《高中数学-情境互动课型--集合与函数的概念-132-奇偶性-时-习题课——函数奇偶性的应用课件-新》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学-情境互动课型--集合与函数的概念-132-奇偶性-时-习题课——函数奇偶性的应用课件-新（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 函数奇偶性的应用 生活中有很多美好的东西，上面的这两个图片美在什生活中有很多美好的东西，上面的这两个图片美在什么地方呢？而具有奇偶性的函数图象都很美，它们又么地方呢？而具有奇偶性的函数图象都很美，它们又有哪些性质呢？有哪些性质呢？1.1.进一步理解函数的单调性和奇偶性的概念及具有奇进一步理解函数的单调性和奇偶性的概念及具有奇偶性的函数的图象特征；偶性的函数的图象特征；2.2.能够根据函数的奇偶性求函数解析式；能够根据函数的奇偶性求函数解析式；( (难点）难点）3.3.会根据函数的奇偶性判断函数的单调性会根据函数的奇偶性判断函数的单调性. .（重点）（重点）探究点探究点1 1 根据函数
2、奇偶性画函数图象根据函数奇偶性画函数图象 偶函数的图象关于偶函数的图象关于y y轴对称，如果能够画出偶函数在轴对称，如果能够画出偶函数在y y轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数在轴一侧的图象，则根据对称性就可补全该函数在y y轴另轴另一侧的图象一侧的图象. . 奇函数的图象关于坐标原点对称，如果能够画出函奇函数的图象关于坐标原点对称，如果能够画出函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补全该函数在坐标原点一侧的图象，则根据对称性可以补全该函数在原点另一侧的图象数在原点另一侧的图象. . 已知已知f(x)f(x)是偶函数，是偶函数，g(x)g(x)是奇函数，试将下图是奇函数，试将下图补充
3、完整。补充完整。【即时训练】【即时训练】解：解：例例1.1.画出下列函数的图象画出下列函数的图象（1 1）（2 2）分析分析：（1 1）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数）根据函数奇偶性的定义，不难知道函数是偶函数，这样只要画出了在是偶函数，这样只要画出了在x0x0时的函数图象就时的函数图象就可以根据对称性画出函数在可以根据对称性画出函数在x0x0时的图象时的图象. .（2 2）函数是奇函数，同样根据对称性解决）函数是奇函数，同样根据对称性解决. .解解：（1 1）当）当 时，时，其图象是以点其图象是以点(1,-1)(1,-1)为顶点，开口向上的抛物线，为顶点，开口向上的抛物线，与与x x轴的
4、交点坐标是轴的交点坐标是(0,0)(2,0).(0,0)(2,0).此时函数图象在此时函数图象在y y轴右轴右半部分如图所示：半部分如图所示：根据函数图象的对称根据函数图象的对称性得到整个函数的图性得到整个函数的图象，如图象，如图. .（2 2）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（）函数是奇函数，可以证明这个函数在区间（0 0，11上上单调递减，在区间（单调递减，在区间（1 1，+）上单调递增，且在（）上单调递增，且在（0 0，+）上函数值都是正值，函数在（）上函数值都是正值，函数在（0 0，+）上的最小值为）上的最小值为2.2.（这些都可以根据函数单调性的定义进行证明）（这些都可以根据函数
5、单调性的定义进行证明）根据函数在（根据函数在（0 0，+）上的性）上的性质，作出函数质，作出函数的的图象，如图第图象，如图第一象限内部分一象限内部分. .根据奇函数图象关于坐标原根据奇函数图象关于坐标原点对称画出这整个函数的图点对称画出这整个函数的图象，如图。象，如图。设奇函数设奇函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为-5,5-5,5 ，当，当xx0,50,5 时，时，函数函数y=f(x)y=f(x)的图象如图所示，的图象如图所示，（1 1）作出函数在）作出函数在-5,0-5,0 上的图象上的图象. .（2 2）求使函数）求使函数y y0 0的的x x的取值范围的取值范围. .【变式练习】【
6、变式练习】解解：利用奇函数图象的性质，画出函数在利用奇函数图象的性质，画出函数在 5,05,0上的上的图象，直接从图象中读出信息图象，直接从图象中读出信息由原函数是奇函数，所以由原函数是奇函数，所以y yf(x)f(x)在在 5,55,5上的图象上的图象关于坐标原点对称，由关于坐标原点对称，由y yf(x)f(x)在在0,50,5上的图象，知上的图象，知它在它在 5,05,0上的图象，如图所示由图象知，使函数上的图象，如图所示由图象知，使函数值值y0y0的的x x的取值范围为的取值范围为( (2,0)(2,5)2,0)(2,5)探究点探究点2 2 根据函数的奇偶性求函数解析式根据函数的奇偶性求
