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1、贵州大学新型光电子材料与技术研究所第四章第四章 晶格振动和晶体的热学性质晶格振动和晶体的热学性质4.1 一维单原子链的振动一维单原子链的振动运动方程色散关系相速与群速周期性边界条件贵州大学新型光电子材料与技术研究所运动方程运动方程 un-1 un un+1 n-1 n n+1 n+2 设试解设试解：a贵州大学新型光电子材料与技术研究所色色散散关关系系qm-/a/a0周期性贵州大学新型光电子材料与技术研究所 晶格中原子的集体振动形成频率为，波矢为q的格波。 对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相相速： 波位相的传播速度。群速： 波包（波能量）的
2、传播速度 相速与群速相速与群速贵州大学新型光电子材料与技术研究所玻恩卡门边界条件：边界原子?内部原子?l为任意整数又：q限制在中心布区内，即：故：波矢取值数晶格振动波矢取值数晶格原胞数晶格振动波矢取值数晶格原胞数 周期性边界条件（周期性边界条件（BornKarman边界条件）边界条件）贵州大学新型光电子材料与技术研究所l q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则晶格 振动状态不同 则 与 描述同一晶格(整数)振动状态例：例：返回贵州大学新型光电子材料与技术研究所4.2 一维双原子链的振动一维双原子链的振动运动方程色散关系周期性边界条件声学波和光学波贵州大学新型光电子材料与技术研究所运动方
3、程运动方程 考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链aM m n n n-1 n+1运动方程：(设M m)设试解：贵州大学新型光电子材料与技术研究所 色散关系色散关系 周期性周期性： 对称性：对称性：声频支格波光频支格波贵州大学新型光电子材料与技术研究所 声学波和光学波声学波和光学波一维双原子链有两支色散关系即有两支格波：声频支格波，频率位于超声波频率范围光频支格波，频率位于红外光波频率范围贵州大学新型光电子材料与技术研究所光学波和声学波在简约布区内的极值：光学波和声学波在简约布区内的极值：光学波的最小频率大于声学波的最大频率贵州大学新型光电子材料与技术研究所 光学波和声学波的物理图象光
4、学波和声学波的物理图象光学波（光学波（optical branch） 第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比贵州大学新型光电子材料与技术研究所，在、象限之间，属于反位相型 物理图象：物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而原胞的质心基本保持不动。 当q0时，原胞中两种原子振动位相完全相反 实际晶体， (0)在1013 1014Hz，对应于远红外光频率范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在 (0)附近的强烈吸收。贵州大学新型光电子材料与技术研究所 声学波（声学波（acoustic branch）即：在、象限，属于同位相型贵州大学新型光电子材料
5、与技术研究所 物理图象：物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同， 原胞基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子 基本上无相对振动 。 当q0时， 0，原胞内两种原子的振动位相相同贵州大学新型光电子材料与技术研究所这与连续介质的弹性波 vq 一致. 当q0时 在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振 幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，所以这种晶格振动称为声学波或声学支或声频支格波贵州大学新型光电子材料与技术研究所 周期性边界条件周期性边界条件h =整数， N：晶体链的原胞数 q空间态密度：简约布区中q的取值数晶体的原胞数晶体的原胞数晶格振动的格波总数2N晶体的自由度数晶体的
6、自由度数 推广：若每个原胞中有s个原子，一维晶格振动有s个色散关 系式（s支格波），其中：1支声学波，(s-1)支光学波。 晶格振动格波的总数晶格振动格波的总数sN晶体的自由度数晶体的自由度数返回贵州大学新型光电子材料与技术研究所4.3 格波能量的量子化格波能量的量子化声子声子正交关系晶格振动的能量声子贵州大学新型光电子材料与技术研究所两个正交关系两个正交关系 频率为j的解： 原子的实际位移: 两个正交关系： Q(q, t) 晶体中原子整体运动的坐标，称简正坐标贵州大学新型光电子材料与技术研究所 晶格振动的能量晶格振动的能量 动能： 势能： 总机械能： 利用两个正交关系：贵州大学新型光电子材料
