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1、 强强 度度 计计 算算问问 题题内内容容对对象象 构构 件件基基 本本 变变 形形组组 合合 变变 形形轴向轴向拉压拉压剪切剪切扭转扭转弯曲弯曲拉压拉压弯弯偏心偏心拉压拉压斜弯斜弯曲曲弯扭弯扭组合组合内力内力计算计算内力内力图图应力应力计算计算强度强度计算计算同基本同基本变形变形无无无无无无刚度计算刚度计算压杆稳定压杆稳定压杆分类压杆分类稳定计算稳定计算临界力计算临界力计算临界应力计算临界应力计算外力外力分析分析结 束一、轴向拉伸与压缩总一、轴向拉伸与压缩总结结一、轴向拉伸与压缩总结一、轴向拉伸与压缩总结2.材料拉伸与压缩时的力学性能1. 等截面拉(压)杆横截面上正应力 斜截面上的总应力：正
2、应力：切应力：3.轴向拉伸、压缩时的变形：5.轴向拉伸、压缩的静不定问题6.剪切和挤压的实用计算4.拉伸与压缩时的强度条件：拉伸与压缩时的强度条件：拉伸与压缩时的强度条件：最大工作应力最大工作应力 材料极限应力材料极限应力塑性材料塑性材料脆性材料脆性材料强度条件：强度条件：n1 安全因数安全因数 许用应力许用应力强度校核强度校核设计截面尺寸设计截面尺寸确定许用荷载确定许用荷载满足满足安全安全否则否则危险危险F FN1N1=10kN =10kN （拉力）（拉力）（拉力）（拉力）F FN2N2=50kN =50kN （拉力）（拉力）（拉力）（拉力） F FN3N3= - = - 5kN 5kN （
3、压力）（压力）（压力）（压力）F FN4N4=20kN =20kN （拉力（拉力（拉力（拉力） 发生在发生在发生在发生在BCBC段内任一横截面上段内任一横截面上段内任一横截面上段内任一横截面上5010520+CABD600300500400E40kN55kN 25kN20kN例题例题例题例题 1 1 一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图. .例题例题例题例题2 2 2 2 一横截面为正方形的砖柱分上、下一横截面为正方形的砖柱分上、下一横截面为正方形的砖柱分上、下一横截面为
4、正方形的砖柱分上、下两段两段两段两段, ,其受力情况其受力情况其受力情况其受力情况、各段长度及横截面面积各段长度及横截面面积各段长度及横截面面积各段长度及横截面面积如图所示如图所示如图所示如图所示. . . .已知已知已知已知F F F F = 50 = 50 = 50 = 50kNkN，试求荷载引起的最大工作应力试求荷载引起的最大工作应力试求荷载引起的最大工作应力试求荷载引起的最大工作应力. . . .FABCFF3000400037024021解：（解：（解：（解：（1 1 1 1）作轴力图）作轴力图）作轴力图）作轴力图FABCFF300040003702402150kN150kN（2 2
5、） 求应力求应力求应力求应力结论：结论：结论：结论： 在柱的下段，其值为在柱的下段，其值为在柱的下段，其值为在柱的下段，其值为1.1MPa1.1MPa，是压应力，是压应力，是压应力，是压应力. .例题例题例题例题3 3 图示为一变截面圆杆图示为一变截面圆杆图示为一变截面圆杆图示为一变截面圆杆ABCDABCD. .已知已知已知已知F F1 1=20kN=20kN，F F2 2=35kN=35kNF F3 3=35kN. =35kN. l l1 1= =l l3 3=300mm=300mm，l l2 2=400mm=400mm， d d1 1=12mm=12mm，d d2 2=16mm=16mm，
6、d d3 3=24mm. =24mm. 试求：试求：试求：试求：（1 1） - -、- -、III-IIIIII-III截面的轴力并作轴力图截面的轴力并作轴力图截面的轴力并作轴力图截面的轴力并作轴力图（2 2） 杆的最大正应力杆的最大正应力杆的最大正应力杆的最大正应力 maxmax（3 3） B B截面的位移及截面的位移及截面的位移及截面的位移及ADAD杆的变形杆的变形杆的变形杆的变形F1F2F3l1l2l3ABCDFN2 =-15kN （-）FN1 =20kN （+）FN3 =- 50kN （-）15+-2050F1F2F3l1l2l3ABCDF FRRDD（2 2） 杆的最大正应力杆的最大
