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1、Mechanics of Theory理论力学理论力学第十一章第十一章动量定理动量定理理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理2 本章重点、难点本章重点、难点 重点重点 质点系质心、动量的计算质点系质心、动量的计算 质点系动量定理、质心运动定理质点系动量定理、质心运动定理 难点难点 质点系动量定理、质心运动定理的应用质点系动量定理、质心运动定理的应用 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理第十一章第十一章 动量定理动量定理 111 动量和冲量动量和冲量 112 动量定理动量定理 113 质心运动定理质心运动定理 *114 变
2、质量质点的运动微分方程变质量质点的运动微分方程理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题地面拔河与太空拔河，谁胜谁负地面拔河与太空拔河，谁胜谁负？理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题？ 偏心转子电动机偏心转子电动机工作时为什么会左工作时为什么会左右运动；右运动； 这种运动有什么这种运动有什么规律；规律；会不会上下跳动；会不会上下跳动；利弊得失。利弊得失。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理？ 蹲在磅秤上的
3、人站起来时蹲在磅秤上的人站起来时 磅秤指示数会不会发生的变化磅秤指示数会不会发生的变化理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理？ 台式风扇放置在光滑的台台式风扇放置在光滑的台面上的台式风扇工作时，会面上的台式风扇工作时，会发生什么现象发生什么现象理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理？水水水水水池水池水池水池隔板隔板隔板隔板光滑台面光滑台面光滑台面光滑台面 抽去隔板后将会抽去隔板后将会发生什么现象发生什么现象理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理质点的动量动量(momentum) 质点的质
4、量与质点速度的乘积 动量是矢量矢量，而且是定位矢量定位矢量，它的方向与质点速度的方向一致。其单位为 kgm/s一、一、一、一、 动动动动 量量量量 质点系的动量质点系的动量(momentum of particle system) 质点系中各质点动量的矢量和，称为质点系的动量质点系的动量，又称为质点系 动量的动量的主矢主矢。11-1 动量与冲量动量与冲量又可写为实际计算时，可以利用速度的投影形式计算动量理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理m1m2mn根据质点系质心的位矢公式根据质点系质心的位矢公式根据质点系质心的位矢公式根据质点系质心的位矢公式zoxyrC
5、CrimivCO OvCO C C理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理例例例例 题题题题 1 1 椭圆规机构中，椭圆规机构中，椭圆规机构中，椭圆规机构中，OCOCACACCBCBl l；滑块滑块滑块滑块A A和和和和B B的质量均为的质量均为的质量均为的质量均为 m m，曲曲曲曲柄柄柄柄OCOC和和和和连杆连杆连杆连杆ABAB的质量忽略不计的质量忽略不计的质量忽略不计的质量忽略不计 ；曲柄以等角速度；曲柄以等角速度；曲柄以等角速度；曲柄以等角速度 绕绕绕绕O O轴旋转轴旋转轴旋转轴旋转。图示位置时，角度图示位置时，角度图示位置时，角度图示位置时，角度 t
6、t 为任意值。为任意值。为任意值。为任意值。求求求求：图示位置时，系统的总动量。图示位置时，系统的总动量。图示位置时，系统的总动量。图示位置时，系统的总动量。A AO OB B t t C Cv vB Bv vA Av vC CD D解：解：解：解：第一种方法：第一种方法：第一种方法：第一种方法：先计算各个质点的动量，先计算各个质点的动量，先计算各个质点的动量，先计算各个质点的动量，再求其矢量和。再求其矢量和。再求其矢量和。再求其矢量和。 ABAB AB AB = = 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理x xy yA AO OB B t t C Cv v
7、B Bv vA Av vC CD D解：解：解：解：第一种方法：第一种方法：第一种方法：第一种方法：先计算各个质点的动量，先计算各个质点的动量，先计算各个质点的动量，先计算各个质点的动量，再求其矢量和。再求其矢量和。再求其矢量和。再求其矢量和。 ABABAB = 理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理x xy yA AO OB B t t C Cv vB Bv vA Av vC CD D ABAB解：解：第二种方法：先确定系统的质心，以及质心的速度，然第二种方法：先确定系统的质心，以及质心的速度，然第二种方法：先确定系统的质心，以及质心的速度，然第二种方法：
