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1、MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社第第4章章 MATLAB 的数学运算的数学运算 MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社教学目标教学重点教学内容9/18/20241MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社教学目标l掌握向量和矩阵的运算掌握向量和矩阵的运算l掌握线性代数的基本函数和使用掌握线性代数的基本函数和使用l掌握稀疏矩阵的操作掌握稀疏矩阵的操作l掌握多项式运算及插值掌握多项式运算及插值l掌握函数操作掌握函数操作9/18/20242MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社
2、清华大学出版社教学内容l向量、矩阵及其运算向量、矩阵及其运算 l矩阵和线性代数矩阵和线性代数 l稀疏型矩阵稀疏型矩阵 l多项式与插值多项式与插值 l函数运算函数运算 l微分方程微分方程 9/18/20243MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社向量、矩阵及其运算向量、矩阵及其运算l向量的点乘、叉乘和混合积向量的点乘、叉乘和混合积l矩阵的基本运算矩阵的基本运算 l特殊矩阵生成特殊矩阵生成 l向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数 9/18/20244MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社向量的点乘、叉乘和混合积向量的点乘、叉乘和混合积
3、l向量的点乘向量的点乘 向量的点乘又称为内积，是两个向量的模和两个向量之间的夹角余弦向量的点乘又称为内积，是两个向量的模和两个向量之间的夹角余弦三者的乘积。三者的乘积。MATLAB 中，实现点乘的函数是中，实现点乘的函数是dot。dot 函数的用法函数的用法为为 dot(x1,x2)，其中，其中 x1 和和 x2 的维数必须相同。的维数必须相同。l向量的叉乘向量的叉乘 向量乘法除点乘之外还有叉乘。两个向量叉积的几何意义是指以两个向量乘法除点乘之外还有叉乘。两个向量叉积的几何意义是指以两个向量模的乘积为模，方向和两个向量构成右手坐标系的向量。向量的向量模的乘积为模，方向和两个向量构成右手坐标系的
4、向量。向量的叉乘不可交换。在叉乘不可交换。在 MATLAB 中函数中函数 cross 用于实现向量的叉乘。用于实现向量的叉乘。l向量的混合积向量的混合积 向量的混合积的几何意义是：它的绝对值表示以三个向量为楞的平行向量的混合积的几何意义是：它的绝对值表示以三个向量为楞的平行六面体的体积，符号由右手法则确定。上面介绍了向量的点乘和叉乘，六面体的体积，符号由右手法则确定。上面介绍了向量的点乘和叉乘，向量的混合积由点乘和叉乘逐步实现。向量的混合积由点乘和叉乘逐步实现。9/18/20245MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社矩阵的基本运算矩阵的基本运算 l矩阵与常数
5、之间的四则运算矩阵与常数之间的四则运算矩阵与常数的运算与数组运算相同矩阵与常数的运算与数组运算相同l矩阵和矩阵之间的四则运算矩阵和矩阵之间的四则运算矩阵和矩阵之间的加减运算与数组运算相同矩阵和矩阵之间的加减运算与数组运算相同设设 A 是一个是一个 mn 矩阵，矩阵，B 是一个是一个 pq 矩阵，当矩阵，当 np 时，两个时，两个矩阵可以相乘，乘积为矩阵可以相乘，乘积为 mq 矩阵。矩阵乘法不可逆。在矩阵。矩阵乘法不可逆。在 MATLAB 中，矩阵乘法由中，矩阵乘法由“*”实现。实现。矩阵除法在实际中主要用于求解线性方程组矩阵除法在实际中主要用于求解线性方程组l矩阵转置矩阵转置符号符号“”实现矩
6、阵的转置操作。对于实数矩阵，实现矩阵的转置操作。对于实数矩阵，“”表示矩阵转置，对于复数矩阵，表示矩阵转置，对于复数矩阵，“”实现共轭转置。对实现共轭转置。对于复数矩阵，如果想要实现非共轭转置，可以使用符号于复数矩阵，如果想要实现非共轭转置，可以使用符号“.”。l矩阵乘方矩阵乘方9/18/20246MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社特殊矩阵生成特殊矩阵生成 （1/2）函数功能生成空白矩阵zeros生成全0矩阵eye生成单位矩阵ones生成全1矩阵tril triu生成上三角或下三角矩阵diag生成对角矩阵gallery生成一些小的测试矩阵hadamard生
7、成 hadamard 矩阵hankel生成 hankel矩阵hilb生成 Hilbert 矩阵invhilb生成反 Hilbert 矩阵magic生成魔术矩阵pascal生成 n 阶 Pascal 矩阵rand生成服从均匀分布的随机矩阵randn生成服从正态分布的随机矩阵rosser典型的对称矩阵特征值的问题测试toeplitz生成 Toeplitz 矩阵vander生成范德蒙矩阵wilkinson生成 Wilkinson 矩阵compan生成多项式的伴随矩阵9/18/20247MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社特殊矩阵生成特殊矩阵生成 （2/2）l1对角
8、矩阵的生成对角矩阵的生成l对角矩阵指除对角线以外其他元素为对角矩阵指除对角线以外其他元素为 0 的矩阵。函数的矩阵。函数 diag 可以生成对角矩阵。该函数的用法为：可以生成对角矩阵。该函数的用法为：A=diag(V,K)，其中，其中 V 是一个向量，是一个向量，K 是一个整数。该函数返回是一个整数。该函数返回一个矩阵，矩阵的第一个矩阵，矩阵的第 K 个对角线为个对角线为 V。K 在默认情况下为在默认情况下为 0，表，表示矩阵的主对角线，示矩阵的主对角线，K 大于大于 0 时表示主对角线的上方，小于时表示主对角线的上方，小于 0 时时为主对角线的下方。为主对角线的下方。V=diag(A,K)，
9、其中，其中A时一个矩阵。时一个矩阵。K 与上面的语句相同。该语句与上面的语句相同。该语句返回矩阵返回矩阵 A 第第 K 个对角线上的元素组成的矩阵。个对角线上的元素组成的矩阵。l2魔术矩阵的生成魔术矩阵的生成魔术矩阵是一种经常遇到的矩阵，除了二阶方阵之外，魔魔术矩阵是一种经常遇到的矩阵，除了二阶方阵之外，魔术矩阵的每一行、每一列以及每条主对角线的元素之和都术矩阵的每一行、每一列以及每条主对角线的元素之和都相同。在相同。在 MATLAB 中，中，magic 函数用于生成魔术矩阵。函数用于生成魔术矩阵。其调用方法为其调用方法为 magic(N)，其中，其中 N 为正整数，并且为正整数，并且 N2.