7、与技术研究所 运动方程： 晶体中原子共同参与频率为，波矢为q的简谐振 动, 称为一种振动模式，即一组（ ，q）为一个振动模式. 由量子力学: _即晶格振动的能量是量子化的声子声子 声子是晶格振动格波的能量量子能量量子. 声子的能量能量为，准动量准动量为q 声子是玻色子，服从玻色爱因斯坦统计贵州大学新型光电子材料与技术研究所 为何引入声子为何引入声子? 声子有何特性声子有何特性?1) 一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原 子组成的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子.2) 声子具有能量 ，也具有准动量q ，但声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单独存在，它并
8、不是一种真实的粒子, 只是一种准粒子3) 当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以为单元交换能量.贵州大学新型光电子材料与技术研究所4) 声子之间以及声子与其它粒子的相互作用过程遵从能量守恒和准动量守恒：其中为倒格矢6) 由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动总能量为：5) 声子是玻色子，服从玻色爱因斯坦统计返回贵州大学新型光电子材料与技术研究所4.4 三维晶格振动三维晶格振动运动方程三维晶格振动主要结论模式密度(格波频率分布函数)范霍夫奇性贵州大学新型光电子材料与技术研究所运动方程运动方程 (由N个原子组成的三维布喇菲格子) 第个原子的位矢: 在简谐近似下，系统的势能为（取平衡时U00）：(
9、)和() 是第和第个原子分别沿和方向的位移._力常数贵州大学新型光电子材料与技术研究所 第个原子的运动方程：这里考虑了晶体中所有原子的相互作用 晶体中各力常数之间并不全是独立的，而必须满足： ， 1，2，3 由晶格的周期性，得贵州大学新型光电子材料与技术研究所 三维晶格振动主要结论三维晶格振动主要结论 设方程有格波解：将试解带入运动方程得：(，1，2，3)其中： 所有的A不能同时为零,于是得久期方程：贵州大学新型光电子材料与技术研究所 可以解得与q的三个关系式，对应于三维情况沿三个 方向的振动，即有三支声学波：一支纵波，两支横波. 推广至N个原胞,每个原胞中有s个原子的三维复试格子：晶格振动波
10、矢的总数晶体的原胞数晶格振动波矢的总数晶体的原胞数晶格振动格波的总数晶体的自由度数晶格振动格波的总数晶体的自由度数3sN晶格振动中，有晶格振动中，有3s个个 与与q的关系式（即的关系式（即3s支色散支色散关关 系），系），其中其中3支为声学波，（一支纵波，两支支为声学波，（一支纵波，两支横波），其余横波），其余3(s1)支为光学波支为光学波贵州大学新型光电子材料与技术研究所 模式密度模式密度(格波频率分布函数格波频率分布函数)1) 周期性边界条件周期性边界条件 设N1、N2和N3分别为晶体沿三个基矢方向的原胞 数。那么，晶体的总原胞数为：N N1 N2 N3 第j支格波周期性边界条件：（1,
11、2, 3）（h = 整数）贵州大学新型光电子材料与技术研究所（h1 , h2 , h3整数） 在q空间中，每一个q的取值（状态）所占的空间为： 在空间中，振动态的分布密度： 中心布区中波矢 的取值总数晶体的原胞数N贵州大学新型光电子材料与技术研究所定义：频率附近单位频率间隔内的模式数在q空间中，处在 d两等频面之间的振动模式数dZ（只考虑其中第j支格波）为：由于 模式密度模式密度(格波频率分布函数格波频率分布函数)贵州大学新型光电子材料与技术研究所例：求一维单原子链晶格振动的模式密度求一维单原子链晶格振动的模式密度 贵州大学新型光电子材料与技术研究所 一维单原子链晶格振动的色散关系：贵州大学新
12、型光电子材料与技术研究所态密度表达式： 若g()存在奇异性，即满足：的那些点，称为临界点临界点(critical points)，常出现在布区中高对称性的点设临界点位于q=0的点，对应频率为c，则在其附近满足： 范范霍夫奇异性霍夫奇异性贵州大学新型光电子材料与技术研究所 范霍夫( L.C.P. van Hove)提出有四类 奇异性，即四类 临界点，它们是：1)A，B，C均为正数，临界点为极小点；2)A，B，C均为负数，临界点为极大点；3)A，B为正数，但C为负数，为第一类鞍点；4)A，B为负数，但C为正数，为第二类鞍点返回贵州大学新型光电子材料与技术研究所Pb的晶格振动谱的晶格振动谱贵州大学新型光电子材料与技术研究所Si的晶格振动谱的晶格振动谱贵州大学新型光电子材料与技术研究所GaAs的晶格振动谱的晶格振动谱
