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1、第七讲 泰勒泰勒(Taylor)级数级数Laurent)级数级数& 1. 泰勒展开定理泰勒展开定理& 2. 展开式的唯一性展开式的唯一性& 3. 简单初等函数的泰勒展开简单初等函数的泰勒展开式式4.3 泰勒泰勒(Taylor)级数级数1. 泰勒泰勒(Taylor)展开定理展开定理现在研究与此相反的问题：现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说或者说,一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函解析函数在解析点能否用幂级数表示？）数在解析点能否用幂级数表示？）由由4.24.2幂级数的性质知幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在
2、一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：以下定理给出了肯定回答：任何任何解析函数解析函数都一定都一定能用幂级数表示。能用幂级数表示。定理（泰勒展开定理）定理（泰勒展开定理）Dk分析：分析：代入代入(1)得得Dkz-(*)得证！得证！证明证明(不讲不讲)(不讲不讲)证明证明(不讲不讲)A 2. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的的Taylor级数。级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？的
3、展开式是否唯一？事实上事实上，设，设f (z)用另外的方法展开为幂级数用另外的方法展开为幂级数:由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。级数，因而是唯一的。-直接法直接法-间接法间接法代公式代公式由由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和析运算和 已知函数的展开式来展开已知函数的展开式来展开函数展开成函数展开成Taylor级数的方法：级数的方法：3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式例例1 解解A 上述求上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法展开式的方法即
4、为间接法.例例2 把下列函数展开成把下列函数展开成 z 的幂级数的幂级数:解解(2)由幂级数逐项求导性质得：由幂级数逐项求导性质得：A(1)另一方面，因另一方面，因ln(1+z)在从在从z=-1向左沿负向左沿负实轴剪开的平面内解析，实轴剪开的平面内解析， ln(1+z)离原点最近的一离原点最近的一个奇点是个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为它的展开式的收敛范围为z1.定理定理& 1. 预备知识预备知识& 2. 双边幂级数双边幂级数& 3. 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数& 4. 展开式的唯一性展开式的唯一性4.4 罗朗罗朗(Laurent)级数级数 由由4.34.3 知知, f (z
5、) 在在 z0 解析解析，则，则 f (z)总可以总可以在在z0 的某一个圆域的某一个圆域 z - z0 R 内内展开成展开成 z - z0 的幂级数。的幂级数。若若 f (z) 在在 z0 点不解析点不解析，在在 z0的邻域中就不可能展开成的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域的幂级数，但如果在圆环域 R1 z - z0R2 内解析，内解析，那么，那么，f (z)能否用能否用级数表示呢？级数表示呢？例如，例如，由此推想，若由此推想，若f (z) 在在R 1 z - z0 R2 内解析内解析, , f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项可以展开成级数，只是
6、这个级数含有负幂次项,即即 本节将讨论在以本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解析为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数和计算留数的基础。和计算留数的基础。1. 预备知识预备知识Cauchy 积分公式的推广到复连通域积分公式的推广到复连通域-见第三章第见第三章第18题题Dz0R1R2rRk1k2D1z2. 双边幂级数双边幂级数-含有正负幂项的级数含有正负幂项的级数定义定义 形如形如-双边幂级数双边幂级数正幂项正幂项(包括常数项包括常数项)部分部分：负幂项
7、部分负幂项部分：级数级数(2)是一幂级数，设收敛半径为是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数则级数在在z - z0= =R2 内收敛，且和为内收敛，且和为s(z)+; 在在 z - z0 =R 2外发散。外发散。 z0R1R2z0R2R1A (2)(2)在圆环域的边界在圆环域的边界 z - z0 =R1, z - z0=R2上上, ,3. 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数定理定理证明证明 由复连通域上的由复连通域上的Cauchy 积分公式：积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z记为记为I1记为记为I2式式(*1),(*2)中系数中系数cn的积分分别是在的积分分别是在k2， k1上
8、进上进行的，在行的，在D内取绕内取绕z0的简单闭曲线的简单闭曲线c，由复合闭路，由复合闭路定理可将定理可将cn写成统一式子：写成统一式子：证毕！证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。式式(*1),(*2)中系数中系数cn的积分分别是在的积分分别是在k2， k1上进上进行的，在行的，在D内取绕内取绕z0的简单闭曲线的简单闭曲线c，由复合闭路，由复合闭路定理可将定理可将cn写成统一式子：写成统一式子：证毕！证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为
9、洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。A (2) (2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点在奇点 z0的邻域内解析，需要把的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那展成级数，那么么 就利用洛朗（就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开。）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。4. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 一个在某一一个在某一圆环域内解析圆环域内解析的函数展开为含的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数
10、就是有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z)的洛朗级数。的洛朗级数。事实上事实上，Dz0R1R2cDz0R1R2cA 由唯一性，将函数展开成由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可级数，可用间接法。在大多数情况，均采用这一简便的方用间接法。在大多数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式在个别情况下，才直接采用公式(5)求求Laurent系系数的方法。数的方法。例例1解解例例2解解例例3解解例例4xyo12xyo12xyo12解解:没没有有奇奇点点注意首项注意首项(2)(2)对于对于
11、有理函数有理函数的的洛朗展开式，首先把有理洛朗展开式，首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和，函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。形式。小结：把小结：把f (z)展成洛朗展成洛朗( Laurent )级数的方法：级数的方法：解解 (1) 在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域例例5yxo12 (2) 在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域xo12练习：练习：A (2)(2)根据区域判别级数方式：根据区域判别级数方式：在圆域内需要把在圆域内需要把 f (z) 展成泰勒展成泰勒(Taylor)级数，级数，在环域内需要把在环域内需要把f (z)展成洛朗展成洛朗( Laurent )级数。级数。A (3) Laurent级数与级数与Taylor 级数的不同点：级数的不同点： Taylor级数先展开求级数先展开求R, 找出收敛域。找出收敛域。 Laurent级数先求级数先求 f(z) 的奇点，然后以的奇点，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出为中心，奇点为分隔点，找出z0到到无穷远无穷远 点的所有使点的所有使 f(z) 解析的环，在环域上展成解析的环，在环域上展成 级数。级数。作业P143 12(1)(3),16(2)(3)