7、正应力杆的最大正应力杆的最大正应力 maxmaxABAB段段段段DCDC段段段段BCBC段段段段FN2 =-15kN ( - )FN1 =20kN （+）FN3 =- 50kN ( - )F1F2F3l1l2l3ABCDF FRRDD max max = 176.8MPa = 176.8MPa 发生在发生在发生在发生在ABAB段段段段. .（3 3） B B截面的位移及截面的位移及截面的位移及截面的位移及ADAD杆的变形杆的变形杆的变形杆的变形F1F2F3l1l2l3ABCDF FRRDD二、扭转变形二、扭转变形WWt t 称作抗扭截面系数，单位为称作抗扭截面系数，单位为称作抗扭截面系数，单位
8、为称作抗扭截面系数，单位为 mm mm3 3 或或或或 m m3 3. .2. 2. 的计算的计算的计算的计算(Calculation of (Calculation of maxmax) ) r rOOT Td dA Ad dA A maxmax二、扭转变形时切应力：二、扭转变形时切应力：1. 1. 1. 1. 数学表达式数学表达式数学表达式数学表达式(Mathematical (Mathematical formula)formula)扭转强度条件扭转强度条件扭转强度条件扭转强度条件 (Strength Condition)(Strength Condition)2.2.2.2.强度条件的
9、应用强度条件的应用强度条件的应用强度条件的应用(Application of strength condition)(Application of strength condition)强度校核强度校核强度校核强度校核(Check the intensity)(Check the intensity)设计截面设计截面设计截面设计截面(Determine the required (Determine the required dimensions) dimensions) 确定许可载荷确定许可载荷确定许可载荷确定许可载荷(Determine the allowable load)(Determ
10、ine the allowable load)1.1.1.1.圆轴扭转时的变形是用相对扭转角圆轴扭转时的变形是用相对扭转角圆轴扭转时的变形是用相对扭转角圆轴扭转时的变形是用相对扭转角 来度量的来度量的来度量的来度量的扭转变形扭转变形扭转变形扭转变形 (Torsional deformation)Torsional deformation)其中其中其中其中 d d 代表相距为代表相距为代表相距为代表相距为 d dx x 的两横截面间的相对扭转角的两横截面间的相对扭转角的两横截面间的相对扭转角的两横截面间的相对扭转角. .长为长为长为长为 l l 的一段杆两端面间的相对扭转角的一段杆两端面间的相对
11、扭转角的一段杆两端面间的相对扭转角的一段杆两端面间的相对扭转角 可按下式计算可按下式计算可按下式计算可按下式计算3.3.3.3.刚度条件刚度条件刚度条件刚度条件（Stiffness condition)Stiffness condition)2.2.2.2.单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角单位长度扭转角(Angle of twist per unit length)(Angle of twist per unit length) 扭转角扭转角扭转角扭转角GIGIp p 称作抗扭刚度称作抗扭刚度称作抗扭刚度称作抗扭刚度 称作许可称作许可称作许可称作许可单位长度扭转角单位长度扭转角单位长
12、度扭转角单位长度扭转角(Allowable angle of twist per unit length)(Allowable angle of twist per unit length)ABC解解解解：作轴的扭矩图作轴的扭矩图作轴的扭矩图作轴的扭矩图MeAMeBMeC22 kNkNmm14 kNkNmm+_分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度分别校核两段轴的强度例题例题例题例题1 1 图示阶梯圆轴图示阶梯圆轴图示阶梯圆轴图示阶梯圆轴, , , ,ABABABAB段的直径段的直径段的直径段的直径d d1 1=120mm=120mm, , , ,BCBC 段的直径段的直
13、径段的直径段的直径 d d2 2=100mm=100mm. . . .扭转力偶矩为扭转力偶矩为扭转力偶矩为扭转力偶矩为MMAA = 22 kNm, = 22 kNm, MMBB = 36 kNm , = 36 kNm ,MMCC =14 kNm. =14 kNm. 已知材料的许已知材料的许已知材料的许已知材料的许用切应力用切应力用切应力用切应力 = 80MPa, = 80MPa,试试试试校核该轴的强度校核该轴的强度校核该轴的强度校核该轴的强度. .因此因此因此因此, ,该轴满足强度要求该轴满足强度要求该轴满足强度要求该轴满足强度要求. .例题例题例题例题2 2 图示等直杆图示等直杆图示等直杆图
