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1、建 模 实 例商人怎样安全过河？ 三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小 船只能容纳二人，由他们自已划行，随从们密约，在河的一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货，但是如何乘船渡河大权掌握在商人手中，商人们怎样才能安全渡河呢？9/17/20241建 模 实 例安全渡河问题可以视为一个多步决策过程。每一步即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸，都要对船上的人员作出决策，在有限步内使人员全部过河.用状状态态变变量量表示某一岸的人员状况，决决策策变变量量表示船上的人员状况，可以找出状态随决策变化的规律。问题转化为在在状状态态的的充充许许变变化化范范围围内内，确确定定每每一一步步的决策，达到渡河的目标的决
2、策，达到渡河的目标9/17/20242建 模 实 例模型的生成过成： 记第k次渡河前此岸的商人数为xk,随从数为yk, k=1,2,，xk , yk =0,1,2,3， 将二维向量sk=(xk,yk)定义为状态,安全渡河条件下的状态集称为允许状态集合允许状态集合，记作S，不难写出 S=(x,y) | x=0,3;y=0,1,2,3或 x=2,y=0,1,2或x=1;y=0,19/17/20243建 模 实 例记第k次渡船上的商人数为uk ,随从数为vk 将二维向量dk=(uk,vk)定义为决策,允允许许决决策集合策集合记作D,由小船的容量可知 D=（u,v）| u + v = 1 , 2 因为
3、k为奇数时船由此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶回此岸，所以状态sk 随决策dk变化的规律是： sk+1 = sk + (-1) k d k9/17/20244建 模 实 例求 决 策 dkD (k=1,2,n)， 使 状 态skS，按照转移规律，由初始状态s1=(3,3)经有限n步后到达状态sn+1=(0,0).模型求解 当商人和随从数都不多的情况下，用图解法解此模型更为方便。 9/17/20245建 模 实 例在xoy坐标系上画出方格，方格点上的坐标同时也表示状态 s = ( x , y ). 允许状态集是沿方格线移动1或2格，k为奇数时向左、下方移动，k为偶数时向右、上方移动。要确定一系列的dk使由s1=(3,3)经过那些点最终移至原点（0，0）9/17/20246建模实例9/17/20247建 模 实 例9/17/20248建 模 实 例评注 这里介绍的模型是一种规格化的方法，使我们可以用计算机求解，从而具有广泛意义.譬如当商人和随从人数增加或小船容量加大时，靠逻辑思考就困难了，而这种模型则仍可方便地求解9/17/20249谢谢谢谢9/17/202410