10、9/18/20248MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社向量和矩阵的范数向量和矩阵的范数 l向量的范数定义为向量的范数定义为 ，其中，最常用的值为，其中，最常用的值为 1、2 和无穷大。矩阵和无穷大。矩阵 的范数定义为的范数定义为 ，其中，其中，最常用的值为最常用的值为 1、2 和无穷大。和无穷大。l向量和矩阵的范数可以通过函数向量和矩阵的范数可以通过函数 norm 求求解。该函数的调用格式为解。该函数的调用格式为 n = norm(A,p)，其中其中 p 用于指定范数的类型。用于指定范数的类型。p 可以为所可以为所有大于有大于 1 的常数，最常用的为的常数
11、，最常用的为 1、2、inf 和和 fro，fro 为求解矩阵为求解矩阵 A 的的 Frobenius 范数。当范数。当 p 省略时，默认值为省略时，默认值为 2。9/18/20249MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社矩阵和线性代数矩阵和线性代数 l线性方程组线性方程组l逆矩阵和行列式逆矩阵和行列式 l 矩阵分解矩阵分解 l矩阵指数函数和幂函数矩阵指数函数和幂函数 l矩阵特征值矩阵特征值 l矩阵奇异值分解矩阵奇异值分解 9/18/202410MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社线性方程组（线性方程组（1/2）l利用矩阵求
12、逆的方法求解方程组利用矩阵求逆的方法求解方程组 我们首先求系数矩阵的逆，然后利用矩阵我们首先求系数矩阵的逆，然后利用矩阵的逆求解方程组的解。的逆求解方程组的解。 l利用矩阵的左除符号利用矩阵的左除符号“”或者右除符号或者右除符号“/”求解方程组求解方程组9/18/202411MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社线性方程组（线性方程组（2/2）l利用左除符号和右除符号求解线性方程组，避免了矩阵利用左除符号和右除符号求解线性方程组，避免了矩阵求逆操作，因此系数矩阵求逆操作，因此系数矩阵 不必为方阵。如果系数矩阵不必为方阵。如果系数矩阵 的维数为的维数为 ，则有三
13、种情况：，则有三种情况： ，此时方程组为超定方程组，此时方程组为超定方程组，MATLAB 将给出最小二乘将给出最小二乘解；解； ，此时方程组为方阵系统，此时方程组为方阵系统，MATLAB 给出精确解；给出精确解； ，此时方程组为欠约束方程组，此时方程组为欠约束方程组，MATLAB 将给出一组基将给出一组基解，该解中包含最多解，该解中包含最多 个非零元素。个非零元素。l在采用除法符号（包括左除和右除）求解线性方程组时，在采用除法符号（包括左除和右除）求解线性方程组时，MATLAB 采用采用 因式分解法求解方程组。尽管因式分解法求解方程组。尽管 MATLAB 提供了两种方法，一般更倾向于采用第二种
14、方法，该方提供了两种方法，一般更倾向于采用第二种方法，该方法用到较少的浮点数运算，执行速度较快，另外，由于法用到较少的浮点数运算，执行速度较快，另外，由于采用采用 分解法，得出的结果要精确的多。分解法，得出的结果要精确的多。9/18/202412MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社逆矩阵和行列式逆矩阵和行列式 l矩阵行列式矩阵行列式 在在 MATLAB 中，矩阵的行列式用函数中，矩阵的行列式用函数 det 求解。调用格式为求解。调用格式为 det(A)，其中，其中 A 为方阵。为方阵。l矩阵求逆矩阵求逆 对于非奇异方阵，如果存在方阵，满足对于非奇异方阵，如果
15、存在方阵，满足 并并且且 ，则称为矩阵的逆，记为，在，则称为矩阵的逆，记为，在 MATLAB 中，用中，用 inv(A) 来实现矩阵逆的求解。来实现矩阵逆的求解。9/18/202413MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社矩阵分解矩阵分解 lCholesky 分解分解lLU 分解分解 lQR 分解（正交分解）分解（正交分解） 9/18/202414MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社Cholesky 分解分解 lCholesky 分解将对称矩阵表示为一个三角矩阵分解将对称矩阵表示为一个三角矩阵与其转置的乘积的形式，即，其中为
16、对称矩阵，与其转置的乘积的形式，即，其中为对称矩阵，为上三角矩阵。并非所有的对称矩阵都能进行为上三角矩阵。并非所有的对称矩阵都能进行 Cholesky 分解，只有正定矩阵能够进行分解，只有正定矩阵能够进行 Cholesky 分解，如分解，如 Pascal 矩阵。在矩阵。在 MATLAB 中中 Cholesky 分解由函数分解由函数 chol 实现，该函数对输实现，该函数对输入矩阵进行入矩阵进行 Cholesky分解，返回其对应的三角分解，返回其对应的三角矩阵。矩阵。 lCholesky 分解同样适用于复数矩阵。如果复数分解同样适用于复数矩阵。如果复数矩阵满足，其中表示矩阵的共轭转置。如果矩阵矩
17、阵满足，其中表示矩阵的共轭转置。如果矩阵存在存在 Cholesky 分解则称其为分解则称其为 Hermitian 正定。正定。9/18/202415MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社LU 分解分解 l矩阵的矩阵的 LU 分解将一个方阵表示为一个下三分解将一个方阵表示为一个下三角置换矩阵和一个上三角矩阵乘积的形式。角置换矩阵和一个上三角矩阵乘积的形式。如，其中为下三角置换矩阵，为上三角矩如，其中为下三角置换矩阵，为上三角矩阵。阵。MATLAB 中中 LU 分解可以通过函数分解可以通过函数 lu 实现。通过矩阵的实现。通过矩阵的 LU 分解，可以实现线性分解，
18、可以实现线性方程组的快速求解。方程组的快速求解。l另外矩阵的另外矩阵的 LU 分解可用于矩阵快速求逆和分解可用于矩阵快速求逆和求行列式，有求行列式，有 det(A) = det(L)*det(U) 和和 inv(A) = inv(U)*inv(L)。9/18/202416MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社QR 分解（正交分解）（分解（正交分解）（1/2）l如果矩阵如果矩阵 满足满足 ，则为正交矩阵。正交矩阵为实矩阵，其每，则为正交矩阵。正交矩阵为实矩阵，其每列为单位向量，并且各列互相正交。正交矩阵最简单的例子为二维列为单位向量，并且各列互相正交。正交矩阵最