14、示等直杆, ,已知直径已知直径已知直径已知直径d d=40mm,=40mm,a a=400mm,=400mm,材料的剪切弹性材料的剪切弹性材料的剪切弹性材料的剪切弹性模量模量模量模量GG=80GPa=80GPa， DBDB=1. =1. 试求：试求：试求：试求：（1 1） ADAD杆的最大切应力杆的最大切应力杆的最大切应力杆的最大切应力; ;（2 2）扭转角）扭转角）扭转角）扭转角 CACAa aa a2 2a aMMe e2 2MMe e3 3MMe eA AB BC CD+Me2Me3Me解：画扭矩图解：画扭矩图解：画扭矩图解：画扭矩图计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩计算外力偶矩MMe
15、 e DBDB= = CBCB+ + DCDC=1=1T Tmaxmax= 3= 3MMe e（1 1）ADAD杆的最大切应力杆的最大切应力杆的最大切应力杆的最大切应力（2 2）扭转角）扭转角）扭转角）扭转角 CACAa aa a2 2a aMMe e2 2MMe e3 3MMe eA AB BC CD+Me2Me3Me三、梁弯曲变形三、梁弯曲变形最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处. .则公式改写为则公式改写为则公式改写为则公式改写为引用记号引用记号引用记号引用
16、记号抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数抗弯截面系数三、梁弯曲时横截面上正应力的计算公式三、梁弯曲时横截面上正应力的计算公式: :80y1y22020120z例题例题例题例题1 T1 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. . 铸铁的许用拉应力为铸铁的许用拉应力为铸铁的许用拉应力为铸铁的许用拉应力为 t t = = 30MPa 30MPa ，许用压应力为许用压应力为许用压应力为许用压应力为 c c =160MPa. =160MPa. 已知截面对形心轴已知截面对形心轴已知截面对形心轴已知
17、截面对形心轴z z的惯性矩为的惯性矩为的惯性矩为的惯性矩为 I Iz z =763cm=763cm4 4 ， y y1 1 =52mm=52mm，校核梁的强度，校核梁的强度，校核梁的强度，校核梁的强度. .F1=9kNF2=4kNACBD1m1m1mFRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m-+4kN2.5kN解：解：解：解：最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面C C上上上上最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面B B上上上上 B B截面截面截面截面C C截面截面截面截面80y1y22020120z四、应力状态及强度理四、应力
18、状态及强度理论论最大正应力的方位最大正应力的方位最大正应力的方位最大正应力的方位1.1.1.1.最大正应力及方位最大正应力及方位最大正应力及方位最大正应力及方位 （1 1 1 1）当）当）当）当 x x y y 时时时时, , 0 0 是是是是 x x与与与与 maxmax之间的夹角之间的夹角之间的夹角之间的夹角 （2 2）当当当当 x x y y 时时时时, , 0 0 是是是是 x x与与与与 minmin之间的夹角之间的夹角之间的夹角之间的夹角 （3 3）当当当当 x x= = y y 时时时时, , , , 0 0 =45,=45,=45,=45,主应力的方向可由单元体上切应力情况直观
19、判断出来主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来 则确定主应力方向的具体规则如下则确定主应力方向的具体规则如下则确定主应力方向的具体规则如下则确定主应力方向的具体规则如下 若约定若约定若约定若约定 | | 0 0 | | 45 45即即即即 0 0 取值在取值在取值在取值在4545范围内范围内范围内范围内 最大切应力及方位最大切应力及方位最大切应力及方位最大切应力及方位1.1.1.1.最大切应力的方位最大切应力的方位最大切应力的方位最大切应力的方位 令令令令相当应力相当应力相当应力相当应力（Equ
