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1、第十章第十章 力矩分配法力矩分配法 本章主要介绍了计算超静定结构的渐近法本章主要介绍了计算超静定结构的渐近法-力矩力矩分配法。介绍了力矩分配法的概念、基本原理以及如何分配法。介绍了力矩分配法的概念、基本原理以及如何用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。 通过本章的学习应掌握力矩分配法的基本原理、力通过本章的学习应掌握力矩分配法的基本原理、力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架的方法；掌握固端弯矩分配法计算连续梁和无侧移刚架的方法；掌握固端弯矩、转动刚度、分配系数、传递系数；要理解两个状态矩、转动刚度、分配系数、传递系数；要理解两个状态即固定状态和放松状态。即固定状态
2、和放松状态。本章提要本章提要本章内容本章内容 10.1 10.1 结点力偶的分配；结点力偶的分配； 10.2 10.2 单结点的力矩分配；单结点的力矩分配； 10.3 10.3 多结点的力矩分配；多结点的力矩分配；10.1 10.1 结点力偶的分配结点力偶的分配一、正负号的规定一、正负号的规定 力矩分配法中杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩都规力矩分配法中杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩都规定对杆端顺时针旋转为正号；结点弯矩逆时针为正；定对杆端顺时针旋转为正号；结点弯矩逆时针为正； 作用于结点的外力偶、作用于转动约束的约束力矩作用于结点的外力偶、作用于转动约束的约束力矩规定对结点或约束顺时针旋转为正号。
3、规定对结点或约束顺时针旋转为正号。二、结点力偶的分配二、结点力偶的分配 如如图图(a)(a)所示刚架，只有一个刚结点，在忽略杆件轴所示刚架，只有一个刚结点，在忽略杆件轴向变形的情况下，该结点不发生线位移而只产生角位移。向变形的情况下，该结点不发生线位移而只产生角位移。在该结点在该结点1 1作用一集中力偶作用一集中力偶M M，现计算汇交于结点，现计算汇交于结点1 1的各杆的各杆的杆端弯矩值。的杆端弯矩值。 在在M M作用下，结点作用下，结点1 1产生转角位移产生转角位移11。由位移法转角位移方程，可以写。由位移法转角位移方程，可以写出各杆端弯矩：出各杆端弯矩：M M1212=3i=3i12121
4、 1M M1313=4i=4i13131 1M M1414=i=i14141 1M M2121=0=0M M3131=2i=2i13131 1M M4141=-i=-i14141 1(a) (b) 取结点取结点1 1为隔离体如图为隔离体如图(b)(b)所示。所示。 由平衡条件由平衡条件MM1 1=0=0得：得： M M1212+M+M1313+M+M1414=M=M 将式将式(a)(a)代入上式，解得：代入上式，解得： 1 1=M/=M/（3i3i1212+4i+4i1313+i+i1414）将将1 1代回式代回式(a)(a)和式和式(b)(b)，得杆端弯矩如下：，得杆端弯矩如下： M M12
5、12=3i=3i1212M/(3iM/(3i1212+4i+4i1313+i+i1414) ) M M1313=4i=4i1313M/(3iM/(3i1212+4i+4i1313+i+i1414) ) M M1414=i=i1414M/(3iM/(3i1212+4i+4i1313+i+i1414) )(c) M M2121=0=0 M M3131=1/24i=1/24i1313M/(3iM/(3i1212+4i+4i1313+i+i1414）M M4141=-i=-i1414M/(3iM/(3i1212+4i+4i1313+i+i1414) ) 绘弯矩图绘弯矩图M M如图如图(c)(c)所示所
6、示. . 根据上述结果，作如下定义：根据上述结果，作如下定义： （1）转动刚度）转动刚度S 等截面直杆近端产生等截面直杆近端产生 单位转角时所需施加单位转角时所需施加 的力矩。的力矩。(d) 于是，式于是，式(a)(a)中列出的各杆杆端弯矩式可统一写成：中列出的各杆杆端弯矩式可统一写成： M M1k1k=S=S1k1k1 1 式中：式中：S S1k1k称为称为1k1k杆杆1 1端的转动刚度。端的转动刚度。 （2 2） 分配系数分配系数将转动刚度将转动刚度S S代入式代入式(c)(c)，则各杆端弯矩可统一写成，则各杆端弯矩可统一写成: : （3 3） 传递系数传递系数C C 式式(d)(d)中的