7、函数解析式例例2.2.已知函数已知函数f(x)f(x)在（在（0,+0,+）上的解析式是）上的解析式是f(x)=2x+1f(x)=2x+1，根据下列条件求函数在（，根据下列条件求函数在（-，0 0）上）上的解析式的解析式. .（1 1）f(x)f(x)是偶函数；是偶函数；（2 2）f(x)f(x)是奇函数是奇函数. .分析：分析：求函数求函数f(x)f(x)在在(-(-，0 0）上的解析式，就是求）上的解析式，就是求当当 时，如何用含时，如何用含x x的表达式表示的表达式表示f(x).f(x).能够利用的已知条件是函数在（能够利用的已知条件是函数在（0 0，+）上的函数解析式，）上的函数解析式
8、，这样就要把（这样就要把（-，0 0）上的自变量转化到（）上的自变量转化到（0 0，+）上的）上的自变量自变量. .根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义根据偶函数、奇函数的定义，具备奇偶性的函数在定义域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函域的对称区间上的函数值是符合奇偶性定义的，对偶函数就是数就是f(x)=f(-x)f(x)=f(-x)，这样当，这样当 时，时， ，而在（而在（0 0，+）上的函数解析式是已知的）上的函数解析式是已知的. .对奇函数同对奇函数同样处理样处理. .解：解：（1 1）当函数）当函数f(x)f(x)是偶函数时，满足是偶函数时，满足f(x)=f(-
9、x)f(x)=f(-x)，当当 时，时， ，所以，当所以，当 时，时，(2)(2)当函数当函数f(x)f(x)是奇函数时，满足是奇函数时，满足f(x)=-f(-x).f(x)=-f(-x).当当 时，时， ，所以，当所以，当 时，时，已知已知y yf(x)f(x)是定是定义在在R R上的奇函数，当上的奇函数，当x0x0时，f(x)f(x)x x2 22x2x，则f(x)f(x)在在R R上的表达式上的表达式为_所以所以所以所以所以所以【变式练习】【变式练习】探究点探究点3 3 利用函数的奇偶性研究函数的单调性利用函数的奇偶性研究函数的单调性回顾例回顾例1 1中两个函数的图象中两个函数的图象从第
10、（从第（1 1）个函数图象上可以看出函数在定义域关于）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函原点对称的区间上的单调性恰好相反，这也是偶函数的单调性的一般规律数的单调性的一般规律. .从第（从第（2 2）个函数图象上可以看出函数在定义域关于）个函数图象上可以看出函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性，这也是奇函原点对称的区间上具有相同的单调性，这也是奇函数的单调性的一般规律数的单调性的一般规律. .例例3.3.已知函数已知函数f(x)f(x)是奇函数，且在（是奇函数，且在（0 0，+）上是减）上是减函数，证明函数在（函数，证明函数在（-，0 0
11、）上也是减函数）上也是减函数. .分析：分析：根据证明函数单调性的一般步骤，先在根据证明函数单调性的一般步骤，先在(-(-，0)0)上取值，然后作差，通过函数是奇函数把函数在上取值，然后作差，通过函数是奇函数把函数在(-(-，0)0)上的函数值转化到（上的函数值转化到（0 0，+）上的函数值，）上的函数值，再根据函数在（再根据函数在（0 0，+）上是减函数，确定所作的）上是减函数，确定所作的差的符号，最后根据函数单调性的定义得到证明的差的符号，最后根据函数单调性的定义得到证明的结论结论. .所以所以-f(x-f(x1 1)+f(x)+f(x2 2)0 )0.)0.证明：证明：在（在（-，0 0
12、）上任取）上任取x x1 1x-x-x2 200因为函数在（因为函数在（0 0，+）上是减函数，所以）上是减函数，所以由于函数由于函数f(x)f(x)是奇函数，所以是奇函数，所以根据减函数的定义，函数根据减函数的定义，函数f(x)f(x)在（在（-，0 0）上是减）上是减函数函数. .函数的单调性与奇偶性的关系函数的单调性与奇偶性的关系(1)(1)若若f(x)f(x)是奇函数是奇函数, ,则则f(x)f(x)在定义域关于原点对称的在定义域关于原点对称的区间上单调性一致区间上单调性一致; ;若若f(x)f(x)是偶函数是偶函数, ,则则f(x)f(x)在定义域在定义域关于原点对称的区间上单调性相
