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1、数系的扩充与复数的概念数系的扩充与复数的概念自然数自然数分数分数有理数有理数无理数无理数实数实数分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。负数负数负数负数整数整数分数分数分数分数负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。无理数的引入，解决了
2、开方开不尽的矛盾。无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？，才能解决这个矛盾呢？，才能解决这个矛盾呢？，才能解决这个矛盾呢？知识引入知识引入知识引入知识引入对于一元二次方程对于一元二次方程 没有实数根没有实数根我们已知知道：我们已知知道： 我们能否将实数集进行扩充，使得在新的我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？数集中，该问题能得到圆满解决呢？思考思考？引
3、入一个新数：引入一个新数：满足满足满足满足现在我们就引入这样一个数现在我们就引入这样一个数i ，把，把i叫做虚数单位，叫做虚数单位，并且规定：并且规定：（1）i21；（2）实数可以与实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结包括交换率、结合率和分配率合率和分配率)仍然成立。仍然成立。形如形如a+bi(a,bR)的数叫做复数的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做复数集复数集，一般用字，一般用字母母C表示表示 .复数的概念复数的概念复数的概念复数的概念实部实部实部实部复数的
4、代数形式：复数的代数形式：通常用字母通常用字母 z 表示，即表示，即虚部虚部虚部虚部其中其中 称为称为虚数单位虚数单位。(3)其中其中a=0且且b0时称为时称为纯虚数。纯虚数。 注意：注意：(2)(2)当当b0时时，a+bi是虚数虚数，(1)当当b=0时时，a+bi就是就是实数实数，如：如：1，2.5，-1/2如：如：1. 1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。数，并指出复数的实部与虚部。数，并指出复数的实部与
5、虚部。数，并指出复数的实部与虚部。2 2 2 2、判断下列命题是否正确：、判断下列命题是否正确：、判断下列命题是否正确：、判断下列命题是否正确：（1 1 1 1）若）若）若）若a a a a、b b b b为实数，则为实数，则为实数，则为实数，则Z=a+biZ=a+biZ=a+biZ=a+bi为虚数为虚数为虚数为虚数（2 2 2 2）若）若）若）若b b b b为实数，则为实数，则为实数，则为实数，则Z=biZ=biZ=biZ=bi必为纯虚数必为纯虚数必为纯虚数必为纯虚数（3 3 3 3）若）若）若）若a a a a为实数，则为实数，则为实数，则为实数，则Z= aZ= aZ= aZ= a一定不
6、是虚数一定不是虚数一定不是虚数一定不是虚数实数实数纯虚数纯虚数虚数虚数实数实数纯虚数纯虚数虚数虚数错误，当错误，当b=0时不成立时不成立错误，当错误，当b=0时不成立时不成立正确正确例例1 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 是（是（1）实数？）实数？ （2）虚数？）虚数？ （3）纯虚数？）纯虚数？解解: （1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数（3）当当即即 时，复数时，复数z 是是纯虚数纯虚数练习练习: :当当m m为何实数时，复数为何实数时，复数 是是 （1 1）实数）实数 （2 2）虚数）虚数 （3 3）纯虚数
7、）纯虚数复数复数z=a+bi有序实数对有序实数对(a,b)直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b) 建立了平面直角建立了平面直角坐标系来表示复数的坐标系来表示复数的平面平面x轴轴-实轴实轴y轴轴-虚虚轴轴（数）（数）（形）（形）-复数平复数平面面 (简简称称复平面复平面)一一对应一一对应z=a+bi特别注意：特别注意：虚轴不包括原点。虚轴不包括原点。复数的一个几何意义复数的一个几何意义复数的一个几何意义复数的一个几何意义yxABCO例例2:用复平面内点表示复数用复平面内点表示复数(每个小方格的每个小方格的边长是边长是1)：3-2i, 3i, -3, 0.yxABCDE
8、O例例3:说出说出图中复平图中复平面内点所面内点所表示的复表示的复数数(每个小每个小方格的边方格的边长是长是1)6+7i-6-8+6i-3i2-7i 如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别相等，那分别相等，那么我们就说这两个么我们就说这两个复数相等复数相等例例4 已知已知 ，其中，其中 求求解：根据复数相等的定义，得方程组解：根据复数相等的定义，得方程组解：根据复数相等的定义，得方程组解：根据复数相等的定义，得方程组解得解得例例5 若若 和和 是共轭复数，求实数是共轭复数，求实数 的值。的值。 共轭复数共轭复数定义：实部相等，虚部互为相反数的定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复
9、数为共轭复数。两个复数为共轭复数。即即 复数复数a+bi与与a-bi互为共轭复数。互为共轭复数。 如如解：根据共轭复数的定义，得方程组解：根据共轭复数的定义，得方程组解：根据共轭复数的定义，得方程组解：根据共轭复数的定义，得方程组解得解得1.已知已知 (2x-1) + i = y -(3-y)i ,其中其中 x , y R,求求 x 与与 y .2.已知已知 x+2y-5 + (x-y+1)i =0,求实数求实数 x 与与 y 的值的值.练习练习3.已知已知 (2x-1) + i 与与 y -(3-y)i ,其中其中 x , y R,求求 x 与与 y .1.1.虚数单位虚数单位i的引入；的引入；2.2.复数有关概念：复数有关概念：复数的代数形式复数的代数形式:复数的实部复数的实部 、虚部、虚部复数相等复数相等虚数、纯虚数虚数、纯虚数