7、各杆端弯矩可统一写成中的各杆端弯矩可统一写成: : M Mk1k1=C=C1k1kM M1k1k式中：式中：C C1k1k称为称为1k1k杆杆1 1端的传递系数。端的传递系数。 传递系数表示了当杆件近端发生转角时，远端弯矩传递系数表示了当杆件近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值。与近端弯矩的比值。 远端固定时：远端固定时： 远端铰支时：远端铰支时：C=0C=0 远端滑动时：远端滑动时：C=-1C=-1 结论：结论： 当结点作用有力偶荷载当结点作用有力偶荷载M M时，结点上各杆近端弯矩等时，结点上各杆近端弯矩等于分配系数乘以于分配系数乘以M M，又称分配弯矩；各，又称分配弯矩；各杆杆远端弯矩
8、等于近远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数，也称传递弯矩。端弯矩乘以传递系数，也称传递弯矩。 上述利用力矩分配和传递的概念解决结点力偶作用上述利用力矩分配和传递的概念解决结点力偶作用下的计算问题，故称为下的计算问题，故称为力矩分配法力矩分配法。10.2 10.2 单结点的力矩分配计算单结点的力矩分配计算一、适用对象一、适用对象 连续梁和无结点线位移的刚架。连续梁和无结点线位移的刚架。二、计算步骤：二、计算步骤： 1 1、锁定结点，查表（载常数）计算各杆端固端弯、锁定结点，查表（载常数）计算各杆端固端弯矩和结点约束力矩矩和结点约束力矩M M（结点固端弯矩之和）。（结点固端弯矩之和）。 2 2、放松结
9、点，结点施加力偶（、放松结点，结点施加力偶（-M-M）产生结点转动）产生结点转动角位移，力矩分配法计算分配弯矩、传递弯矩。角位移，力矩分配法计算分配弯矩、传递弯矩。 3 3、叠加以上两步各杆端的固端弯矩和分配弯矩、叠加以上两步各杆端的固端弯矩和分配弯矩、传递弯矩，得到最终杆端弯矩。传递弯矩，得到最终杆端弯矩。 4 4、根据杆端弯矩及杆间荷载叠加法作弯矩图。、根据杆端弯矩及杆间荷载叠加法作弯矩图。例例1 1 试试作图作图(a)(a)所示连续梁的弯矩图。所示连续梁的弯矩图。解解 ：(1)(1)固定结点固定结点B B，查表，查表9-19-1，9-29-2计算各杆端产生的计算各杆端产生的固端弯矩：固端
10、弯矩：M MF FBABA=ql=ql2 2/8=180kNm/8=180kNmM MF FCBCB=-100kNm=-100kNmM MF FCBCB= 100kNm= 100kNm 由结点由结点B B的平衡条件的平衡条件MMB B=0=0求约束力矩：求约束力矩：M MF FB B =M=MF FBABA+M+MF FBCBC =(180-100)kNm=80kNm =(180-100)kNm=80kNm (2) (2)放松结点放松结点B, B, 施加力偶施加力偶M MB B（-M-MF FB B），力矩分配计），力矩分配计算分配弯矩、传递弯矩：算分配弯矩、传递弯矩： 分配系数：分配系数：S
11、 SBABA=3i=3iBABA=32EI/12=1/2EI=32EI/12=1/2EIS SBCBC=4i=4iBCBC=4EI/8=1/2EI=4EI/8=1/2EI BABA=S=SBABA/(S/(SBABA+S+SBCBC)= 0.5)= 0.5BCBC=S=SBCBC/(S/(SBABA+S+SBCBC 利用公式利用公式1k=11k=1进行校核：进行校核：Bk=BA+BC=0.5+0.5=1Bk=BA+BC=0.5+0.5=1 所以分配系数计算正确。所以分配系数计算正确。 分配弯矩：分配弯矩： M MBABA= =BABAMMB B=0.5(-80)kNm=-40kNm=0.5(-
12、80)kNm=-40kNm M MBCBC= =BCBCMMB B=0.5(-80)kNm=-40kNm=0.5(-80)kNm=-40kNm 传递弯矩：传递弯矩： M MCABCAB=C=CBABAMMBABA=0=0 M MCCBCCB=C=CBCBCMMBCBC=1/2(-40)kNm=-20kNm=1/2(-40)kNm=-20kNm (3) (3) 叠加各杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩叠加各杆端的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩得各杆端最后弯矩值：得各杆端最后弯矩值：M MABAB=M=MF FABAB+M+MCABCAB=0=0M MBABA=M=MF FBABA+M+MBABA=
13、(180-40) kNm=140kNm=(180-40) kNm=140kNmM MBCBC=M=MF FBCBC+M+MBCBC=(-100-40)kNm=-140kNm=(-100-40)kNm=-140kNmM MCBCB=M=MF FCBCB+M+MCCBCCB=(100-20)kNm=80kNm=(100-20)kNm=80kNm (4) (4)作弯矩图。作弯矩图。10.3 10.3 多结点力矩分配计算多结点力矩分配计算一、计算步骤：一、计算步骤： 计算汇交于各结点的各杆端的分配系数计算汇交于各结点的各杆端的分配系数ikik，并，并确定传递系数确定传递系数C C1k1k。 根据荷载计