19、简单的例子为二维旋转矩阵：旋转矩阵：l对于复数矩阵，对应的概念为酉矩阵。对于复数矩阵，对应的概念为酉矩阵。l在数值计算中正交矩阵有着重要的应用，因为正交矩阵具有长度不在数值计算中正交矩阵有着重要的应用，因为正交矩阵具有长度不变性、角度不变性，并且不会扩大误差。变性、角度不变性，并且不会扩大误差。l矩阵的正交分解将矩阵表示为正交矩阵（或酉矩阵）和上三角矩阵矩阵的正交分解将矩阵表示为正交矩阵（或酉矩阵）和上三角矩阵的乘积。如的乘积。如 或或 ，其中，其中 为正交矩阵或酉矩阵，为正交矩阵或酉矩阵， 为为上三角矩阵，上三角矩阵， 为置换矩阵。正交分解有四种形式，包括完全分解、为置换矩阵。正交分解有四种
20、形式，包括完全分解、简化分解、带置换矩阵的分解和不带置换矩阵的分解。简化分解、带置换矩阵的分解和不带置换矩阵的分解。9/18/202417MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社QR 分解（正交分解）（分解（正交分解）（2/2）l 完全分解完全分解过约束线性系统的系数矩阵函数超过列数，为一个矩阵并且，记为，过约束线性系统的系数矩阵函数超过列数，为一个矩阵并且，记为，则完全正交分解产生一个的正交矩阵和一个的上三角矩阵，满足。则完全正交分解产生一个的正交矩阵和一个的上三角矩阵，满足。MATLAB 中矩阵的完全分解由函数中矩阵的完全分解由函数 qr 实现。实现。l简化
21、分解简化分解矩阵的简化正交分解可以节省存储空间和运算时间。正交分解可以通矩阵的简化正交分解可以节省存储空间和运算时间。正交分解可以通过在过在 qr 函数中设置第二个参数为函数中设置第二个参数为 0 实现。实现。l与与 LU 分解不同，分解不同，QR 分解不需要对矩阵进行旋转或者置换，如上面分解不需要对矩阵进行旋转或者置换，如上面的两个例子。但是如果对矩阵进行置换可以避免由于矩阵奇异造成的的两个例子。但是如果对矩阵进行置换可以避免由于矩阵奇异造成的误差。选择置换后，在分解的每一步，选择剩下列中范数最大的一列误差。选择置换后，在分解的每一步，选择剩下列中范数最大的一列作为分解的基。这样得到的结果中
22、，作为分解的基。这样得到的结果中，R 的对角线元素按照降序排列。的对角线元素按照降序排列。包含置换的正交分解可以通过增加包含置换的正交分解可以通过增加 qr 函数的输出参数得到。函数的输出参数得到。9/18/202418MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社矩阵指数函数和幂函数矩阵指数函数和幂函数 l矩阵的正整数幂矩阵的正整数幂 如果如果 A 为方阵，为方阵，p 为正整数，则为正整数，则 Ap 表示表示 p 个个 A 相乘。相乘。l矩阵的负数幂与分数幂矩阵的负数幂与分数幂如果如果 A 为非奇异方阵，则为非奇异方阵，则 A(-p) 等价于等价于 inv(A)p。
23、lMATLAB 中，允许对矩阵进行分数幂运算，运算结果依中，允许对矩阵进行分数幂运算，运算结果依赖于矩阵特征值的分布情况。赖于矩阵特征值的分布情况。l矩阵指数运算矩阵指数运算 expm 用于实现矩阵的指数运算。用于实现矩阵的指数运算。线性系统线性系统 的解可以表示为的解可以表示为 ，其中的，其中的矩阵指数运算可以通过矩阵指数运算可以通过expm 完成。完成。9/18/202419MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社矩阵特征值矩阵特征值 l矩阵的特征值和特征值分解在线性代数中一直扮演着重要的角色。在矩阵的特征值和特征值分解在线性代数中一直扮演着重要的角色。在
24、MATLAB 中，函数中，函数eig 实现矩阵的特征值计算和特征值分解。实现矩阵的特征值计算和特征值分解。l例例 4-23 利用函数利用函数 eig 实现矩阵的特征值计算实现矩阵的特征值计算l利用例利用例 2-22 中的矩阵中的矩阵 A。在命令窗口中输入：。在命令窗口中输入： A =0,-6,-1;6,2,-16;-5,20,-10;A = 0 -6 -1 6 2 -16 -5 20 -10 lambda = eig(A)lambda = -3.0710 -2.4645 +17.6008i -2.4645 -17.6008il上例实现对矩阵特征值的计算，如果在调用上例实现对矩阵特征值的计算，如
25、果在调用 eig 函数时，设置输出参数的个函数时，设置输出参数的个数为数为2，则实现对矩阵的特征值分解。，则实现对矩阵的特征值分解。9/18/202420MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社矩阵奇异值分解矩阵奇异值分解 l对于矩阵对于矩阵 ，如果存在数，如果存在数 和向量和向量 、 ，满足和，满足和 ，则称，则称 为为 的奇异值，的奇异值， 、 为为 的奇异向量。如果将的奇异向量。如果将矩阵的奇异值写为对角矩阵的格式，记为（不足的部分矩阵的奇异值写为对角矩阵的格式，记为（不足的部分记为记为0）；以奇异向量为列并扩充为正交矩阵）；以奇异向量为列并扩充为正交矩阵
26、 和和 ，则有则有 和和 。 和和 为正交矩阵，则得到为正交矩阵，则得到 ，即为矩阵，即为矩阵 的奇异值分解。的奇异值分解。l在在 MATLAB 中，函数中，函数svd 实现矩阵的奇异值分解。实现矩阵的奇异值分解。l与矩阵的与矩阵的 QR 分解相似，奇异值分解也可以有简化分解。分解相似，奇异值分解也可以有简化分解。方法与方法与 QR 分解相同，即在输入参数中以分解相同，即在输入参数中以 0 标志。如在标志。如在命令窗口中继续输入：命令窗口中继续输入：9/18/202421MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社稀疏型矩阵稀疏型矩阵 （1/2）l在很多实际应用中，
27、用户往往会遇到只有少数非在很多实际应用中，用户往往会遇到只有少数非 0 元素的矩阵，我们称这些矩阵为稀疏矩阵。如元素的矩阵，我们称这些矩阵为稀疏矩阵。如果对稀疏矩阵中的全部元素进行存储和计算则会果对稀疏矩阵中的全部元素进行存储和计算则会导致时间和空间上的极大浪费。因此，为了更有导致时间和空间上的极大浪费。因此，为了更有效的存储和处理稀疏矩阵，效的存储和处理稀疏矩阵，MATLAB 中采用了一中采用了一些优化技术：些优化技术：MATLAB 中只存储稀疏矩阵中的非中只存储稀疏矩阵中的非 0 元素，并用行索引和列索引表明每个非元素，并用行索引和列索引表明每个非 0 元素元素在原矩阵中的位置；同样，在原
