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1、2.3 连续型随机变量及其分布函数连续型随机变量及其分布函数 连续型随机变量连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间所有可能取值充满一个区间, 对这种类型的随机变量对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机变量不能象离散型随机变量那样那样, 以指定它取每个值概率的方式以指定它取每个值概率的方式, 去给出其去给出其概率分布概率分布, 而是通过给出所谓而是通过给出所谓“概率密度函数概率密度函数”的方式的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法方法.2.3.1 定义与基本概念定义与基本概念则称则称 X为连续型随机变量为连续型随机变量, 称称 f (x)
2、为为 X 的概率密度的概率密度函数，简称为概率密度函数，简称为概率密度 .连续型随机变量及其概率密度的定义连续型随机变量及其概率密度的定义有有,使得对任意使得对任意实数实数 , 对于随机变量对于随机变量 X 的分布函数的分布函数F(x), 如果存在非负如果存在非负可积函数可积函数 f (x) , 连续型随机变量的分布函数在连续型随机变量的分布函数在 上连续上连续概率密度的性质概率密度的性质1 o2 o面积为面积为1这两条性质是判定一个这两条性质是判定一个f(x)是否为某随机变量是否为某随机变量X 的的概率密度的充要条件概率密度的充要条件利用概率密度可确利用概率密度可确定随机点落在某个定随机点落
3、在某个范围内的概率范围内的概率对于任意实数对于任意实数 x1 , x2 , (x1 0, 有有 PX x0+ x | X x0=PX x该性质称为无记忆性该性质称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.例例3：某元件寿命（小时）服从：某元件寿命（小时）服从 的指数分的指数分布，某报警系统内装有个這樣的元件，已知，布，某报警系统内装有个這樣的元件，已知，他们独立工作，且若要系统正常工作，至少需要他们独立工作，且若要系统正常工作，至少需要不少于个元件正常工作，求该系统能正常工作不少于个元件正常工作，求该系统能正常工作10001000小时的概
4、率。小时的概率。3. 正态分布正态分布 (Normal Distribution) 若连续型随机变量若连续型随机变量 X 的的概率密度为概率密度为记作记作其中其中 和和 ( 0 )都是常数都是常数, 则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布或高斯分布的正态分布或高斯分布. 函数函数 在在 上单调增加上单调增加, ,在在 上上单调减少单调减少, ,在在 取得最大值；取得最大值；这表明对于同样长度这表明对于同样长度的区间的区间, 当区间离当区间离 越远越远, X 落在这个区间上的概率越落在这个区间上的概率越小小.曲线曲线 关于关于 轴对称；轴对称；(6)在在x = m m s s 处曲线有
5、拐点处曲线有拐点. 曲线以曲线以Ox 轴为轴为渐近线渐近线.f (x) 以以 x 轴为渐近线轴为渐近线当当x 时，时，f(x) 0. . 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰决定了图形中峰的陡峭程度的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的的概率密度曲线概率密度曲线图形特点图形特点 设设 X ,X 的分布函数是的分布函数是正态分布正态分布 的分布函数的分布函数 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯一确定，唯一确定， 当当和和不同时，是不同的正态分布。不同时，是不同的正态分布。一种最重要的正态分布标准正态分布一种最重要的正态分布标准正态分布的正态分布称为标准正态
6、分布，的正态分布称为标准正态分布，记作其密度函数和分布函数常用记作其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：性质性质 :（），因此，为偶函数，（），因此，为偶函数，图形关于轴对称图形关于轴对称, x轴为曲线的水平渐近线；轴为曲线的水平渐近线；当当x0时，有最大值时，有最大值 当时，曲线上对应拐点；当时，曲线上对应拐点； 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. .引理引理通常，若某个数量指标通常，若某个数量指标X是很多随机因素的和，是很多随机因素的和，而每个因素所
7、起的作用均匀微小，则而每个因素所起的作用均匀微小，则X为服从为服从正态分布的随机变量。如：大量生产某产品，正态分布的随机变量。如：大量生产某产品，当设备、技术、原料、操作等可控制生产条件当设备、技术、原料、操作等可控制生产条件都相对稳定且不存在产生系统误差的明显因素，都相对稳定且不存在产生系统误差的明显因素，则产品的质量指标近似服从正态分布；则产品的质量指标近似服从正态分布；注意：正态分布也是许多概率分布的极限分布。注意：正态分布也是许多概率分布的极限分布。如如XB(n,p)，n充分大，充分大，p不是很小时，不是很小时，X近似服近似服从从N(np,npq),则则 书末附有标准正态分布函数数值表
8、，有了它，可书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表以解决一般正态分布的概率计算查表. .正态分布表正态分布表当当 x 0 时时, (x)的值的值.若若若若 XN(0,1),N(0,1) 则则例例4 设设XN(0,1),求求P1X2.例例5 设设XN(2.3,4), 求求P2Xxz a a =a a,0a a1,则称点则称点 z a a 为标准正态分布的上为标准正态分布的上a a 分位点分位点.由由 j j (x) 的对称性知的对称性知 z1- -a a= -= -z a aa a0.0010.0050.010.0250.050.10za a3.0902.5762.3271.9601.6451.282za aa a