14、算各杆端的固端弯矩根据荷载计算各杆端的固端弯矩M MF Fikik及各结点的及各结点的约束力矩约束力矩M MF Fi i。 逐次循环放松各结点，并对每个结点按分配系数逐次循环放松各结点，并对每个结点按分配系数将约束力矩将约束力矩反号反号分配给汇交于该结点的各杆，然后将各分配给汇交于该结点的各杆，然后将各杆端的分配弯矩乘以传递系数传递至另一端。按此步骤杆端的分配弯矩乘以传递系数传递至另一端。按此步骤循环计算直至各结点上的传递弯矩小到可以略去时为止循环计算直至各结点上的传递弯矩小到可以略去时为止 将各杆端的固端弯矩与历次的分配弯矩和传递弯将各杆端的固端弯矩与历次的分配弯矩和传递弯矩相加，即得各杆端
15、的最后弯矩。矩相加，即得各杆端的最后弯矩。 绘弯矩图，进而可作剪力图和轴力图。绘弯矩图，进而可作剪力图和轴力图。例例2 2 用力矩分配法作图用力矩分配法作图(a)(a)所示连续梁的弯矩图。所示连续梁的弯矩图。解：解：（1 1） 计算分配系数计算分配系数 结点结点B B：S SBABA=3i=3iBABA=34EI/2=6EI=34EI/2=6EIS SBCBC=4i=4iBCBC=49EI/3=12EI=49EI/3=12EIBABA=S=SBABA/(S/(SBABA+S+SBCBC)=1/3)=1/3BCBC=S=SBCBC/(S/(SBABA+S+SBCBC)=2/3)=2/3 校核：校
16、核：1/3+2/3=11/3+2/3=1结点结点C C：S SCBCB=S=SBCBC=12EI=12EIS SCDCD=4i=4iCDCD=44EI/2=8EI=44EI/2=8EICBCB=S=SCBCB/(S/(SCBCB+S+SCDCD)=3/5)=3/5CDCD=S=SCDCD/(S/(SCBCB+S+SCDCD)=2/5)=2/5 校核：校核：3/5+2/5=13/5+2/5=1(2)(2) 计算固端弯矩计算固端弯矩 固定刚结点固定刚结点B B和和C C，由表，由表9-19-1、求各杆的固端弯矩、求各杆的固端弯矩M MF FBABA=3/16Pl=3/16Pl18.75kNm18.
17、75kNmM MF FBCBC=-ql=-ql2 2/12=-15kNm/12=-15kNmM MF FCBCB=ql=ql2 2/12 =15kNm/12 =15kNm 其余各固端弯矩均为零。其余各固端弯矩均为零。 结点结点B B和结点和结点C C的约束力矩分别为：的约束力矩分别为：M MF FB B=M=MF FBABA+M+MF FBCBC=(18.75-15)kNm=3.75kNm=(18.75-15)kNm=3.75kNmM MF FC C=M=MF FCBCB+M+MF FCDCD=15kNm=15kNm(3)(3) 放松结点放松结点C(C(结点结点B B仍固定仍固定) )： 对于
18、具有多个刚结点的结构，可按任意选定的次序对于具有多个刚结点的结构，可按任意选定的次序轮流放松结点，但为了使计算收敛得快些，通常轮流放松结点，但为了使计算收敛得快些，通常先放松先放松约束力矩较大的结点约束力矩较大的结点。在结点。在结点C C进行力矩分配求各相应杆进行力矩分配求各相应杆端的分配弯矩：端的分配弯矩：M MCBCB=3/5(-15)kNm=-9kNm=3/5(-15)kNm=-9kNmM MCDCD=2/5(-15)kNm=-6kNm=2/5(-15)kNm=-6kNm 同时可求得各杆远端的传递弯矩：同时可求得各杆远端的传递弯矩：M MC CBCBC=C=CCBCBMMCBCB=1/2
19、(-9)kNm=-4.5kNm=1/2(-9)kNm=-4.5kNmM MC CDCDC=C=CCDCDMMCDCD=1/2(-6)kNm=-3kNm =1/2(-6)kNm=-3kNm (4) (4)重新固定结点重新固定结点C C，并放松结点，并放松结点B B，进行力矩分配：，进行力矩分配：M MBABA=1/30.75kNm=0.25kNm=1/30.75kNm=0.25kNmM MBCBC=2/30.75kNm=0.5kNm=2/30.75kNm=0.5kNm 传递弯矩为传递弯矩为M MC CABAB=0=0M MC CCBCB=C=CBCBCMMBCBC=1/20.5kNm=0.25k
20、Nm=1/20.5kNm=0.25kNm (5) (5) 进行第二轮计算进行第二轮计算按照上述步骤，在结点按照上述步骤，在结点C C和和B B轮流进行第二次力矩分轮流进行第二次力矩分配与传递，计算结果填入图配与传递，计算结果填入图(b)(b)相应位置。由上看出，相应位置。由上看出，经过两轮计算后，结点的约束力矩已经很小，若认为已经过两轮计算后，结点的约束力矩已经很小，若认为已经满足计算精度要求时，计算工作停止。经满足计算精度要求时，计算工作停止。 (6) (6)最后将各杆端的固端弯矩和每次的分配弯矩、最后将各杆端的固端弯矩和每次的分配弯矩、传递弯矩相加，即得最后的杆端弯矩。见图传递弯矩相加，即得最后的杆端弯矩。见图(b)(b)，最后，最后杆端弯矩下画双横线。杆端弯矩下画双横线。(7) (7) 应用拟简支梁区段叠加法可画出弯矩图应用拟简支梁区段叠加法可画出弯矩图M M如图如图 (c)(c)所示。所示。再再 见见