28、矩阵中的位置；同样，MATLAB 中采用了一中采用了一些专门的算法来处理稀疏矩阵，以避免对些专门的算法来处理稀疏矩阵，以避免对 0 元素元素的运算，并且最大限度地减少中间结果中的非的运算，并且最大限度地减少中间结果中的非 0 元素。元素。9/18/202422MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社稀疏型矩阵（稀疏型矩阵（2/2）l稀疏型矩阵的生成稀疏型矩阵的生成 l稀疏矩阵与满矩阵的相互转化稀疏矩阵与满矩阵的相互转化 l稀疏矩阵的操作稀疏矩阵的操作 9/18/202423MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社稀疏型矩阵的生成（
29、稀疏型矩阵的生成（1/3）lMATLAB 不会自动生成稀疏矩阵，因此，当用不会自动生成稀疏矩阵，因此，当用户判定一个矩阵为稀疏矩阵时，利用相关函数生户判定一个矩阵为稀疏矩阵时，利用相关函数生成稀疏矩阵。成稀疏矩阵。MATLAB 中用于生成稀疏矩阵的中用于生成稀疏矩阵的函数如表函数如表 4-2 所示。所示。函数功能speye生成单位稀疏矩阵sprand生成均匀分布的随机稀疏矩阵sprandn生成正态分布的随机稀疏矩阵sprandsym生成对称随机稀疏矩阵spdiags生成对角随机稀疏矩阵9/18/202424MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社稀疏型矩阵的生成
30、（稀疏型矩阵的生成（2/3）lspeye 函数函数 lspeye 函数的调用格式为：函数的调用格式为：S = speye(m,n)；S = speye(n)，l分别用于生成分别用于生成 阶主对角线元素为一的稀疏阶主对角线元素为一的稀疏矩阵和矩阵和 阶单位稀疏矩阵。阶单位稀疏矩阵。9/18/202425MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社稀疏型矩阵的生成（稀疏型矩阵的生成（3/3）lsprand 和和 sprandn 函数函数 l这两个函数的调用格式完全相同。两个函数的唯一区别为这两个函数的调用格式完全相同。两个函数的唯一区别为 sprand 函函数生成的稀疏
31、矩阵元素服从均匀分布，而数生成的稀疏矩阵元素服从均匀分布，而sprandn 函数生成的稀疏矩函数生成的稀疏矩阵元素服从正态分布。下面以阵元素服从正态分布。下面以 sprand 函数为例介绍这两个函数的应函数为例介绍这两个函数的应用。用。sprand 函数的调用格式有：函数的调用格式有：R = sprand(S)，生成与稀疏矩阵，生成与稀疏矩阵 S 结构完全相同的稀疏矩阵，矩阵元素结构完全相同的稀疏矩阵，矩阵元素服从均匀分布；服从均匀分布；R = sprand(m,n,density)，生成，生成 阶稀疏矩阵，矩阵非阶稀疏矩阵，矩阵非 0 元素个数大约元素个数大约为为density*m*n。R
32、= sprand(m,n,density,rc)，与上面的命令类似。如果，与上面的命令类似。如果 rc 为数值，则为数值，则生成的矩阵条件数的倒数接近生成的矩阵条件数的倒数接近 rc；如果；如果 rc 为一个长度不大于为一个长度不大于 min(m,n) 的一维向量，则生成的矩阵以的一维向量，则生成的矩阵以 rc 的元素为奇异值，其他奇异值为的元素为奇异值，其他奇异值为 0。l注意，不能用命令注意，不能用命令 sprand(n) 生成生成 n 阶稀疏矩阵。阶稀疏矩阵。9/18/202426MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社稀疏矩阵与满矩阵的相互转化稀疏矩阵与
33、满矩阵的相互转化 lMATLAB 提供了一些函数用于在稀疏矩阵和满矩提供了一些函数用于在稀疏矩阵和满矩阵之间进行转换，这些函数如表阵之间进行转换，这些函数如表 4-3 所示。所示。函数功能sparse将满矩阵转化为稀疏矩阵full将稀疏矩阵转化为满矩阵find查找非 0 元的索引spconvert 导入稀疏矩阵9/18/202427MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社sparse 函数函数lsparse 函数的调用格式如下：函数的调用格式如下：S = sparse(A)，该命令将矩阵，该命令将矩阵 转化为稀疏矩阵。转化为稀疏矩阵。S = sparse(i,j
34、,s,m,n,nzmax)，该命令生成一个阶稀疏，该命令生成一个阶稀疏矩阵，其中、分别为该矩阵非矩阵，其中、分别为该矩阵非0元的横坐标向量、纵元的横坐标向量、纵坐标向量和值，、有相同的长度。该矩阵的非坐标向量和值，、有相同的长度。该矩阵的非0元数元数目不超过目不超过nzmax。S = sparse(i,j,s,m,n)，该命令与上面一条命令功能类，该命令与上面一条命令功能类似，生成的稀疏矩阵的非似，生成的稀疏矩阵的非0元个数由的长度确定。元个数由的长度确定。S = sparse(i,j,s)，该命令生成的稀疏矩阵维数为。，该命令生成的稀疏矩阵维数为。S = sparse(m,n)，该命令生成一
35、个初始稀疏矩阵，矩，该命令生成一个初始稀疏矩阵，矩阵的全部元素为阵的全部元素为0。 9/18/202428MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社full 函数和函数和find 函数函数 lfull 函数函数 full 函数的应用比较简单，其调用格式为函数的应用比较简单，其调用格式为 X=full(S)，该命令将稀疏矩阵，该命令将稀疏矩阵 S 转换为满矩阵。转换为满矩阵。lfind 函数函数 find 既适用于满矩阵，也适用于稀疏矩阵。该函既适用于满矩阵，也适用于稀疏矩阵。该函数在应用于稀疏矩阵时用于查找稀疏矩阵中的非数在应用于稀疏矩阵时用于查找稀疏矩阵中的非
36、0 元素。该函数可以返回非元素。该函数可以返回非 0 元素的位置、行列元素的位置、行列向量和元素值。向量和元素值。9/18/202429MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社常用的稀疏矩阵操作函数常用的稀疏矩阵操作函数lMATLAB 中的大部分数学函数可以用于稀疏矩阵，中的大部分数学函数可以用于稀疏矩阵，功能和调用格式和应用于满矩阵时相同。另外，功能和调用格式和应用于满矩阵时相同。另外，MATLAB 还提供了一些函数专门应用于稀疏矩阵。还提供了一些函数专门应用于稀疏矩阵。常用的稀疏矩阵操作函数如表所示。常用的稀疏矩阵操作函数如表所示。函数功能nnz返回矩阵非
