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1、3-4 3-4 误差传播定律误差传播定律 在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其在实际工作中有许多未知量不能直接观测而求其值，需要由观测值间接计算出来。例如某未知点值，需要由观测值间接计算出来。例如某未知点B B的高程的高程H HB B，是由起始点，是由起始点A A的高程的高程H HA A加上从加上从A A点到点到B B点间进行了若干站水点间进行了若干站水准测量而得来的观测高差准测量而得来的观测高差h h1 1hhn n求和得出的。求和得出的。 这时未知点这时未知点B B的高程的高程H H。是各独立观测值的函数。那。是各独立观测值的函数。那么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？
2、么如何根据观测值的中误差去求观测值函数的中误差呢？阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律，称为称为误差传播定律误差传播定律。一、观测值的函数一、观测值的函数 1 1、和差函数、和差函数 设有函数：设有函数：Z Z为为x x、y y的的和和或或差差的的函函数数，x x、y y为为独独立立观观测测值值，已已知知其其中中误误差差为为m mx x、m my y，求，求Z Z的中误差的中误差m mZ Z。设设x x、y y和和z z的真误差分别为的真误差分别为x x、y y和和z z则则 若对若对x x、y y 均观测了均观测了n n次，则次，
3、则将上式平方，得将上式平方，得求和，并除以求和，并除以n n，得，得 由由于于x x、y y均均为为偶偶然然误误差差，其其符符号号为为正正或或负负的的机机会会相相同同，因因为为x x、y y为为独独立立误误差差，它它们们出出现现的的正正、负负号号互互不不相相关关，所所以以其其乘乘积积x xy y也也具具有有正正负负机机会会相相同同的的性性质质，在在求求x xy y时时其其正正值值与与负负值值有有互互相相抵抵消消的的可可能能；当当n n愈愈大大时时，上式中最后一项上式中最后一项x xy y/n/n将趋近于零，即将趋近于零，即 将将满满足足上上式式的的误误差差x x、y y称称为为互互相相独独立立
4、的的误误差差，简简称称独独立立误误差差，相相应应的的观观测测值值称称为为独独立立观观测测值值。对对于于独独立立观观测测值值来来说说，即即使使n n是是有有限限量量，由由于于 式式残残存存的的值值不不大大，一般就忽视它的影响。根据中误差定义，得一般就忽视它的影响。根据中误差定义，得 两两观观测测值值代代数数和和的的中中误误差差平平方方，等等于于两两观观测测值值中中误误差差的的平平方方之和。之和。当当z z是一组观测值是一组观测值X X1 1、X X2 2XXn n代数和（差）的函数时，即代数和（差）的函数时，即式中式中m mxixi是观测值是观测值x xi i的中误差的中误差。可以得出函数可以得
5、出函数Z Z的中误差平方为的中误差平方为 结论：结论：n n个观测值代数和（差）的中误差平方，等于个观测值代数和（差）的中误差平方，等于n n个观测值个观测值中误差平方之和。中误差平方之和。当诸观测值当诸观测值x xi i为同精度观测值时，设其中误差为为同精度观测值时，设其中误差为m m，即，即 m mx1x1=m=mx2x2=m=mxnxn=m=m则为则为 在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与在同精度观测时，观测值代数和（差）的中误差，与观测值个数观测值个数n n的平方根成正比。的平方根成正比。例例1 1：设用长为：设用长为L L的卷尺量距，共丈量了的卷尺量距，共丈量了n n个尺段
6、，已知每尺个尺段，已知每尺段量距的中误差都为段量距的中误差都为m m，求全长，求全长S S的中误差的中误差m ms s。 解：因为全长解：因为全长S=LS=LL LL L（式中共有（式中共有n n个个L L）。而）。而L L的中误差为的中误差为m m。结论：结论：量距的中误差与丈量段数量距的中误差与丈量段数n n的平方根成正比。的平方根成正比。例例2 2：如以：如以 30m 30m长的钢尺丈量长的钢尺丈量 90m 90m的距离，当每尺段量距的中的距离，当每尺段量距的中误差为误差为5mm5mm时，全长的中误差为：时，全长的中误差为： 当使用量距的钢尺长度相等，每尺段的量距中误差都为当使用量距的钢
