数学期望在生活中的应用数学期望在生活中的应用医学信息工程系 1 * 数学期望的起源数学期望的起源1数学期望的定义数学期望的定义2数学期望的应用数学期望的应用3内容提要：内容提要：2 * 数学期望数学期望又称期望或均值,是随机变量随机变量按概率概率的加权平均,表征其概率分布概率分布的中心位置数学期望是概率论早期发展中就已产生的一个概念当时研究的概率问题大多与赌博有关随机试验结果的随机试验结果的量的表示量的表示 表示随机事件发生可表示随机事件发生可能性大小的量能性大小的量 表述随机变量取值的表述随机变量取值的概率规律概率规律 3 *引例引例 分赌本问题分赌本问题(产生背景产生背景) A, B 两人赌技相同两人赌技相同, 各出各出赌金赌金100法郎法郎,并约定先胜三局者并约定先胜三局者为胜为胜, 取得全部取得全部 200 法郎法郎.由于出由于出现意外情况现意外情况 ,在在 A 胜胜 2 局局 B 胜胜1 局时局时,不得不终止赌博不得不终止赌博, 如果要分如果要分赌金赌金,该如何分配才算公平该如何分配才算公平?一、数学期望的起源一、数学期望的起源 4 *分析：分析： 很容易设想出以下两种分法：很容易设想出以下两种分法：（（1））A得得200·(1/2) 法郎，法郎，B得得200·(1/2) 法郎；法郎；（（2））A得得200·(2/3) 法郎，法郎，B得得200·(1/3) 法郎。
法郎5 * 既既然然前前两两种种分分法法都都不不合合理理，，那那么么第第（（3 3））种种更更合合理理的的办办法法又又该该怎怎样分呢？样分呢？6 *A 胜胜 2 局局 B 胜胜 1 局局前三局前三局:后二局后二局:把已赌过的三局把已赌过的三局(A 胜胜2局局B胜胜1局局)与上述结果与上述结果相结合相结合,即即 A、、B 赌完五局赌完五局,A AA B B ABBA 胜胜B 胜胜假设继续赌两局假设继续赌两局,则结果有以下四种情况则结果有以下四种情况:AAAB BABBA胜胜B负负 A胜胜B负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 A胜胜B负负 B胜胜A负负 B胜胜A负负 7 *因此因此, A 能能“期望期望”得到的数为得到的数为 而而B 能能“期望期望”得到的数目则得到的数目则为为故有故有, 在赌技相同的情况下在赌技相同的情况下,A, B 最终获胜的最终获胜的可能性大小之比为可能性大小之比为即即A 应获得赌金的应获得赌金的 而而 B 只能获得赌金的只能获得赌金的8 *因而因而A期望所得的赌金即为期望所得的赌金即为X的的 “期望期望”值值等于等于即为即为 X的可能值与其概率之积的累加的可能值与其概率之积的累加.若设随机变量若设随机变量 X 为为:在在 A胜胜2局局B胜胜1局的局的前提下前提下, 继续赌下去继续赌下去 A 最终所得的赌金最终所得的赌金.则则X 所取可能值为所取可能值为:其概率分别为其概率分别为:9 * 数学期望数学期望 二、数学期望的定义二、数学期望的定义数学期望的分类数学期望的分类离散型随机变量的离散型随机变量的数学期望数学期望连续型随机变量的连续型随机变量的数学期望数学期望10 * 1、离散型随机变量的数学期望、离散型随机变量的数学期望11 *2、连续型随机变量的数学期望、连续型随机变量的数学期望 定义定义 设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为若积分若积分绝对收敛，则称积分绝对收敛，则称积分的值为的值为即即随机变量随机变量X X的数学期望，记为的数学期望，记为12 *关于定义的几点说明：关于定义的几点说明： (2) 随机变量的数学期望与一般变量的算随机变量的数学期望与一般变量的算术平均值不同术平均值不同. (1) E(X)是一个实数是一个实数,而非变量而非变量,它是一它是一种种加权平均加权平均,与一般的平均值不同与一般的平均值不同 , 它从本它从本质上体现了随机变量质上体现了随机变量 X 取可能值的取可能值的真正真正的平均值的平均值, 也称均值也称均值.13 *则随机变量则随机变量 X 的的算术平均值算术平均值为为假设假设它从它从本质上体现本质上体现了随机变量了随机变量X 取可能值的平均值取可能值的平均值.当随机变量当随机变量 X 取各个可能值是取各个可能值是等概率分布等概率分布时时 , X 的期望值与算术平均值的期望值与算术平均值相等相等.而其而其数学期望数学期望为：为：14 *三、数学期望的应用三、数学期望的应用数学期望反映了离散型随机变量取数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，在社会生活中存在着广值的平均水平，在社会生活中存在着广泛的应用。