20、ivalent stressEquivalent stress） 把各种强度理论的强度条件写成统一形式把各种强度理论的强度条件写成统一形式把各种强度理论的强度条件写成统一形式把各种强度理论的强度条件写成统一形式 r r 称为复杂应力状态的称为复杂应力状态的称为复杂应力状态的称为复杂应力状态的相当应力相当应力相当应力相当应力. .强度条件强度条件强度条件强度条件莫尔强度理论莫尔强度理论莫尔强度理论莫尔强度理论 例题例题例题例题 1 1 画出如图所示梁画出如图所示梁画出如图所示梁画出如图所示梁S S截面的应力状态单元体截面的应力状态单元体截面的应力状态单元体截面的应力状态单元体. . 5 54 4
21、3 32 21 1Fl/2l/2Fl/2l/2S平面平面平面平面S S平面平面平面平面25 54 43 32 21 15 54 43 32 21 11 x x1 1 x x1 1 x x2 2 x x2 2 2 2 2 23 3 3 3 3al lS SF例题例题例题例题 2 2 画出如图所示梁危险截面危画出如图所示梁危险截面危画出如图所示梁危险截面危画出如图所示梁危险截面危险点的应力状态单元体险点的应力状态单元体险点的应力状态单元体险点的应力状态单元体 x xzy4 43 32 21 1zy4 43 32 21 1FSMMz zT T1 12 2yxzzy4 43 32 21 1FSMMz
22、zT Tx xzy4 43 32 21 13 3例题例题例题例题3 3 3 3 简支梁如图所示简支梁如图所示简支梁如图所示简支梁如图所示. . . .已知已知已知已知 mm- -mm 截面上截面上截面上截面上A A点的弯曲正应力和切应力分别为点的弯曲正应力和切应力分别为点的弯曲正应力和切应力分别为点的弯曲正应力和切应力分别为 =- =- =- =-70707070MPaMPa, , , , =50=50=50=50MPa.MPa.确定确定确定确定A A点的主应力及主平面的方位点的主应力及主平面的方位点的主应力及主平面的方位点的主应力及主平面的方位. . . .A mmmmal A 解：解：解：
23、解：把从把从把从把从A A点处截取的单元体放大如图点处截取的单元体放大如图点处截取的单元体放大如图点处截取的单元体放大如图因为因为因为因为 x x y y ，所以，所以，所以，所以 0 0 0 0= = 27.527.5与与与与 minmin对应对应对应对应xA A 0 0 0 0 1 1 3 3 1 1 3 3 x x y y xyxy例题例题例题例题4 4 图示单元体图示单元体图示单元体图示单元体, , , ,已知已知已知已知 x x =-40=-40=-40=-40MPaMPa, , , , y y =60=60=60=60MPaMPa, , , , xyxy=-=-=-=-50MPa5
24、0MPa. . . .试求试求试求试求e e- -f f截面上的应力情况及主应力和主单元体的方截面上的应力情况及主应力和主单元体的方截面上的应力情况及主应力和主单元体的方截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位位位位. . . .n3030ef解解解解: : : :（1 1 1 1）求）求）求）求 e e- -f f 截面上的应力截面上的应力截面上的应力截面上的应力（2 2 2 2） 求主应力和主单元体的方位求主应力和主单元体的方位求主应力和主单元体的方位求主应力和主单元体的方位因为因为因为因为 x x 0 0例题例题例题例题5 5 求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位求平面纯剪切应力状态
25、的主应力及主平面方位求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位. . xyxy所以所以所以所以 0 0 0 0=-=-=-=-45454545与与与与 maxmax 对应对应对应对应45 （2 2）求主应力）求主应力）求主应力）求主应力 1 1 = = , , 2 2 = 0 , = 0 , 3 3 = - = - 1 3 3 OO例题例题例题例题6 6 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示从水坝体内某点处取出的单元体如图所示从水坝体内某点处取出的单元体如图所示从水坝体内某点处取出的单元体如图所示, , x x = -1MPa , = -1MPa , y
