为那么，上式变为这里这里 n，w w 为正

65、常数，为正常数，2021/8/2294由题意列出初始条件由题意列出初始条件于是，上述问题化为初值问题：于是，上述问题化为初值问题：2021/8/2295下面分三种情况来讨论下面分三种情况来讨论1 大阻尼情形，即大阻尼情形，即 n w w . .是两个不相等的实根是两个不相等的实根. 所以方程的通解为所以方程的通解为2 临界阻尼情形，即临界阻尼情形，即 n = w w. .这时，特征根这时，特征根 r1 = r2 = - - n，所以方程的通解为，所以方程的通解为2021/8/22963 小阻尼情形，即小阻尼情形，即 n w w . .这时，特征根为共轭复数这时，特征根为共轭复数所以方程的通解为所以方程的通解为上式也可写成上式也可写成2021/8/2297对于对于 1 ， 2 情情形形，x(t) 都都不不是是振振荡荡函函数数，且当且当 t + 时，时， x(t) 0， 即即物物体体随随时时间间 t 的增大而趋于平衡位置的增大而趋于平衡位置. 对于对于 3 的情形，虽的情形，虽然物体的运动是振荡的，然物体的运动是振荡的， 但它仍随时间但它仍随时间 t 的增的增大而趋于平衡位置，大而趋于平衡位置， 总之，这一类振动问题均总之，这一类振动问题均会因阻尼的作用而停止，会因阻尼的作用而停止，称为弹簧的阻尼自由称为弹簧的阻尼自由振动振动.2021/8/2298