37、0 元的个数nonzeros返回矩阵的非 0 元素构成的向量，以矩阵的列为序nzmax返回为矩阵非 0 元分配的存储空间大小spones将矩阵的所有非 0 元素置为 1spalloc为稀疏矩阵分配内存空间issparse判断是否为稀疏矩阵，是则返回值 TRUE，否则返回 FALSE。spfun对稀疏矩阵的非 0 元素进行操作spy稀疏矩阵的图形表示9/18/202430MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社多项式与插值多项式与插值 l多项式在数学中有着极为重要的作用，同多项式在数学中有着极为重要的作用，同时多项式的运算也是工程和应用中经常遇时多项式的运算也是工
38、程和应用中经常遇到的问题。到的问题。MATLAB 提供了一些专门用于提供了一些专门用于处理多项式的函数，用户可以应用这些函处理多项式的函数，用户可以应用这些函数对多项式进行操作。数对多项式进行操作。MATLAB 中对多项中对多项式的操作包括多项式求根、多项式的四则式的操作包括多项式求根、多项式的四则运算及多项式的微积分。运算及多项式的微积分。9/18/202431MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社多项式的表示多项式的表示l在在 MATLAB 中多项式用一个行向量表示，中多项式用一个行向量表示，向量中的元素为该多项式的系数，按照降向量中的元素为该多项式的系数
39、，按照降序排列。如多项式序排列。如多项式 可以表可以表示为向量示为向量 p=9 7 4 3。用户可以创建向量。用户可以创建向量的方式创建多项式，再将其显示为多项式，的方式创建多项式，再将其显示为多项式， 9/18/202432MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社多项式的四则运算多项式的四则运算l由于多项式是利用向量来表示，多项式的四则运由于多项式是利用向量来表示，多项式的四则运算可以转化为向量的运算。算可以转化为向量的运算。l多项式的加减为对应项系数的加减，因此可以通多项式的加减为对应项系数的加减，因此可以通过向量的加减来实现。但是在向量的加减中两个过向量的
40、加减来实现。但是在向量的加减中两个向量需要有相同的长度，因此在进行多项式加减向量需要有相同的长度，因此在进行多项式加减时，需要将短的向量前面补时，需要将短的向量前面补 0。l多项式的乘法实际上是多项式系数向量之间的卷多项式的乘法实际上是多项式系数向量之间的卷积运算，可以通过积运算，可以通过 MATLAB 中的卷积函数中的卷积函数 conv 来完成。来完成。l多项式的除法为乘法的逆运算，可以通过反卷积多项式的除法为乘法的逆运算，可以通过反卷积函数函数 deconv 来实现。来实现。9/18/202433MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社多项式的其他运算多项式
41、的其他运算l除多项式的四则运算外，除多项式的四则运算外，MATLAB 还提供了多项还提供了多项式的一些其他运算。这些运算及其对应的函数如式的一些其他运算。这些运算及其对应的函数如表所示。表所示。函数函数功能功能roots多项式求根多项式求根polyval多项式求值多项式求值polyvalm矩阵多项式求值矩阵多项式求值polyder多项式求导多项式求导poly求矩阵的特征多项式；或者求一个求矩阵的特征多项式；或者求一个多项式，其根为指定的数值多项式，其根为指定的数值polyfit多项式曲线拟合多项式曲线拟合residue求解余项求解余项 9/18/202434MATLAB 2006a 简明教程简
42、明教程 清华大学出版社清华大学出版社多项式的运算函数（多项式的运算函数（1/2）lroots 函数和函数和 poly 函数函数 这两个函数为功能互逆的两个函数。这两个函数为功能互逆的两个函数。roots 函数函数用于求解多项式的根。该函数的输入参数为多项用于求解多项式的根。该函数的输入参数为多项式的系数组成的行向量，返回值为由多项式的根式的系数组成的行向量，返回值为由多项式的根组成的列向量。组成的列向量。poly 函数用于生成根为制定数值函数用于生成根为制定数值的多项式。的多项式。lpolyval 函数函数polyval 函数用于多项式求值。对于给定的多项函数用于多项式求值。对于给定的多项式，
43、利用该函数可以计算该多项式在任意点的值。式，利用该函数可以计算该多项式在任意点的值。9/18/202435MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社多项式的运算函数（多项式的运算函数（2/2）lpolyder 函数函数l函数函数 polyder 用于多项式求导。该函数可以用于用于多项式求导。该函数可以用于求解一个多项式的导数、两个多项式乘积的导数求解一个多项式的导数、两个多项式乘积的导数和两个多项式商的导数。该函数的用法为：和两个多项式商的导数。该函数的用法为：q = polyder(p) 该命令计算多项式该命令计算多项式 p 的导数。的导数。c = polyde
44、r(a,b) 该命令实现多项式该命令实现多项式 a、b 的积的导数。的积的导数。q,d = polyder(a,b) 该命令实现多项式该命令实现多项式a、b 的商的的商的导数，导数，q/d 为最后的结果。为最后的结果。 9/18/202436MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社多项式拟合多项式拟合 l曲线拟合是工程中经常要用到的技术之一。曲线拟合是工程中经常要用到的技术之一。MATLAB 提供了曲线拟合工具箱满足用户提供了曲线拟合工具箱满足用户要求，另外，还提供了多项式拟合函数。要求，另外，还提供了多项式拟合函数。函数函数 polyfit 给出在最小二乘意义
45、下最佳拟给出在最小二乘意义下最佳拟合系数。该函数的调用格式为：合系数。该函数的调用格式为： p = polyfit(x,y,n)其中其中x、y分别为待拟合数据的分别为待拟合数据的 x 坐标和坐标和 y 坐标，坐标，n 用于指定返回多项式的次数。用于指定返回多项式的次数。9/18/202437MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社数据插值数据插值l根据已知数据推断未知数据，则需要使用根据已知数据推断未知数据，则需要使用数据插值的概念。数据插值的概念。MATLAB 提供了对数组提供了对数组的任意一维进行插值的工具，这些工具大的任意一维进行插值的工具，这些工具大多需
