圆锥曲线最值问题

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1、圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题高三复高三复习专题训练：圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题高考地位高考地位: 最最值问题是高考的是高考的热点，而点，而圆锥曲曲线的最的最值问题几乎是高考的必考点，不几乎是高考的必考点，不仅会会在在选择题或填空或填空题中中进行考察，在行考察，在综合合题中也往往将其中也往往将其设计为试题考考查的核心。的核心。圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题方法一方法一: 圆锥曲曲线的定的定义转化法化法 根据根据圆锥曲曲线的定的定义，把所求的最，把所求的最值转化化为平面上两点之平面上两点之间的距离、点的距离、点线之之间的距离等，的距离等，

2、这是求是求圆锥曲曲线最最值问题的基本方法。的基本方法。关关键：用好：用好圆锥曲曲线的定的定义圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题例例1 1、已知点、已知点F F是双曲是双曲线 的左焦点，定点的左焦点，定点 A A（1 1，4 4），），P P是双曲是双曲线右支上右支上动点，点，则的最小的最小值为 . . 思思维导图：根据双曲根据双曲线的定的定义，建立点，建立点A A、P P与两焦点之与两焦点之间的关系的关系两点之两点之间线段最短段最短F FA AP Py yx x圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题例例1 1、已知点、已知点F F是双曲是双曲线 的左焦点，定点的左焦点，定点 A A（1 1，4

3、 4），），P P是双曲是双曲线右支上右支上动点，点，则的最小的最小值为 . . 解析：解析：设双曲双曲线右焦点右焦点为F F/ /F FA AP Py yx x圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题变式训练：变式训练： 已知已知P P点点为抛物抛物线 上的点，那么上的点，那么P P点到点点到点Q Q（2 2，-1-1）的距离与）的距离与P P点到抛物点到抛物线焦点焦点的距离之和的最小的距离之和的最小值为 _ _ _，此，此时P P点坐点坐标为 _ _. .Q Q Q Qx xy y圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题回顾反思与能力提升：回顾反思与能力提升：1 1、若、若圆锥曲曲线为椭圆，A A

4、为椭圆内一点，有可内一点，有可 得出什么得出什么结论，能否自己，能否自己设计出一道出一道题目；目；2 2、体、体现了什么数学思想方法？了什么数学思想方法？3 3、理、理论根据是什么？根据是什么？4 4、此法适合解决那、此法适合解决那类问题？圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题方法二：方法二：切切 线 法法 当所求的最当所求的最值是是圆锥曲曲线上点到某条上点到某条直直线的距离的最的距离的最值时，可以通，可以通过作与作与这条条直直线平行的平行的圆锥曲曲线的切的切线，则两平行两平行线间的距离就是所求的最的距离就是所求的最值，切点就是曲，切点就是曲线上去的最上去的最值时的点。的点。圆锥曲线的最值问题圆

5、锥曲线的最值问题例例2 2、求、求椭圆 上的点到直上的点到直线 的距的距离的最大离的最大值和最小和最小值，并求取得最，并求取得最值时椭圆上点的坐上点的坐标. .思思维导图：求与求与 平行的平行的椭圆的切的切线切切线与直与直线 的距离的距离为最最值，切点就是所求的点，切点就是所求的点. . x xy yo o圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题例例2 2、求、求椭圆 上的点到直上的点到直线 的距的距离的最大离的最大值和最小和最小值，并求取得最，并求取得最值时椭圆上点的坐上点的坐标. .解：解：设椭圆与与 平行的切平行的切线方程方程为 圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题变式训练：变式训练： 动点

6、点P P在抛物在抛物线 上，上，则点点P P到直到直线 的距离最小的距离最小时，P P点的坐点的坐标为_._.圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题回顾反思与能力提升：回顾反思与能力提升：1 1、此法用了哪种数学思想方法？、此法用了哪种数学思想方法？2 2、有没有、有没有别的的办法？法？3 3、要注意画出草、要注意画出草图，根据，根据图形确定何形确定何时取最大取最大 值，何，何时取最小取最小值. .圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题方法三方法三:参参 数数 法法 根据曲根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐上点的坐标，把所求的最，把所求的最值归结为求解关

7、于求解关于这个参数的函数的最个参数的函数的最值的方法的方法. .关关键：选取适当的参数表示曲取适当的参数表示曲线上的坐上的坐标圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题例例3 3、在平面直角坐、在平面直角坐标系中，系中，P(x,y)P(x,y)是是椭圆 上上动点，点，则S=x+yS=x+y的最大的最大值是是_._.思思维导图：根据根据椭圆的参数方程表示的参数方程表示x x、y y将将S S表示成关于参数的函数表示成关于参数的函数 圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题解析：解析：设P P点坐点坐标为 则当当 时， . .圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题变式训练：变式训练： 设求求 的最大的最大值和