8、先确定系统的质心，以及质心的速度，然后计算系统的动量。后计算系统的动量。后计算系统的动量。后计算系统的动量。 质点系的质心在质点系的质心在质点系的质心在质点系的质心在C C处，其速度处，其速度处，其速度处，其速度矢量垂直于矢量垂直于矢量垂直于矢量垂直于OCOC，数值数值数值数值为：为：为：为：系统的总质量系统的总质量系统的总质量系统的总质量m mC C= = m mA A+ + m mB B=2=2m m系统的总动量大小系统的总动量大小系统的总动量大小系统的总动量大小vC= l 方向沿方向沿方向沿方向沿 v vC C 方向方向方向方向理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动
9、量定理动量定理 1 1OO1ABOvABOvv？1求求求求：图示系统的总动量。图示系统的总动量。图示系统的总动量。图示系统的总动量。？2求求求求：图示系统的动量图示系统的动量图示系统的动量图示系统的动量及质心的速度及质心的速度及质心的速度及质心的速度。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理常力的冲量冲量(impulse) 力与作用时间的乘积称为力的冲量冲量。即 冲量是矢量矢量，其的方向与常力的方向一致。其单位为 Ns(也可化为kgm/s,可见冲量与动量的单位是一致的。)二、二、二、二、 冲冲冲冲 量量量量 变力的动量变力的动量其中， 与动量类似，可以给出其直
10、角坐标投影形式。而且可以证明，合力的冲量等于各分力的冲量之矢量和合力的冲量等于各分力的冲量之矢量和。称为元冲量元冲量。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理 一、质点的动量定理一、质点的动量定理 因此，质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量，此即质点的动量定理质点的动量定理(theorem of momentum)的微分形式微分形式。11-2 动量定理动量定理或或因此，在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点上的力在同一时间内的冲量上的力在同一时间内的冲量。此即
11、质点的动量定理质点的动量定理(theorem of momentum)的积分积分(或有限或有限)形式形式。 另外，还可给出动量定理的投影形式投影形式。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理例例11-1解解: 锤的质量m=3000kg，从高度h=1.5m处自由下落到受锻压的工件上，工件发生变形，历时t=0.01s，求锤对工件的平均压力。以重锤为研究对象，进行受力分析由运动学知识知，重锤下落的时间为取如图所示的坐标轴，则由质点的动量定理有代入已知数据，得重锤所受工件的反力为变力，取其平均反力来表示锤对工件的平均压力与之大小相等，方向相反。解之，理理 论论 力力
12、学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理 二、质点的动量守恒定律二、质点的动量守恒定律 这就表明，若质点不受力或作用于质点上的合力恒为零，则若质点不受力或作用于质点上的合力恒为零，则质点的动量保持不变，此即质点的动量保持不变，此即质点的动量守恒定律质点的动量守恒定律(law of convervation of momentum)。 显然，此时质点将作匀速直线运动状态或牌静止状态。这个结论就是牛顿第一定律牛顿第一定律。 特殊情况下，若质点不受力或作用于质点上的合力恒为零，则根据动量定理理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理三、质点系的动量定理
13、三、质点系的动量定理 设某质点系由设某质点系由n n个质点组成，则根据质点的动量定理，有个质点组成，则根据质点的动量定理，有这样的方程共有n个，将这n个方程两端分别相加，则有由内力的性质可知，又因为，于是有，此即微分形式的质点系动量定理微分形式的质点系动量定理。即质点系动量的增量等于作质点系动量的增量等于作用于质点系上的外力的元冲量的矢量和。用于质点系上的外力的元冲量的矢量和。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理此即微分形式的质点系动量定理微分形式的质点系动量定理。即质点系动量的增量等于作质点系动量的增量等于作用于质点系上的外力的元冲量的矢量和。用于质点系
14、上的外力的元冲量的矢量和。即，质点系动量对时间的一阶导数等于作用于质点系上的外力质点系动量对时间的一阶导数等于作用于质点系上的外力的矢量和的矢量和(即外力系的主矢主矢)。上式也可写成 对上式进行积分，可以得到积分形式(或有限形式有限形式)的质点的质点系动量定理系动量定理或说明：说明：说明：说明： 1、由质点系的动量定理可知，质点系的、由质点系的动量定理可知，质点系的内力不能改变质内力不能改变质点系的动量点系的动量。2、动量定理、动量定理使用时常取其投影形式使用时常取其投影形式(公式略公式略)。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理质量流质量流质量流质量流 非
15、刚性的、开放的质点系统的运动。非刚性的、开放的质点系统的运动。非刚性的、开放的质点系统的运动。非刚性的、开放的质点系统的运动。质量流的三种形式质量流的三种形式质量流的三种形式质量流的三种形式质点系动量定理的工程应用质点系动量定理的工程应用质点系动量定理的工程应用质点系动量定理的工程应用定常质量流定常质量流定常质量流定常质量流气体形式气体形式气体形式气体形式颗粒形式颗粒形式颗粒形式颗粒形式流体形式流体形式流体形式流体形式理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理例例11-2解解: 水流流经变截面弯管的示意图如图11-4所示。设流体是不可压缩的，流动是稳定的。求管壁