46、要用到多维数组的操作。本节将对数多需要用到多维数组的操作。本节将对数据插值做简单的介绍，主要介绍一维插值。据插值做简单的介绍，主要介绍一维插值。lMATLAB 中一维插值主要有：中一维插值主要有：多项式插值多项式插值快速傅立叶变换（快速傅立叶变换（FFT）插值。）插值。 9/18/202438MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社一维插值一维插值l一维插值在曲线拟合和数据分析中具有重要一维插值在曲线拟合和数据分析中具有重要的地位。在的地位。在 MATLAB 中，一维插值由函数中，一维插值由函数 interp1 实现。该函数的调用格式为实现。该函数的调用格式为
47、yi = interp1(x,y,xi,method)x、y：采用数据的：采用数据的 x 坐标和坐标和 y 坐标坐标xi ：待插值的位置：待插值的位置method：采用的插值方法：采用的插值方法l该语句返回函数在点该语句返回函数在点 xi 处的插值结果。该处的插值结果。该语句中的参数语句中的参数 method 可以选择的内容如可以选择的内容如表所示。表所示。参数对应方法nearest最近邻插值linear线性插值spline三次样条插值pchip或cubic三次插值9/18/202439MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社函数运算函数运算l函数的表示函数的表
48、示l数学函数图象的绘制数学函数图象的绘制l函数极值函数极值l函数求解函数求解l数值积分数值积分l含参数函数的使用含参数函数的使用 9/18/202440MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社函数的表示函数的表示lMATLAB 中提供了两种函数表示的方法：中提供了两种函数表示的方法：利用利用 M 文件将函数定义为文件将函数定义为 MALTAB 函数函数将函数定义为将函数定义为 MALTAB 函数，当需要调用该函数，当需要调用该函数时，需要通过符号函数时，需要通过符号“”获取函数句柄，利获取函数句柄，利用函数句柄实现对函数的操作。用函数句柄实现对函数的操作。匿名函
49、数方法匿名函数方法直接创建函数，如语句：直接创建函数，如语句： fh = (x)1./(x-0.3).2 + 0.01) + 1./(x-0.9).2 + 0.04)-6; 9/18/202441MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社数学函数图象的绘制数学函数图象的绘制 l函数图象具有直观的特性，可以通过函数图象查看出一个函数图象具有直观的特性，可以通过函数图象查看出一个函数的总体特征。函数的总体特征。MATLAB 提供了绘制函数图象的函数提供了绘制函数图象的函数 fplot，方便用户绘制函数的图象。下面介绍该函数的用法。，方便用户绘制函数的图象。下面介绍该函
50、数的用法。该函数的调用格式如下：该函数的调用格式如下：fplot(fun,limits)，y = f(x)fplot(fun,limits,LineSpec)fplot(fun,limits,tol)fplot(fun,limits,tol,LineSpec)fplot(fun,limits,n) fun 可以为 MATLAB 函数的 M 文件名，可以是包含变量 x 的字符串，该字符串可以传递给函数 eval，还可以是函数句柄。参数 limits用于指定绘制图象的范围。limits 是一个向量，用于指定 x 轴的范围，格式为 xmin xmax。limits 也可以同时指定 y 轴的范围，格式
51、为 xmin xmax ymin ymax。9/18/202442MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社函数极值函数极值 l一元函数的极小值一元函数的极小值lfminbnd 求得函数在给定区间内的局部极小值。该求得函数在给定区间内的局部极小值。该函数的调用格式为函数的调用格式为x = fminbnd(fun,x1,x2,options)fun 为函数句柄为函数句柄x1 和和 x2 分别用于指定区间的左右边界分别用于指定区间的左右边界options 用于指定程序的其他参数，其元素取值如表所用于指定程序的其他参数，其元素取值如表所示。示。 名称描述Display控
52、制结果的输出，参数可以为“off”，不输出任何结果；“iter”，输出每个插值点的值；“final”，输出最后结果；“notify”为默认值，仅当函数不收敛时输出结果FunValCheck检测目标函数值是否有效。选择 on 则当函数返回数据为复数或空数据时发出警告；off 则不发出警告MaxFunEvals允许进行函数评价的最大次数MaxIter最大迭代次数OutputFcn指定每次迭代时调用的用户自定义的函数TolX返回的 x 的误差9/18/202443MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社多元函数的极小值多元函数的极小值lMATLAB 提供了函数提供了函
53、数 fminsearch 用于计算多元函数的用于计算多元函数的极小值。极小值。fminsearch 函数内部应用了函数内部应用了 Nelder-Mead 单一单一搜索算法，通过调整搜索算法，通过调整 x 的各个元素的值来寻找的各个元素的值来寻找f(x)的极小的极小值。该算法虽然对于平滑函数搜索效率没有其他算法高，值。该算法虽然对于平滑函数搜索效率没有其他算法高，但它不需要梯度信息，从而扩展了其应用范围。因此，该但它不需要梯度信息，从而扩展了其应用范围。因此，该算法特别适用于不太平滑、难以计算梯度信息或梯度信息算法特别适用于不太平滑、难以计算梯度信息或梯度信息价值不大的函数。价值不大的函数。 l