泛的应用15 *问哪个射手技术比较好问哪个射手技术比较好?实例实例1 谁的技术比较好谁的技术比较好? ?乙射手乙射手甲射手甲射手16 *分析：分析：故有：故有：设甲乙两射手射中的环数分别为：设甲乙两射手射中的环数分别为：17 *实例实例2 发行彩票的创收利润发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票某一彩票中心发行彩票 10万张万张, 每张每张2元 设头等奖设头等奖1个，个， 奖金奖金 1万元万元, 二等奖二等奖2个，奖金各个，奖金各 5 千元；三等奖千元；三等奖 10个，个， 奖金各奖金各1千元；千元； 四等奖四等奖100个，奖金各个，奖金各100元；五等奖元；五等奖1000个，奖金各个，奖金各10 元每张彩票的成本费为元每张彩票的成本费为 0.3 元，元， 请计算彩请计算彩票发行单位的创收利润票发行单位的创收利润分析：分析：设每张彩票中奖的数额为随机变量设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则则18 *每张彩票平均可赚每张彩票平均可赚每张彩票平均能得到奖金每张彩票平均能得到奖金因此彩票发行单位发行因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为万张彩票的创收利润为19 *实例实例3 投资决策问题投资决策问题 某人现有某人现有10万元现金，想投资万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为于某项目，预估成功的机会为 30%，，可得利润可得利润8万元万元 ，， 失败的机会为失败的机会为70%，将损失，将损失 2 万元。
若存入银行，同期万元若存入银行，同期间的利率为间的利率为5% ，问是否作此项投资，问是否作此项投资?分析：分析： 设设 X 为投资利润，则为投资利润，则存入银行的利息存入银行的利息:20 * 某某商商场场某某月月开开展展有有奖奖促促销销活活动动，，按按规规定定100000100000人人次次中中，，一一等等奖奖1 1个个，，奖奖金金500500元元；；二二等等奖奖1010个个，，各各奖奖100100元元；；三三等等奖奖100100个个，，各各奖奖1010元元；；四四等等奖奖10001000个个，，各各奖奖2 2元元某某人人这这个个月月内内在在该该商商场场买买了了5 5次次商商品品，，他他期期望望得得奖奖多多少少元元? ?实例实例4 4 有奖促销决策问题有奖促销决策问题21 * 设这个人一次购物得奖金设这个人一次购物得奖金X X元，元，X X的分布的分布列为：列为： 分析分析: :22 *X X的数学期望为：的数学期望为：所以所以5 5次购物的期望得奖金数为：次购物的期望得奖金数为：（元）（元） E(5X)=5E(X)=5×0.045=0.225(元元) 23 *实例实例5 5 经济方案决策问题经济方案决策问题 在在商商业业活活动动中中偷偷税税漏漏税税可可非非法法获获益益而而造造成成国国家家财财政政损损失失。
国国家家为为了了防防止止税税收收流流失失，，通通常常对对偷偷税税者者除除补补交交税税款款外外还还要要处处以以偷偷税税额额n n倍倍的的罚罚款款统统计计发发现现偷偷漏漏税税者者被被查查出出的的概概率率为为0.20.2这这时时罚罚款款额额度度n n至至少少多多大大才才能能起起到到惩惩罚作用罚作用? ? 24 * 假设偷税额为假设偷税额为X X，，ξξ为偷税时商家的受益数，为偷税时商家的受益数，则则ξξ的数学期望为：的数学期望为： E(ξ)=0.8 E(ξ)=0.8X X-0.2(1+n)-0.2(1+n)X X=(3-n)0.2=(3-n)0.2X X 要使处罚有效，必须使要使处罚有效，必须使E(ξ)<0E(ξ)<0 则则3-n<03-n<0，即，即n>3n>3 分析：分析：25 *实例实例6 6 求职面试决策问题求职面试决策问题 设想某人在求职过程中得到了两个公司的面设想某人在求职过程中得到了两个公司的面试通知，假定每个公司有三种不同的职位：极好试通知，假定每个公司有三种不同的职位：极好的，工资的，工资4 4万；好的，工资万；好的，工资3 3万；一般的，工资万；一般的，工资2.52.5万。
估计能得到这些职位的概率为万估计能得到这些职位的概率为0.20.2、、0.30.3、、0.40.4，有，有0.10.1的可能得不到任何职位由于每家公的可能得不到任何职位由于每家公司都要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位，司都要求在面试时表态接受或拒绝所提供职位，那么，应遵循什么策略应答呢？那么，应遵循什么策略应答呢？26 * 最后一次面试，工资的期望值为：最后一次面试，工资的期望值为： E1=4E1=4××0.2+30.2+3××0.3+2.50.3+2.5××0.4+00.4+0××0.1=2.70.1=2.7( (万万) ) 工资总的期望值为工资总的期望值为: : 4 4××0.2+30.2+3××0.3+2.70.3+2.7××0.5=3.05(0.5=3.05(万万) )分析：分析：27 。