8、最小和最小值，并求取得，并求取得最最值时a、b b的的值. .圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题回顾反思与能力提升：回顾反思与能力提升：1 1、参数法体、参数法体现了什么数学思想方法？了什么数学思想方法？2 2、解析几何中、解析几何中还有哪些曲有哪些曲线可以做可以做这种代种代换？3 3、理、理论根据是什么？根据是什么？4 4、关、关键是什么？是什么？圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题方法四方法四:基本不等式法基本不等式法 先将所求最先将所求最值的量用的量用变量表示出来，再利量表示出来，再利用基本不等式求用基本不等式求这个表达式的最个表达式的最值. . 这种方法是求种方法是求圆锥曲曲线中最中

9、最值问题应用最用最为广泛的一种方法广泛的一种方法. .圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题例例4 4、设椭圆中心在坐中心在坐标原点原点A A（2 2，0 0）、）、B B（0 0，1 1）是它的）是它的两个两个顶点，直点，直线 与与椭圆交于交于E E、F F两点，求两点，求四四边形形AEBFAEBF面面积的最大的最大值. .A AF FE EB Bx xy y思思维导图：用用k k表示四表示四边形的面形的面积根据基本不等式求最根据基本不等式求最值 圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题例例4 4、设椭圆中心在坐中心在坐标原点原点A A（2 2，0 0）、）、B B（0 0，1 1）是它的）是它的

10、两个两个顶点，直点，直线 与与椭圆交于交于E E、F F两点，求两点，求四四边形形AEBFAEBF面面积的最大的最大值. .解析：依解析：依题意意设得得椭圆标准方程准方程为 直直线ABAB、EFEF的方程分的方程分别为 设圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题根据点到直根据点到直线距离公式及上式，点距离公式及上式，点E E、F F到到ABAB的距离分的距离分别为四四边形形AFBEAFBE的面的面积为圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题变式训练：变式训练： 已知已知椭圆 的左右焦点的左右焦点分分别为F F1 1、F F2 2，过F F1 1的直的直线交交椭圆于于

11、B B、D D两点，两点，过F F2 2的直的直线交交椭圆于于A A、C C两点，且两点，且ACACBDBD，求四，求四边形形ABCDABCD面面积的最小的最小值. .圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题回顾反思与能力提升：回顾反思与能力提升：1 1、关、关键是什么？是什么？2 2、应注意什么？注意什么？圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题方法四方法四:函函 数数 法法 把所求最把所求最值的目的目标表示表示为关于某个关于某个变量的量的函数，通函数，通过研究研究这个函数求最个函数求最值，是求各，是求各类最最值最最为普遍的方法普遍的方法. .关关键：建立函数关系式：建立函数关系式圆锥曲线的最值问题

12、圆锥曲线的最值问题例例5 5、点、点A A、B B分分别是是椭圆 的的长轴的左右端的左右端点，点，F F为右焦点，右焦点，P P在在椭圆上，位于上，位于x x轴的上方，且的上方，且PAPFPAPF若若M M为椭圆长轴ABAB上一点，上一点，M M到直到直线APAP的距离等于的距离等于|MB|.|MB|.求求椭圆上点到点上点到点M M的距离的最小的距离的最小值. .x xy yA AB BF FM MP P思思维导图：把所求距离表示把所求距离表示为椭圆上点的横坐上点的横坐标的函数的函数求求这个函数的最小个函数的最小值 圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题解析：由已知可得点解析：由已知可得点A(-

13、6A(-6，0)0)、F(4,0),F(4,0),设点点P(x,y)P(x,y)，则由由(1)(1)、(2)(2)及及y0y0得得APAP的方程的方程为圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题设M(mM(m，0)0)，则点点M M到直到直线APAP的距离的距离设椭圆上点（上点（x x0 0,y,y0 0）到）到M M距离距离为d d则圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题变式训练：变式训练： 已知双曲已知双曲线C C： ，P P为C C上任一点，点上任一点，点A A（3 3，0 0），），则|PA|PA|的最小的最小值为_._.圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题回顾反思与能力提升：回顾反思与能力提升：1 1、关、关键是什么？是什么？2 2、应注意的注意的问题有哪些？有哪些？3 3、参数法和基本不等式法是否也是函数法？、参数法和基本不等式法是否也是函数法？圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题作业作业:小结小结: 圆锥曲曲线的最的最值问题解决方法解决方法较多，多，常常见的有五种的有五种. .有些有些题目可以用多种方法目可以用多种方法解决，遇到此解决，遇到此类题目目时，要，要选取适当地取适当地方法。方法。圆锥曲线的最值问题圆锥曲线的最值问题谢谢谢谢