26、y = - 0.4MPa , = - 0.4MPa , xyxy= - = - 0.2MPa , 0.2MPa , yxyx = 0.2MPa , = 0.2MPa , （1 1）绘出相应的应力圆）绘出相应的应力圆）绘出相应的应力圆）绘出相应的应力圆 （2 2）确定此单元体在）确定此单元体在）确定此单元体在）确定此单元体在 =30=30和和和和 =-40=-40两斜面上的应力两斜面上的应力两斜面上的应力两斜面上的应力. . x x y y xyxy解解解解: : （1 1） 画应力圆画应力圆画应力圆画应力圆 量取量取量取量取OAOA= = x x= - 1 , = - 1 , ADAD = =
27、 xyxy= - 0.2,= - 0.2,定出定出定出定出 D D点点点点; ;ACB OB OB = = y y= - 0.4= - 0.4和，和，和，和， BDBD = = yxyx= 0.2 , = 0.2 , 定出定出定出定出 D D 点点点点. . (-1,-0.2)DD(-0.4,0.2) 以以以以DDDD 为直径绘出的圆即为应力圆为直径绘出的圆即为应力圆为直径绘出的圆即为应力圆为直径绘出的圆即为应力圆. . 将半径将半径将半径将半径 CDCD 逆时针转动逆时针转动逆时针转动逆时针转动 2 2 = 60 = 60到半径到半径到半径到半径 CE, ECE, E 点的坐标就代表点的坐标
28、就代表点的坐标就代表点的坐标就代表 = 30= 30斜截面上斜截面上斜截面上斜截面上的应力。的应力。的应力。的应力。（2 2）确定）确定）确定）确定 = 30= 30斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力E E6060（3 3）确定）确定）确定）确定 = - 40= - 40斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力斜截面上的应力 将半径将半径将半径将半径 CDCD顺时针转顺时针转顺时针转顺时针转 2 2 = 80 = 80到半径到半径到半径到半径 CF, FCF, F 点的坐标就代表点的坐标就代表点的坐标就代表点的坐标就代表 = - 40= - 40斜截面上的斜截面上的斜截
29、面上的斜截面上的应力应力应力应力. .F F8080ADC BOOD 3030 4040 4040 3030 3030= - 0.36MPa= - 0.36MPa 3030= = - 0.68MPa- 0.68MPa 4040= - 0.26MPa= - 0.26MPa -40-40= = - 0.95MPa- 0.95MPa例题例题例题例题7 7 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示, ,梁的横截面尺寸示于图中梁的横截面尺寸示于图中梁的横截面尺寸示于图中梁的横截面尺寸示于图中.
30、 .试绘出试绘出试绘出试绘出截面截面截面截面C C上上上上a , ba , b两点处的应力圆两点处的应力圆两点处的应力圆两点处的应力圆, ,并用应力圆求出这两点处的主应力并用应力圆求出这两点处的主应力并用应力圆求出这两点处的主应力并用应力圆求出这两点处的主应力. .12015152709za ab b250kN1.6m2mABC+200kN50kN+80kNm解解解解: : : :（1 1）首先计算支反力）首先计算支反力）首先计算支反力）首先计算支反力, , 并作出并作出并作出并作出 梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图梁的剪力图和弯矩图 M Mmax max = = MMC
31、C = 80 kNm= 80 kNm F FSmax Smax = =F FCC左左左左 = 200 kN= 200 kN250KN1.6m2mABC12015152709za ab b（2 2）横截面）横截面）横截面）横截面 C C上上上上a a 点的应力为点的应力为点的应力为点的应力为 a a点的单元体如图所示点的单元体如图所示点的单元体如图所示点的单元体如图所示a x x x x xyxy yxyx 由由由由 x x , , xyxy 定出定出定出定出D D 点点点点由由由由 y y , , yxyx 定出定出定出定出DD点点点点 以以以以DDDD为直径作应力圆为直径作应力圆为直径作应力