16、的附加动反力。因为管内流动是稳定的，所以有 为分析问题方便，如图所示取aa与bb之间的流体作为质点系。经过时间dt，该部分流体流到截面a1a1和b1b1之间，令qV为流体在单位时间内渡过截面的体积流量，为密度，则质点系在时间dt内流过截面的质量为在时间dt内质点系动量的变化为于是有dt极小，可以认为在截面aa与 a1a1之间各质点的速度相同，设为va类似地，截面bb与 b1b1之间各质点的速度设为vb。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理dt极小，可以认为在截面aa与 a1a1之间各质点的速度相同，设为va类似地，截面bb与 b1b1之间各质点的速度设为v
17、b。于是有作用于质点系上的外力有：均匀分布于体积aabb内的重力P P ,管壁对于此质点系的作用力F F ,以及两截面aa和bb上受到的相邻流体的压力F Fa , F Fb。 将质点系的动量定理应用于该质点系，则有消去时间dt，得理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理消去时间dt，得若将管壁对于此质点系的作用力F F 分解为F F 和F F 两部分，其中， F F 为与重力P P、相邻流体的压力F Fa , F Fb相平衡的管道静约束力。 F F 为由于液体的动量变化而产生的附加动约束力，又称附加动反力。附加动反力。则有而附加动反力由下式确定若进一步设截面a
18、a和bb的面积分别为Aa , Ab,则由不可压缩流体的连续性定律知因此，只要知道流速和曲管尺寸，即可求得附加动反力。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理 求：求：求：求：风扇不致滑落的风扇底座与风扇不致滑落的风扇底座与风扇不致滑落的风扇底座与风扇不致滑落的风扇底座与台面之间的最小摩擦因数。台面之间的最小摩擦因数。台面之间的最小摩擦因数。台面之间的最小摩擦因数。解：解：解：解：分析质量流的受力分析质量流的受力分析质量流的受力分析质量流的受力 考察刚要进入和刚刚排出的一段空气流，在考察刚要进入和刚刚排出的一段空气流，在考察刚要进入和刚刚排出的一段空气流，在考察
19、刚要进入和刚刚排出的一段空气流，在OxyOxy坐标系中，空气坐标系中，空气坐标系中，空气坐标系中，空气流所受叶片的约束力为流所受叶片的约束力为流所受叶片的约束力为流所受叶片的约束力为F FNxNx; ;这一段空气流都处于大气的包围之中，这一段空气流都处于大气的包围之中，这一段空气流都处于大气的包围之中，这一段空气流都处于大气的包围之中，两侧截面所受大气的总压力都近似为两侧截面所受大气的总压力都近似为两侧截面所受大气的总压力都近似为两侧截面所受大气的总压力都近似为0 0。例例11-3 空气流从台式风扇排出，出口处滑流边空气流从台式风扇排出，出口处滑流边空气流从台式风扇排出，出口处滑流边空气流从台
20、式风扇排出，出口处滑流边界直径为界直径为界直径为界直径为D D，排出空气流速度为排出空气流速度为排出空气流速度为排出空气流速度为v v，密度为密度为密度为密度为 ，风扇所受重力为，风扇所受重力为，风扇所受重力为，风扇所受重力为WW。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理分析不包括空气流的风扇受力分析不包括空气流的风扇受力分析不包括空气流的风扇受力分析不包括空气流的风扇受力W风扇所受重力；风扇所受重力；F F静滑动摩擦力；静滑动摩擦力；静滑动摩擦力；静滑动摩擦力；F FN N台面对风扇的约束力；台面对风扇的约束力；台面对风扇的约束力；台面对风扇的约束力；F F
21、f f空气流对风扇的反作用力空气流对风扇的反作用力空气流对风扇的反作用力空气流对风扇的反作用力理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理 四、质点系的动量守恒定律四、质点系的动量守恒定律 这就表明，若质点系不受外力或作用于质点系上的外力系主若质点系不受外力或作用于质点系上的外力系主矢恒为零，则质点系的动量保持不变，此即矢恒为零，则质点系的动量保持不变，此即质点系的动量守质点系的动量守恒定律恒定律。 在特殊情况下，若作用于质点系的外力系的主矢恒等于零，则根据上式，质点系的动量保持不变，即 如果作用于质点系的外力系的主矢不等于零，但是它在某一坐标轴上的投影恒等于零，
22、则根据式(11-10)和式(11-11)，质点系的动量在该坐标轴上的投影保持不变。例如则上述结论也称为质点系动量守恒定律质点系动量守恒定律。 若理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理Pv03030Q求：炮身的反冲速度和地面平均反力。求：炮身的反冲速度和地面平均反力。求：炮身的反冲速度和地面平均反力。求：炮身的反冲速度和地面平均反力。已知：已知：已知：已知：P P=40N=40N，Q Q=8kN=8kN，t t =0.05s=0.05s， v v0 0=500m/s, =500m/s, 忽略地面摩擦忽略地面摩擦忽略地面摩擦忽略地面摩擦。解：解：解：解：取系统为
