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1、数学归纳法数学归纳法 基本知识基本知识：1数学归纳法数学归纳法:对于某些与自然数对于某些与自然数n有关的命题常常有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第取第一个值一个值n0时命题成立；然后假设当时命题成立；然后假设当n=k(k N*，kn0)时命题成立，证明当时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法明方法就叫做数学归纳法 2数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数的最小的正整数n0，如果当，如果当k=n0时，命题成立，再时，命题成立
2、，再假设当假设当n=k(kn0，k N*)时，命题成立时，命题成立.(这时命题是这时命题是否成立不是确定的否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于不小于n0的正整数的正整数n0+1，n0+2，命题都成立，命题都成立. 3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：命题的步骤：(1)证明：当证明：当n取第一个值取第一个值n0结论正确；结论正确；(2)假设当假设当n=k(k N*，且，且kn0)时结论正时结论正确，证明当确，证明当n=k+1
3、时结论也正确时结论也正确.由由(1)，(2)可知，命题对于从可知，命题对于从n0开始的所开始的所有正整数有正整数n都正确都正确1用数学归纳法证题要注意下面几点：用数学归纳法证题要注意下面几点：证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；验证过程；成败的关键取决于第二步对的证明：成败的关键取决于第二步对的证明：1）突破对）突破对“归纳假设归纳假设”的运用；的运用；2）用好命题的条件；）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有中学教材内，用数学归纳法证
4、明的问题的主要题型有“等式问题等式问题”、“整除问题整除问题”、“不等式问题不等式问题”等，等，要积累这几种题型的证题经验要积累这几种题型的证题经验.递推基础不可少，归纳假设要用到，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉. 基础题基础题1已知已知n为正偶数，用数学归纳法证明为正偶数，用数学归纳法证明 时，若已假设时，若已假设 为偶数）时命题为真，为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证则还需要用归纳假设再证 （ ）A. 时等式成立 B. 时等式成立 C. 时等式成立 D. 时等式成立 2设 C 3用数学归纳法证明时，由的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（ B ）A
5、4用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：（）时，从）时，从“”时，左边应增添的式子是时，左边应增添的式子是（ ）A 5某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立. 现已知当那么可推得（ ）A当n=6时该命题不成立B当n=6时该命题成立C当n=4时该命题不成立D当n=4时该命题成立时该命题不成立，【典型例题选讲】【例1】用数学归纳法证明等式问题：【例】用数学归纳法证明整除问题：求证：被6 整除. 例、（优化设计例、（优化设计P202P202例例1 1）比较比较2 2n n与与n n2 2的大小的大小例例4 4、( (优化优化202202例题例题) ) 是否存在常数使是否存在
6、常数使a a、b b、c c 使等式使等式: : 对一切正整数对一切正整数n n成立？证明你的结论。成立？证明你的结论。例5、（优化设计P202例3） 设为常数，且 证明:【小结小结】用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：明确首取值确首取值n0并验证真假（必不可少）并验证真假（必不可少）.“假设假设n=k时时命题正确命题正确”并写出命题形式并写出命题形式分析分析“n=k+1时时”命题是什么，并找出与命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别弄清左端应增加的项明确等式左时命题形式的差别弄清左端应增加的项明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等可明确为：两个步式、因式分解、添拆项、配方等可明确为：两个步骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，骤、一个结论；递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉 【作业作业】教材闯关训练。教材闯关训练。