7、尺长度相等，每尺段的量距中误差都为m mL L，则每公里长度的量距中误差，则每公里长度的量距中误差m mKmKm也是相等的。当对长度为也是相等的。当对长度为S S公里的距离丈量时，全长的真误差将是公里的距离丈量时，全长的真误差将是S S个一公里丈量真误个一公里丈量真误差的代数和，于是差的代数和，于是S S公里的中误差为：公里的中误差为： 式中，式中，S S的单位是公里。的单位是公里。结论：结论：在距离丈量中，距离在距离丈量中，距离S S的量距中误差与长度的量距中误差与长度S S的平方根的平方根成正比。成正比。 例例3 3 为为了了求求得得A A、B B两两水水准准点点间间的的高高差差，今今自自
8、A A点点开开始始进进行行水水准准测测量量，经经n n站站后后测测完完。已已知知每每站站高高差差的的中中误误差差均均为为m m站站，求求A A、B B两点间高差的中误差。两点间高差的中误差。 解解：因因为为A A、B B两两点点间间高高差差h hABAB等等于于各各站站的的观观测测高高差差h hi i（i=li=l，2n2n）之和，）之和，即即h hABAB=H=HB B-H-HA A=h=h1 1+h+h2 2+.+h+.+hn n 结论：结论：水准测量高差的中误差，与测站数水准测量高差的中误差，与测站数n n的平方根成正比的平方根成正比 2 2、倍数函数、倍数函数设有函数：设有函数：Z Z
9、为为观观测测值值的的函函数数，K K为为常常数数，X X为为观观测测值值，已已知知其其中中误误差差为为m mx x，求，求Z Z的中误差的中误差m mZ Z。设设x x和和z z的真误差分别为的真误差分别为x x和和z z则则 若对若对x x 共观测了共观测了n n次，则次，则将上式平方，得将上式平方，得求和，并除以求和，并除以n n，得，得结论结论：观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。：观测值与常数乘积的中误差，等于观测值中误差乘常数。 例例4 4 在在1 1：500500比比例例尺尺地地形形图图上上，量量得得A A、 B B两两点点间间的的距距离离S SABAB，其中误差，其
10、中误差m msabsab= =土，求土，求A A、B B间的实地距离间的实地距离S SABAB及其中误差及其中误差msmsABAB。 解：解： S SABAB=500 S=500 Sabab 得得 m msABsAB500 500 mmSabSab500500 （士）（士） = =土土100mm100mm 最后答案为最后答案为S SABAB士士3 3、线性函救、线性函救 设有线性函数：设有线性函数：则有则有例例5 5 设有线性函救设有线性函救观测量的中误差分别为，观测量的中误差分别为，求求Z Z的中误差的中误差 4 4、一般函数、一般函数式中式中x xi i(i=1(i=1，2n)2n)为独立
11、观测值，已知其中误差为为独立观测值，已知其中误差为m mi i(i=1 (i=1 2n)2n)，求，求z z的中误差。的中误差。 当当x xi i具有真误差具有真误差时，函数时，函数Z Z相应地产生真误差相应地产生真误差z z。这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差这些真误差都是一个小值，由数学分析可知，变量的误差与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来与函数的误差之间的关系，可以近似地用函数的全微分来表达。表达。式中 （i=l，2n）是函数对各个变量所取的偏导数，以观测值代人所算出的数值，它们是常数，因此上式是线性函数可为： 例例 6 6 设有某函数设有某函数z=Ssi
12、nz=Ssin式式中中，其其中中误误差差m ms s= =士士005m005m； =1194500=1194500，其其中中误误差差m m= =士士20.620.6；求；求z z的中误差的中误差m mz z。解：因为解：因为z=Ssinz=Ssin，所以，所以z z是是S S及及a a的一般函数。的一般函数。求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步：求观测值函数的精度时，可归纳为如下三步： 1 1）按问题的要求写出函数式：）按问题的要求写出函数式： 2 2）对对函函数数式式全全微微分分，得得出出函函数数的的真真误误差差与与观观测测值值真误差之间的关系式：真误差之间的关系式：式中，式中， 是用观测