23、研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象FN v例例11-3理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理m1m2mnzoxyrCCrimi根据质点系质心的位置矢量公式根据质点系质心的位置矢量公式根据质点系质心的位置矢量公式根据质点系质心的位置矢量公式 质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质质点系的质量与质心加速度的乘积等于作用于质点系外力的矢量和。点系外力的矢量和。11-3 质心运动定理质心运动定理理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理定定 向向 爆爆 破破质心运动定理的实例分析质心运动定理的实例分析 驱动汽
24、车行驶的力驱动汽车行驶的力理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理跳跳高高运运动动员员的的过过杆杆姿姿势势h h3 3=254305mm=254305mmh h3 3=51102mm=51102mm理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理直角坐标轴上的投影式直角坐标轴上的投影式直角坐标轴上的投影式直角坐标轴上的投影式自然轴上的投影式自然轴上的投影式自然轴上的投影式自然轴上的投影式 质心运动量守恒定律质心运动量守恒定律 质心作匀速直线运动；若开始静止，质心作匀速直线运动；若开始静止，则质心的位置始终保持不变。则质心的位置始终保持
25、不变。vCx =常数常数；若开始时速度投影等于零，若开始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标保持不变。则质心沿该轴的坐标保持不变。理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理 电动机的外壳和定子的电动机的外壳和定子的总质量为总质量为 m1 ,质心质心C1与转子转轴与转子转轴 O1 重合重合 ；转子质量为；转子质量为 m2 ，质质心心 O2 与转轴不重合与转轴不重合 ，偏心距，偏心距 O1O2 = e 。若转子以等角速度若转子以等角速度 旋转旋转。 求：求：底座所受的约束力。底座所受的约束力。解：解：（1 1）取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为研究对象取系统为
26、研究对象例例11-4理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理由质心运动定理得由质心运动定理得由质心运动定理得由质心运动定理得解法二：分析系统中各刚体运动解法二：分析系统中各刚体运动解法二：分析系统中各刚体运动解法二：分析系统中各刚体运动理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理COOCmgFOxFOy已知：已知：已知：已知：杆长为杆长为杆长为杆长为 2l2l； m m ； ；求：求：求：求： 转轴转轴转轴转轴 O O 处的处的处的处的约束力。约束力。约束力。约束力。解：解：解：解：取杆为研究对象取杆为研究对象取杆为研究对象取杆为
27、研究对象例例11-5理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理求：求：求：求：1 1、外壳在水平方向的运动规律外壳在水平方向的运动规律外壳在水平方向的运动规律外壳在水平方向的运动规律; ; 2 2、电动机跳起的条件电动机跳起的条件电动机跳起的条件电动机跳起的条件. .O1O2m1g m2gOyxFNas解：解：解：解：取系统为研究对象令令令令例例11-6当电机将会离地跳起。电机将会离地跳起。时理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理*11-4 变质量质点的运动微分方程变质量质点的运动微分方程其中，变质量质点系质心的变质量质点系质
28、心的运动微分方程运动微分方程理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理牛顿第二定律动量定理动量守恒定理 理论力学中的动量定理和动量守恒定理比物理学中的相应的定理更具有一般性，应用也更为广泛，主要研究以地球为惯性参考系的宏观动力学问题，特别是非自由质点系的动力学问题。这些问题的一般运动中的动量往往是不守恒的。1、牛顿第二定律与动量守恒、牛顿第二定律与动量守恒小小 结结2、动量定理的微分形式、动量定理的微分形式3、动量定理的积分形式、动量定理的积分形式I质点系的冲量质点系的冲量理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理5、解题步骤与技
29、巧、解题步骤与技巧(1) 根据题目已知条件和未知量,正确选取研究对象正确选取研究对象;(2) (2) 分析质点所受的全部外力分析质点所受的全部外力, ,画受力图画受力图, ,并根据外力的特点并根据外力的特点, ,判断是否存在守恒情况判断是否存在守恒情况; ;(3) 根据具体的运动形式,选取适当的坐标系选取适当的坐标系;(4) 对系统进行运动分析运动分析,正确区分系统中各刚体的运动形式，以正确地写出任一瞬时或始末瞬时的运动量，计算质点的动量或质点系质心的加速度。并注意各运动量均应为相对惯性参考系的绝对运动量；(5) 列投影形式的动量定理投影形式的动量定理或质心运动定理质心运动定理方程求解，如果未知量大于独立方程的数目,还需要增加相应的补充方程补充方程(如运动学方程运动学方程)。4 4、质心运动定理、质心运动定理、质心运动定理、质心运动定理理理 论论 力力 学学河南理工大学力学系第十一章第十一章 动量定理动量定理作业作业(11)P215:习题：习题：11-1, 11-3, 11-5
