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1、无穷级数与函数逼近无穷级数与函数逼近 孙永健制造 二四年二月 无穷级数与函数逼近 级数和的演示 函数幂级数展开 傅立叶级数定义 称为级数 的前n项和(n=1, 2, ).简称部分和.由此可由无穷级数 ，得到一个部分和数列假设 存在，那么称级数 收敛，并称此极限值S为级数的和，记为 .假设 不存在，那么称级数 发散. 例1：察看 的部分和序列 的变化趋势，并求和。级数和的演示解：程序1Sn_:=Sum1/k2,k,ndata=TableSn,n,100;ListPlotdata运转后的图象图1程序1 再求出其和来Sn_:=Sum1/k2,k,ndata=TableSn,n,100;ListPlo
2、tdataNSum1/k2,k,Infinity运转后得其和的近似值为 1.644934066848例2 求 的和程序2sn_:=Sum(-1)k/k2,k,nd=Tablesn,n,100;ListPlotdNSum(-1)n/n2,n,1,Infinity图2图3运转后得其和的近似值为 -0.82246703342411321例3求幂级数 的和。程序3Sumxn/(n*3n),n,1,Infinity运转后的结果函数幂级数展开例4 写出函数f(x)=sinx的幂级数展开式，并利用图形调查幂级数部分和逼近函数的情况。解：幂级数展开必为：即为Maclaurin级数展开式为故sinx可展开为程序
3、4fx_:=Sinxgn_,x_=Dfx,x,n;sn_,x_:=Sumgk,0*xk/k!,k,0,n程序4fx_:=Sinxgn_,x_=Dfx,x,n;sn_,x_:=Sumgk,0*xk/k!,k,0,nDoPlotsn,x,Sinx,x,-Pi,Pi,PlotRange-1.1,1.1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0,n,1,9,2运转后的图象图4图5图6图7图8结论1 从这些图可以比较明晰地看到幂级数展开式前n项部分和逼近函数的情况，这里n=9，在区间- , 上幂级数与函数本身看起来已没有什么差别。我们再来看分别在闭区间- , 和 -2
4、,2 上在同一个坐标系中这些图象的情况程序4fx_:=Sinxfx_:=Sinxgn_,x_=Dfx,x,n;gn_,x_=Dfx,x,n;sn_,x_:=Sumgk,0*xk/k!,k,0,nsn_,x_:=Sumgk,0*xk/k!,k,0,nDoPlotsn,x,Sinx,x,-Pi,Pi,PlotRange-DoPlotsn,x,Sinx,x,-Pi,Pi,PlotRange-1.1,1.1,PlotStyle-1.1,1.1,PlotStyle-RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0,n,1,9,2RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0,n,1,9,2
5、 t=Tablesn,x,n,1,9,2;t=Tablesn,x,n,1,9,2;PlotEvaluatet,x,-Pi,PiPlotEvaluatet,x,-Pi,PiPlotEvaluatet,x,-2Pi,2PiPlotEvaluatet,x,-2Pi,2Pi运转后的图象图9图10图11结论2 从图中可看到，函数的幂级数展开式的前n项部分和函数逼近函数的程度，随着n的增大而提高。但对于确定n而言，它只在展开点附近的一个部分范围内才有较好的近似准确度。傅立叶级数 自然界中自然界中许许多景象是周期性反复的，例如，声多景象是周期性反复的，例如，声波是空气粒子周期性振波是空气粒子周期性振动动而而
6、产产生的，人生的，人们们呼吸呼吸时时肺部的运肺部的运动动和心和心脏脏的跳的跳动动也是周期性的，交也是周期性的，交流流电电也表达了周期也表达了周期变变化。化。对对自然界的自然界的这这种周期种周期变变化景象可以用周期函数近似地描画。化景象可以用周期函数近似地描画。 在数学上也就是用三角多在数学上也就是用三角多项项式逼近函数的式逼近函数的问题问题，傅立叶，傅立叶级级数就是一种逼近的方法数就是一种逼近的方法 以2为周期的周期函数f(x)的傅立叶级数由下式所定义：其中例5设周期为2的周期函数f(x)在一个周期内的表达式为试生成f(x)的傅立叶级数，并从图上察看该函数的部分和逼近f(x)的情况。程序5fx_:=Whichx0,0,xPi,1,x2Pi,0,x3Pi,1,x4Pi,0fx_:=Whichx0,0,xPi,1,x2Pi,0,x3Pi,1,x50,PlotStyle-Pi,3Pi,PlotPoints-50,PlotStyle-RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0,n,1,21,4RGBColor0,0,1,RGBColor1,0,0,n,1,21,4运转后的图象图12图13图14图15图16图17 赞赏大家 请提珍贵意见