32、圆为直径作应力圆OO C（3 3）作应力圆）作应力圆）作应力圆）作应力圆 x x = =122.5MPa122.5MPa, , xyxy = =64.6MPa64.6MPa y y= =0,0, xyxy =-=-64.6MPa64.6MPaAB(122.5 , 64.6)D(0 , - 64.6)DDA1 1 1 3 3A2 A A1 1, ,A A2 2 两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代两点的横坐标分别代表表表表 a a 点的两个主应力点的两个主应力点的两个主应力点的两个主应力 1 1 和和和和 3 3 A A1 1 点对应于单元体上点对应于单元体上点对应于单元体上点
33、对应于单元体上 1 1所在的主平所在的主平所在的主平所在的主平面面面面 a x x x x xyxy yxyx 0 0 1 1 3 312015152709za ab b（4 4）横截面）横截面）横截面）横截面 C C上上上上b b点的应力点的应力点的应力点的应力 b b点的单元体如图所示点的单元体如图所示点的单元体如图所示点的单元体如图所示b x x x x b b 点的三个主应力为点的三个主应力为点的三个主应力为点的三个主应力为 1 1所在的主平面就是所在的主平面就是所在的主平面就是所在的主平面就是 x x 平面平面平面平面, , 即梁的横截面即梁的横截面即梁的横截面即梁的横截面C Cb
34、x x x x(136.5 , 0)D(0 , 0)DD 1 1例题例题例题例题8 8 单元体的应力如图所示单元体的应力如图所示单元体的应力如图所示单元体的应力如图所示, ,作应力圆作应力圆作应力圆作应力圆, , 并求出主应力和最大切应力值及其作用面并求出主应力和最大切应力值及其作用面并求出主应力和最大切应力值及其作用面并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位方位方位方位. .解解解解: : 该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力该单元体有一个已知主应力 因此与该主平面正交的各截面上的应力因此与该主平面正交的各截面上的应力因此与该主平面正交的各截面上的应力因此
35、与该主平面正交的各截面上的应力与主应力与主应力与主应力与主应力 z z 无关无关无关无关, , 依据依据依据依据 x x截面和截面和截面和截面和y y 截面上的应截面上的应截面上的应截面上的应力画出应力圆力画出应力圆力画出应力圆力画出应力圆. . 求另外两个求另外两个求另外两个求另外两个主应力主应力主应力主应力40MPaxyz20MPa20MPa20MPa 由由由由 x x , , xyxy 定出定出定出定出 D D 点点点点由由由由 y y , , yxyx 定出定出定出定出 DD 点点点点 以以以以 DDDD为直径作应力圆为直径作应力圆为直径作应力圆为直径作应力圆 A A1 1, ,A A
36、2 2 两点的横坐标分别代表另外两两点的横坐标分别代表另外两两点的横坐标分别代表另外两两点的横坐标分别代表另外两个主应力个主应力个主应力个主应力 1 1 和和和和 3 3 A1A2DD O D DC 1 3 1 1 = =46MPa46MPa 3 3 = =-26MPa-26MPa 该单元体的三个主应力该单元体的三个主应力该单元体的三个主应力该单元体的三个主应力 1 1 = =46MPa46MPa 2 2 = =20MPa20MPa 3 3 = =-26MPa-26MPa 根据上述主应力，作出三个应力圆根据上述主应力，作出三个应力圆根据上述主应力，作出三个应力圆根据上述主应力，作出三个应力圆例
37、题例题例题例题10 10 一直径一直径一直径一直径 d d =20mm=20mm的实心圆轴的实心圆轴的实心圆轴的实心圆轴, ,在轴的的两端加扭矩在轴的的两端加扭矩在轴的的两端加扭矩在轴的的两端加扭矩MMe e=126N=126N m. m. 在轴的表面在轴的表面在轴的表面在轴的表面上某一点上某一点上某一点上某一点A A处用变形仪测出与轴线成处用变形仪测出与轴线成处用变形仪测出与轴线成处用变形仪测出与轴线成-45-45方向的应变方向的应变方向的应变方向的应变 =5.0 =5.0 1010-4 -4 , ,试求此圆轴材料的剪切弹性模量试求此圆轴材料的剪切弹性模量试求此圆轴材料的剪切弹性模量试求此圆