54、用于求解函数极小值的函数还有用于求解函数极小值的函数还有 fminbnd。fminbnd 函函数的用法与数的用法与fminsearch 函数的用法基本相同，不同之处函数的用法基本相同，不同之处在于：在于：fminbnd 函数的输入参数为寻找最小值的区间，并函数的输入参数为寻找最小值的区间，并且只能用于求解一元函数的极值，且只能用于求解一元函数的极值，fminsearch 函数的输函数的输入参数为初始值。入参数为初始值。9/18/202444MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社 函数求解函数求解 l可以使用函数可以使用函数 fzero() 来求一元函数的零点。
55、寻找一元函来求一元函数的零点。寻找一元函数零点时，可以指定一个初始点，或者指定一个区间。当数零点时，可以指定一个初始点，或者指定一个区间。当指定一个初始点时，此函数在初始点附近寻找一个使函数指定一个初始点时，此函数在初始点附近寻找一个使函数值变号的区间，如果没有找到这样的区间，则函数返回值变号的区间，如果没有找到这样的区间，则函数返回 NaN。该函数的调用格式为：。该函数的调用格式为：x = fzero(fun,x0)，x = fzero(fun,x1,x2)：寻找：寻找 x0 附近或者区附近或者区间间 x1,x2 内内 fun 的零点，返回该点的的零点，返回该点的 x 坐标；坐标；x = f
56、zero(fun,x0,options)，x = fzero(fun, x1,x2,options)：通过通过 options 设置参数；设置参数；x,fval = fzero(.)：返回零点的同时返回该点的函数值；：返回零点的同时返回该点的函数值；x,fval,exitflag = fzero(.)：返回零点、该点的函数值及程序：返回零点、该点的函数值及程序退出的标志；退出的标志；x,fval,exitflag,output = fzero(.)：返回零点、该点的函数：返回零点、该点的函数值、程序退出的标志及选定的输出结果。值、程序退出的标志及选定的输出结果。 9/18/202445MATL
57、AB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社数值积分数值积分 lMATLAB 中提供了用于积分的函数，包括：中提供了用于积分的函数，包括：一元函数的自适应数值积分一元函数的自适应数值积分一元函数的矢量积分一元函数的矢量积分二重积分和三重积分二重积分和三重积分l这些函数如表所示。这些函数如表所示。函数函数功能功能quad一元函数的数值积分，采用自适应的 Simpson 方法quadl一元函数的数值积分，采用自适应的 Lobatto 方法quadv一元函数的向量数值积分一元函数的向量数值积分dblquad二重积分二重积分triplequad三重积分三重积分9/18/202446
58、MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社一元函数的积分一元函数的积分lMATLAB 中一元函数的积分可以用两个函数来实现：中一元函数的积分可以用两个函数来实现：quad 和和 quadl。函数。函数 quad 采用低阶的自适应递归采用低阶的自适应递归 Simpson 方法，函数方法，函数 quadl 采用高阶自适应采用高阶自适应 Lobatto 方方法，该函数是法，该函数是 quad8 函数的替代。函数函数的替代。函数 quad 的调用格的调用格式如下式如下：q = quad(fun,a,b)，采用递归自适应方法计算函数，采用递归自适应方法计算函数 fun 在区
59、间在区间 上的积分，其精确度为上的积分，其精确度为 1e-6。q = quad(fun,a,b,tol)，指定允许误差，指定的误差，指定允许误差，指定的误差 tol 需大于需大于 1e-6。该命令运行更快，但是得到的结果精确度降低。该命令运行更快，但是得到的结果精确度降低。q = quad(fun,a,b,tol,trace)，跟踪迭代过程，输出，跟踪迭代过程，输出 fcnt a b-a Q 的值，分别为计算函数值的次数、当前积分区间的左边界、步的值，分别为计算函数值的次数、当前积分区间的左边界、步长和该区间内的积分值。长和该区间内的积分值。q,fcnt = quadl(fun,a,b,.)，
60、输出函数值的同时输出计算函数，输出函数值的同时输出计算函数值的次数。值的次数。 9/18/202447MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社一元函数的矢量积分一元函数的矢量积分l矢量积分相当于多个一元函数积分。当被矢量积分相当于多个一元函数积分。当被积函数中含有参数，需要对该参数的不同积函数中含有参数，需要对该参数的不同值计算该函数的积分时，可以使用一元函值计算该函数的积分时，可以使用一元函数的矢量积分。数的矢量积分。l矢量积分返回一个向量，每个元素的值为矢量积分返回一个向量，每个元素的值为一个一元函数的积分值。一个一元函数的积分值。quadv 函数与函数与
61、quad 和和 quadl 函数相似，可以设置积分参函数相似，可以设置积分参数和结果输出。数和结果输出。 9/18/202448MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社二重积分和三重积分二重积分和三重积分lMATLAB 中二重积分和三重积分分别由函数中二重积分和三重积分分别由函数 dblquad() 和函数和函数 triplequad() 来实现。首先介绍函数来实现。首先介绍函数 dblquad()，该函数的基本格式如下：该函数的基本格式如下：q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，函数的参数分别为函，函数的参数分别为函数句柄、
62、两个自变量的积分限，返回积分结果。数句柄、两个自变量的积分限，返回积分结果。q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)，指定积分结果的，指定积分结果的精度。精度。q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)，指定结，指定结果精度和积分方法，果精度和积分方法，method 的取值可以是的取值可以是 quadl，也可以是用，也可以是用户自定义的积分函数句柄，该函数的调用格式必须与户自定义的积分函数句柄，该函数的调用格式必须与 quad 的调的调用格式相同。用格式相同。ltriplequad() 函数的调用格式和
