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1、6.4 6.4 无穷区间上的反常积分简介无穷区间上的反常积分简介6 6.4.4.1 1 无穷区间上的反常积分的概念无穷区间上的反常积分的概念6 6.4.4.2 2 无穷区间上反常积分计算举例无穷区间上反常积分计算举例2021/8/221例例 1求由曲线求由曲线 y = e- -x， y 轴轴及及 x 轴轴所所围围成成开开口口曲边梯形的面积曲边梯形的面积. 解解这是一个开口曲边梯形，这是一个开口曲边梯形， 为求其面积，任取为求其面积，任取 b 0, + )， 在在有有限限区区间间 0, b 上，上， 以以曲曲线线 y = e- - x为曲边的曲边梯形面积为为曲边的曲边梯形面积为by = e- -
2、x yxO(0,1) 开口曲边梯形的面积开口曲边梯形的面积 一、一、无穷区间上的广义积分无穷区间上的广义积分2021/8/222y = e- -xyxbO(0,1)即即当当 b + + 时时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，开口曲边梯形面积，2021/8/223定义定义 1设函数设函数 f (x) 在在 a, + + ) )上连续上连续， 取实取实数数 b a，如果极限如果极限 则称此极限为函数则称此极限为函数 f (x) 在无穷区间在无穷区间 a, + + ) ) 上的广义积分上的广义积分，这时也称这时也称广义积分收敛广义积分收敛，记作记作即即
3、存在存在，否则称否则称广义积分发散广义积分发散. .2021/8/224定义定义 2设函数设函数 f (x) 在在 (-(- , b 上连续上连续， 取取实实数数 a b，如果极限如果极限 则称此极限值为函数则称此极限值为函数 f (x) 在无穷区间在无穷区间(-(- , b 上的广义积分上的广义积分，这时也称这时也称广义积分收敛广义积分收敛，记作记作即即存在存在，否则称否则称广义积分发散广义积分发散. .2021/8/225定义定义 3设函数设函数 f (x) 在在 (-(- , + + ) ) 内连续内连续，且且对任意实数对任意实数 c，如果广义积分如果广义积分 则称上面两个广义函数积分之
4、和为则称上面两个广义函数积分之和为 f (x) 在无在无穷区间穷区间 (- - , + + ) 内的广义积分内的广义积分，这时也称广义积分收敛，这时也称广义积分收敛，记作记作即即都收敛都收敛，否则称广义积分发散否则称广义积分发散.2021/8/226若若 F(x) 是是 f (x) 的一个原函数，并记的一个原函数，并记则定义则定义 1，2，3 中的广义积分可表示为中的广义积分可表示为2021/8/227例例 2求求解解例例 3判断判断解解由于当由于当 x + + 时时，sin x 没有极限，所以广义积分没有极限，所以广义积分发散发散 .2021/8/228例例 4计算计算解解用分部积分法，得用
5、分部积分法，得2021/8/229例例 5判断判断解解故该积分发散故该积分发散.2021/8/2210例例 6证明反常积分证明反常积分 当当 p 1 时，时，收敛；当收敛；当 p 1 时，发散时，发散 .证证 p = 1 时，则时，则所以该反常积分发散所以该反常积分发散.2021/8/2211当当 p 1 时，时，综合上述，综合上述，该反常积分收敛该反常积分收敛. 当当 p 1 时，时，该反常积分发散该反常积分发散. p 1 时，则时，则2021/8/22122021/8/2213定定义义 4设设函函数数 f (x) 在在区区间间 ( (a, b 上上连连续续，取取 e e 0 ， 如果极限如
6、果极限 则则称称此此极极限限值值为为函函数数 f (x) 在在区区间间 ( (a, b 上上的反常积分，的反常积分，这时也称这时也称反常积分收敛反常积分收敛，否则称否则称反常积分发散反常积分发散. .且且记作记作即即存在存在，二、二、无界函数的广义积分无界函数的广义积分2021/8/2214定义定义 5设函数设函数 f (x) 在区间在区间 a, b) 上连续上连续，取取 e e 0 ， 如果极限如果极限 则称此极限值为函数则称此极限值为函数 f (x) 在区间在区间 a, b) 上上的反常积分的反常积分.这时也称这时也称反常积分收敛反常积分收敛，否则称否则称反常积分发散反常积分发散. .且且
7、即即存在存在，2021/8/2215定义定义 6设函数设函数 f (x) 在在 a, b 上除点上除点 c (a, b) 外连续外连续，如果下面两个反常积分如果下面两个反常积分 则则称称这这两两个个反反常常积积分分之之和和为为函函数数 f (x) 在在区区间间 a, b 上的反常积分上的反常积分，这时也称这时也称反常积分收敛反常积分收敛，否则，称否则，称反常积分发散反常积分发散. .记作记作即即都收敛都收敛，2021/8/2216若若 F(x) 是是 f (x) 的一个原函数，的一个原函数，则定义则定义 4，5，6 中的反常积分可表示为中的反常积分可表示为2021/8/2217例例 7判断判断解解故积分的收敛故积分的收敛.- -2021/8/2218例例 8讨论反常积分讨论反常积分解解当当 p = 1 时，时，则则故积分发散故积分发散.当当 p 1 时时2021/8/2219综综上上所所述述，得得：当当 p 1 时时，该该反反常常积积分分收收敛敛，2021/8/2220 刚才的发言，如刚才的发言，如有不当之处请多指有不当之处请多指正。谢谢大家！正。谢谢大家！2021/8/2221