38、轴材料的剪切弹性模量GG. .MeMeA45x解解解解: :围绕围绕围绕围绕A A点取一单元体点取一单元体点取一单元体点取一单元体A A 1 3 -45-45A A组合变形组合变形 拉伸正应力拉伸正应力拉伸正应力拉伸正应力 最大弯曲正应力最大弯曲正应力最大弯曲正应力最大弯曲正应力 杆危险截面杆危险截面杆危险截面杆危险截面 下边缘各点处上的拉应力为下边缘各点处上的拉应力为下边缘各点处上的拉应力为下边缘各点处上的拉应力为计算危险点的应力计算危险点的应力计算危险点的应力计算危险点的应力（Calculating stress of the danger pointCalculating stress
39、of the danger point）F F1 1F F2 2F F2 2l l/2/2l l/2/2 -压杆稳定压杆稳定2.2.2.2.其它支座条件下的欧拉公式其它支座条件下的欧拉公式其它支座条件下的欧拉公式其它支座条件下的欧拉公式( (Eulers Formula for Other End Conditions)Eulers Formula for Other End Conditions)lFcr2lFcrl0.3l0.7lFcrl长度因数长度因数长度因数长度因数相当长度相当长度相当长度相当长度欧拉公式欧拉公式欧拉公式欧拉公式lFcrl/4l/4l/2l两端铰支两端铰支两端铰支两端铰
40、支一端固定，另一端铰支一端固定，另一端铰支一端固定，另一端铰支一端固定，另一端铰支两端固定两端固定两端固定两端固定一端固定，另一端自由一端固定，另一端自由一端固定，另一端自由一端固定，另一端自由表表表表9-1 9-1 9-1 9-1 各种支承约束条件下等截面细长压杆各种支承约束条件下等截面细长压杆各种支承约束条件下等截面细长压杆各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式 支承情况支承情况支承情况支承情况临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式临界力的欧拉公式长度因数长度因数长度因数长度因数 = 1= 1 = 0.7 = 0.7 =
41、0.5 = 0.5 = 2 = 2欧拉公式欧拉公式欧拉公式欧拉公式 的统一形式的统一形式的统一形式的统一形式(General Euler Buckling Load Formula)(General Euler Buckling Load Formula)（ 为压杆的长度因数）为压杆的长度因数）为压杆的长度因数）为压杆的长度因数）（ 为压杆的长度因数）为压杆的长度因数）为压杆的长度因数）为压杆的长度因数）1. 1. 欧拉公式欧拉公式欧拉公式欧拉公式 的统一形式的统一形式的统一形式的统一形式(General Euler Buckling Load Formula)(General Euler B
42、uckling Load Formula) l l 为相当长度为相当长度为相当长度为相当长度2. 2. 欧拉公式临界应力欧拉公式临界应力欧拉公式临界应力欧拉公式临界应力 (Eulers critical stress)(Eulers critical stress)i i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径为压杆横截面对中性轴的惯性半径为压杆横截面对中性轴的惯性半径为压杆横截面对中性轴的惯性半径. .则则则则则则则则令令令令令令令令二、二、二、二、 欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围欧拉公式的应用范围 (Applicable range for Eulers formula)
43、(Applicable range for Eulers formula) 只有在只有在只有在只有在 cr cr p p 的的的的范围内，才可以用欧拉公式范围内，才可以用欧拉公式范围内，才可以用欧拉公式范围内，才可以用欧拉公式计算压杆的临界压力计算压杆的临界压力计算压杆的临界压力计算压杆的临界压力 F Fcrcr（临界（临界（临界（临界应力应力应力应力 cr cr ）. .或或或或令令令令 即即即即 1 1（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围（大柔度压杆或细长压杆），为欧拉公式的适用范围. .