63、函数的调用格式和 dblquad() 基本相同，在基本相同，在调用调用 triplequad() 函数时，需要六个参数指定积分限。函数时，需要六个参数指定积分限。 9/18/202449MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社含参数函数的使用含参数函数的使用 l在很多情况下，需要进行运算的函数中包在很多情况下，需要进行运算的函数中包含参数。在含参数。在 MATLAB 中使用含参函数的方中使用含参函数的方式有两种：式有两种：嵌套函数嵌套函数匿名函数。匿名函数。9/18/202450MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社用嵌套函数提
64、供函数参数用嵌套函数提供函数参数l使用含参函数的一个方法是编写一个使用含参函数的一个方法是编写一个 M 文文件，该文件以函数参数作为输入，然后调件，该文件以函数参数作为输入，然后调用函数的函数来处理含参函数，最后把含用函数的函数来处理含参函数，最后把含参函数以嵌套函数的方式包含在参函数以嵌套函数的方式包含在 M 文件中。文件中。 9/18/202451MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社用匿名函数提供函数参数用匿名函数提供函数参数 l使用含参函数还可以通过匿名函数来实现，使用含参函数还可以通过匿名函数来实现，函数的参数在使用之前必须先赋值。具体函数的参数在使
65、用之前必须先赋值。具体步骤为：步骤为：1.首先创建一个含参函数，保存为首先创建一个含参函数，保存为 M 文件。函文件。函数的输入为自变量数的输入为自变量 x 和函数参数；和函数参数；2.在调用函数的函数前对参数赋值；在调用函数的函数前对参数赋值；3.用含参函数创建匿名函数；用含参函数创建匿名函数；4.把匿名函数的句柄传递给函数的函数进行计算。把匿名函数的句柄传递给函数的函数进行计算。9/18/202452MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社微分方程微分方程 lMATLAB 能够求解的微分方程类型包括能够求解的微分方程类型包括:常微分方程初值问题常微分方程初值
66、问题常微分方程边值问题常微分方程边值问题时滞微分方程初值问题时滞微分方程初值问题偏微分方程偏微分方程 9/18/202453MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社常微分方程初值问题常微分方程初值问题 lMATLAB 可以求解的常微分方程包括下可以求解的常微分方程包括下面三种类型：面三种类型：1.显式常微分方程显式常微分方程2.线性隐式常微分方程，线性隐式常微分方程， ，其，其中中 为矩阵为矩阵3.全隐式常微分方程全隐式常微分方程9/18/202454MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社显式常微分方程显式常微分方程 lMATL
67、AB 可以求解刚性方程和非刚性方程。求解可以求解刚性方程和非刚性方程。求解微分方程的命令格式为：微分方程的命令格式为：t,y = solver(odefun,tspan,y0,options)odefun：待求解方程的句柄：待求解方程的句柄tspan：为积分区间：为积分区间y0：为一个向量，包括问题的初始条件：为一个向量，包括问题的初始条件Options：用于指定求解算法。对于刚性方程和非刚性：用于指定求解算法。对于刚性方程和非刚性方程，可以选择的算法不同。对于非刚性方程，可以方程，可以选择的算法不同。对于非刚性方程，可以选择的算法如下：选择的算法如下：ode45：基于显式 Runge-Kut
68、ta(4,5) 规则求解 9/18/202455MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社l对于非刚性方程，可以选择的算法如下：对于非刚性方程，可以选择的算法如下：ode45：基于显式：基于显式 Runge-Kutta(4,5) 规则求解规则求解ode23：基于显式：基于显式 Runge-Kutta(2,3) 规则求解规则求解 ode113： 利用变阶利用变阶 Adams-Bashforth-Moulton 算法求解算法求解 9/18/202456MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社l刚性方程的求解方法如下刚性方程的求解方法如下
69、 ：ode15s：基于数值积分公式的变阶求解算法：基于数值积分公式的变阶求解算法ode23s：采用二阶改进：采用二阶改进 Rosenbrock 公式的公式的算法算法ode23t：采用自由内插的梯形规则：采用自由内插的梯形规则ode23tb：采用：采用 TR-BDF2 算法，该算法为隐算法，该算法为隐式式 Runge-Kutta 公式，包含两个部分，第一公式，包含两个部分，第一个部分为梯形规则，第二个部分为二阶后向差个部分为梯形规则，第二个部分为二阶后向差分。分。9/18/202457MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社完全隐式常微分方程完全隐式常微分方程 l
70、完全隐式常微分方程的形式为：完全隐式常微分方程的形式为： 。函数函数 ode15i 用于求解完全隐式常微分方程。用于求解完全隐式常微分方程。用法为：用法为：t,y = ode15i(odefun,tspan,y0,yp0,options)Odefun：为待求解方程：为待求解方程Tspan：用于指定积分区间：用于指定积分区间y0 和和 yp0： 分别用于指定初值分别用于指定初值 和和 ，这，这两个初值必须一致，即满足两个初值必须一致，即满足 。Options：可选参数，用于指定积分方法。：可选参数，用于指定积分方法。l该函数输出在离散节点处的近似值。该函数输出在离散节点处的近似值。 9/18/2
71、02458MATLAB 2006a 简明教程简明教程 清华大学出版社清华大学出版社常微分方程边值问题常微分方程边值问题 lbvp4c 函数用于求解常微分方程边值问题，函数用于求解常微分方程边值问题，该函数点调用格式为：该函数点调用格式为：sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit)sol = bvp4c(odefun,bcfun,solinit,options)Odefun：待求解的函数句柄bcfun：函数边值条件的函数句柄solinit：一个结构体，为该方程解的初始估计值。options：可选参数，用于指定积分算法，该参数为一个结构体，可以通过函数 bvpset 创建。9/18/202459