13、反关于原点对称的区间上单调性相反. .(2)(2)奇函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相反奇函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相反, ,且互为相反数且互为相反数; ;偶函数在定义域关于原点对称的区间上偶函数在定义域关于原点对称的区间上的最值相等的最值相等. .【总结总结提升】提升】设设f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，上的奇函数，f(1)=2,f(1)=2,且且f(x+1)=f(x+6),f(x+1)=f(x+6),那么那么f(10)+f(4)f(10)+f(4)的值为的值为_._.【解析】【解析】因为因为f(x)f(x)为奇函数，为奇函数，f(1)=2,f(x+1)=
14、f(x+6),f(1)=2,f(x+1)=f(x+6),所以所以f(0)=0,f(-1)=-2,f(10)=f(5)=f(0)=0,f(0)=0,f(-1)=-2,f(10)=f(5)=f(0)=0,f(4)=f(-1)=-2,f(4)=f(-1)=-2,故故f(10)+f(4)=-2.f(10)+f(4)=-2.答案：答案：-2-2【变式练习】【变式练习】例例4 4：若：若f(x)f(x)是偶函数，其定义域为是偶函数，其定义域为(-,+)(-,+)，且，且在在0,+)0,+)上是减函数，则上是减函数，则 与与 的的大小关系是大小关系是_._.【分析】【分析】要比较各函数值的大小，需将要比较的
15、自变要比较各函数值的大小，需将要比较的自变量的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较量的值化到同一单调区间上，然后再根据单调性比较大小大小. .【解】【解】因为因为又因为又因为f(x)f(x)在在0,+)0,+)上是减函数上是减函数, ,所以所以又因为又因为f(x)f(x)是偶函数，所以是偶函数，所以所以所以【答案】【答案】函数函数f(x)f(x)是偶函数，且在是偶函数，且在( (，00上上为增函数，增函数，试比比较f(f(2)2)与与f(1)f(1)的大小的大小解析：解析：因为因为f(x)f(x)是偶函数，是偶函数，所以所以f(1)f(1)f(f(1),1),又因为又因为f(x)f(x)
16、在在( (，00上为增函数，上为增函数，2 21 1，所以所以f(f(2)2)f(f(1)1)f(1)f(1)，即即f(f(2)2)f(1).f(1).【变式练习】【变式练习】解析：解析：由偶函数定义，由偶函数定义，f(f(x)x)f(x)f(x)知，知，f(x)f(x)x x2 2，f(x)f(x)x x2 2是偶函数，是偶函数，又在又在(0(0，)上是减函数，上是减函数，f(x)f(x)x x2 2符符合条件，故选合条件，故选B.B.B BD【提示】【提示】由函数由函数y=fy=f（x+6x+6）为偶函数，图象关于）为偶函数，图象关于y y轴轴对称可得函数对称可得函数y=fy=f（x x）
17、的图象关于）的图象关于x=6x=6对称，由函数对称，由函数f f（x x）在（）在（6 6，+）上为减函数，可得在（）上为减函数，可得在（-，6 6）上为增函数，从而可判断上为增函数，从而可判断. .3.3.定义域为定义域为R R的函数的函数f f（x x）在（）在（6 6，+）上为减函数）上为减函数且函数且函数y=fy=f（x+6x+6）为偶函数，则（）为偶函数，则（）A Af f（4 4）f f（5 5）B Bf f（4 4）f f（7 7）C Cf f（5 5）f f（8 8）D Df f（5 5）f f（7 7）C C5.5.已知函数已知函数f f（x x）是定义在）是定义在-4-4，
18、44上奇函数，且上奇函数，且在在-4-4，44上单调递增若上单调递增若f f（a+1a+1）+f+f（a-3a-3）0 0，求实数，求实数a a的取值范围的取值范围【解析】【解析】因为函数因为函数f f（x x）是定义在）是定义在-4-4，44上的奇上的奇函数，且在函数，且在-4-4，44上单调递增若上单调递增若f f（a+1a+1）+ +f f（a-3a-3）0 0，则，则f f（a+1a+1）f f（3-a3-a），），解得解得-1-1a a1.1.两个性质：两个性质：函函数数的的奇奇偶偶性性综综合合应应用用一种题型：一种题型：1.1.奇函数在定义域关于原点对称的区间上具有奇函数在定义域关于原点对称的区间上具有相同的单调性；相同的单调性；偶函数则在定义域关于原点对称的区间上具有偶函数则在定义域关于原点对称的区间上具有相反的单调性；相反的单调性；2.2.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称关于轴对称具备奇偶性的函数，已知某一区间上的解析式可求函具备奇偶性的函数，已知某一区间上的解析式可求函数在其关于原点对称的区间上的解析式数在其关于原点对称的区间上的解析式但凡人能想象到的事物，必定有人能将它实现。凡尔纳