44、 当当当当 1 1 但大于某一数值但大于某一数值但大于某一数值但大于某一数值 2 2的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式的压杆不能应用欧拉公式，此时需用经验公式. . 1 1 的大小取决于压杆材料的力学性能的大小取决于压杆材料的力学性能的大小取决于压杆材料的力学性能的大小取决于压杆材料的力学性能. . 例如，对于例如，对于例如，对于例如，对于Q235Q235钢，钢，钢，钢，可取可取可取可取 E E=206GPa=206GPa， p p=200MPa=200MPa，得，得，得，得三三三三. . . . 常用的经验
45、公式常用的经验公式常用的经验公式常用的经验公式 ( ( The experimental formulaThe experimental formula) )式中：式中：式中：式中：a a 和和和和 b b是与材料有关的常数，可查表得出是与材料有关的常数，可查表得出是与材料有关的常数，可查表得出是与材料有关的常数，可查表得出. . 2 2 是对应是对应是对应是对应 直线公式直线公式直线公式直线公式的最低线的最低线的最低线的最低线. .直线公式直线公式直线公式直线公式 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式的杆为中柔度杆，其临
46、界应力用经验公式. . 或或或或令令令令四、四、四、四、压杆的分类及临界应力总图压杆的分类及临界应力总图压杆的分类及临界应力总图压杆的分类及临界应力总图(Classification of(Classification ofColumns and the Diagram of critical stress Columns and the Diagram of critical stress crcr versus versus slenderness ratio slenderness ratio ) )1.1.1.1.压杆的分类压杆的分类压杆的分类压杆的分类（Classification
47、of Columns Classification of Columns ）（1 1 1 1）大柔度杆大柔度杆大柔度杆大柔度杆（Long columnsLong columns）（2 2 2 2）中柔度杆中柔度杆中柔度杆中柔度杆（Intermediate columns Intermediate columns ）（3 3 3 3）小小小小柔度杆柔度杆柔度杆柔度杆（Short columnsShort columns）2.2.2.2.临界应力总图临界应力总图临界应力总图临界应力总图 1 1 1 1 2 2 2 2例题例题例题例题3 3 压杆截面如图所示压杆截面如图所示压杆截面如图所示压杆截面如
48、图所示. . 两端为柱形铰链约束，若绕两端为柱形铰链约束，若绕两端为柱形铰链约束，若绕两端为柱形铰链约束，若绕 y y 轴失轴失轴失轴失稳可视为两端固定，若绕稳可视为两端固定，若绕稳可视为两端固定，若绕稳可视为两端固定，若绕 z z 轴失稳可视为两端铰支轴失稳可视为两端铰支轴失稳可视为两端铰支轴失稳可视为两端铰支. . 已知，杆长已知，杆长已知，杆长已知，杆长l l=1m =1m ，材料的弹性模量，材料的弹性模量，材料的弹性模量，材料的弹性模量E E=200GPa=200GPa， p p=200MP=200MPa. a. 求压杆的临界求压杆的临界求压杆的临界求压杆的临界应力应力应力应力. .3
49、0mm20mmyz解：解：解：解：30mm20mmyz 因为因为因为因为 z z y y ，所以压杆绕，所以压杆绕，所以压杆绕，所以压杆绕 z z 轴先失稳，且轴先失稳，且轴先失稳，且轴先失稳，且 z z =115 =115 1 1，用欧拉公式计算临界，用欧拉公式计算临界，用欧拉公式计算临界，用欧拉公式计算临界力力力力. .例题例题例题例题3 3 外径外径外径外径 D D = 50 mm= 50 mm，内径，内径，内径，内径 d d = 40 mm = 40 mm 的钢管，两端铰支，材料为的钢管，两端铰支，材料为的钢管，两端铰支，材料为的钢管，两端铰支，材料为 Q235 Q235钢，钢，钢，钢
50、，承受轴向压力承受轴向压力承受轴向压力承受轴向压力 F F. . 试求试求试求试求（1 1）能用欧拉公式时压杆的最小长度；）能用欧拉公式时压杆的最小长度；）能用欧拉公式时压杆的最小长度；）能用欧拉公式时压杆的最小长度；（2 2）当压杆长度为上述最小长度的）当压杆长度为上述最小长度的）当压杆长度为上述最小长度的）当压杆长度为上述最小长度的 3/4 3/4 时，压杆的临界应力时，压杆的临界应力时，压杆的临界应力时，压杆的临界应力. . 已知：已知：已知：已知： E E = 200 GPa = 200 GPa， p p= 200 MPa = 200 MPa ， s s = 240 MPa = 240 MPa ，用直，用直，用直，用直线公式时，线公式时，线公式时，线公式时，a a = 304 MPa = 304 MPa， b b =1.12 MPa. =1.12 MPa.