13、值代入求得的值。是用观测值代入求得的值。3 3）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式：）写出函数中误差与观测值中误差之间的关系式： 二、一般函数的中误差二、一般函数的中误差 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式函数式 函数的中误差函数的中误差一般函数一般函数倍数函数倍数函数 和差函数和差函数 线性函数线性函数 算术平均值算术平均值 误差传播定律的应用误差传播定律的应用 用用DJDJ6 6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4 4个测回取平均，可使得三角形闭合差个测回取平均，可使得三角形闭合差m m1515 。例1：要求三角形最大闭合差
14、m15，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ =( 1+ 2+ 3)- -180 解：由题意：解：由题意：2m= 15 ,则则 m= 7.5 每个角的测角中误差：每个角的测角中误差：由于由于DJ6一测回角度中误差为：一测回角度中误差为：由角度测量由角度测量n测回取平均值的中误差公式：测回取平均值的中误差公式：误差传播定律的应用误差传播定律的应用例例2 2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。 解:(1)测量水平距离的精度基本公式： 求全微分： 水平距离中误差： 其中： 误差传播定律的应用误差传播定律的应用例例2 2：试用中误差传播定律分析
15、视距测量的精度。：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。 解解: (2): (2)测量高差的精度基本公式：测量高差的精度基本公式： 求全微分：求全微分： 高差中误差：高差中误差： 其中： 误差传播定律的应用误差传播定律的应用例例3:3:(1)(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为用钢尺丈量某正方形一条边长为 求该正方形的周长求该正方形的周长S S和面积和面积A A的中误差的中误差. .解: (1)周长 , (2)(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中其中: : 求该正方形的周长求该正方形的周长S S和面积和面积A A的中误差的中误差. . 面积 , 周长的中误差
16、为周长的中误差为 全微分全微分: :面积的中误差为面积的中误差为 全微分: 335 5 加权平均值及其精度评加权平均值及其精度评定定一、一、不等精度观测及观测值的权不等精度观测及观测值的权如果对某个未知量进行如果对某个未知量进行n n次同精度观测，则其最次同精度观测，则其最或然值即为或然值即为n n次观测量的算术平均值：次观测量的算术平均值：在相同条件下对某段长度进行两组丈量：在相同条件下对某段长度进行两组丈量：第一组第一组：第二组第二组： 算术平均值分别为算术平均值分别为其中误差分别为：其中误差分别为：全部同精度观测值的最或然值为全部同精度观测值的最或然值为：在在值的大小体现了值的大小体现了
17、中比重的大小，中比重的大小，称称为为的权的权。令令若有不同精度观测值若有不同精度观测值其权分别为其权分别为该量的最或然值可扩充为该量的最或然值可扩充为：称之为加权算术平均值。称之为加权算术平均值。当各观测值精度相同时当各观测值精度相同时二、加权平均值中误差二、加权平均值中误差定权的定权的基本公式基本公式：权的特性权的特性1、 反映了观测值的相互精度关系。反映了观测值的相互精度关系。 3 、不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系 4 、若、若Li是同类量的观测值，此时，权无单位。若是同类量的观测值，此时，权无单位。若Li是是不同类量的观测值，权是否有单位不能一概而论，而视不同类量的观测值，权是否有单位不能一概而论，而视具体情况而定。具体情况而定。四、单位权中误差的计算四、单位权中误差的计算 在同精度观测中，观测值的精度是相同的，因此可用 来计算观测值的中误差。在不同精度观测中，每个观测值的精度不同，就必须先求出单位权中误差，然后根据 求出各观测值的中误差。 以推导计算单位权中误差的公式为
