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1、黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校9/17/2024黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校教学目标：教学目标：等差数列的定义、通项公式、性质的理解等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用与应用教学重、难点：教学重、难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题相关问题黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校一、复习提问：一、复习提问：1等差数列：等差数列：anan-1=d(n2，nN+)2等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：(1)an=a1+(n-1)d (2)an=am+(n-m)d (3)an=pn+q(p、q是常数是常数)3有几种方法
2、可以计算公差有几种方法可以计算公差d黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校6.在等差数列在等差数列an中中a1+an = a2+ an-1= a3+ an-2=黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校练习练习 已知一个无穷等差数列的首项为已知一个无穷等差数列的首项为a1，公差为公差为d：(1)将数列中的前将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？公差分别是多少？(2)取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个
3、数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？别是多少？(3)取出数列中所有项数为取出数列中所有项数为7的倍数的各项，组成一个的倍数的各项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？首项和公差分别是多少？解解:(1)是是.首项为首项为am+1.公差为公差为d(2)是是.首项为首项为a1.公差为公差为2d(3)是是.首项为首项为a7.公差为公差为7d黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校例例1 1四个数成等差数列，其四个数的平方和四个数成等差数列，其四个数的平方和
4、为为9494，第一个数与第四个数的积比第二个数，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少与第三个数的积少1818，求这四个数，求这四个数 解析：解析：本题重点在设元的技巧，本题重点在设元的技巧， 如三个数成等差数列，可设这三个数为如三个数成等差数列，可设这三个数为a-d, a, a+d 如四个数成等差数列，可设这四个数为如四个数成等差数列，可设这四个数为a-3d, a-d, a+d, a+3d 这样设具有对称性，给运这样设具有对称性，给运算带来很大方便算带来很大方便例题讲解例题讲解 黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校 例例1 1四个数成等差数列，其四个数的平方和四个数成等差数列，
5、其四个数的平方和为为9494，第一个数与第四个数的积比第二个数，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少与第三个数的积少1818，求这四个数，求这四个数解：设这四个数为解：设这四个数为a-3d, a-d, a+d, a+3d依题意有依题意有解得解得所以这四个数为：所以这四个数为：-8-8，-5-5，-2-2，1 1或或-l-l，2 2，5 5，8 8或或1 1，-2-2，-5-5，-8-8或或8 8，5 5，2 2，-l黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校例例2. 2. 两两个个等等差差数数列列5,8,11,5,8,11, ,和和3,7,11,3,7,11,都都有有100100项项
6、，求：这两个数列相同项的个数求：这两个数列相同项的个数解法一：已知两个等差数列解法一：已知两个等差数列an:5，8，11，公差为公差为3,an n=5+(n=5+(n1)1)3=3n+23=3n+2bn:3，7，11，公差为公差为4,4,b bn n=3+(n=3+(n1)1)4=4n-14=4n-1假设假设 an n 的第的第n n项与项与 b bn n 的第的第k k项相同，项相同， 即即 an n= =b bk k 则则 3n+2=43n+2=4k k1 1 n nNN* * k k必是必是3 3的倍数的倍数 k k=3,6, 9, 12,=3,6, 9, 12, ,组成新的等差数列组成
7、新的等差数列 c cn n 而相应的而相应的 n=3,7,11,n=3,7,11, ,组成新的等差数列组成新的等差数列 d dn n 即即 a a3 3= =b b3 3, , a a7 7= =b b6 6, , a a1111= =b b9 9, , a a1515= =b b1212，黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校又因为这两个数列最多只有又因为这两个数列最多只有100项，所以项，所以:又又nN*这两个数列共有这两个数列共有25项相同。项相同。黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校解解法法二二:已已知知两两个个等等差差数数列列an：5，8，11，和和bn：3,7,11,则通项公
8、式分别是则通项公式分别是an=5+(n1)3bn=3+(n1)4观察观察：5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,41,3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,例例2.两两个个等等差差数数列列5,8,11,和和3,7,11,都都有有100项，求：这两个数列相同项的个数项，求：这两个数列相同项的个数黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校因此，这两个数列相同项组成一个首项因此，这两个数列相同项组成一个首项c1=11,公差公差d=12的等差数列的等差数列cn又又a100=5+(1001)3=302b100=3+(1001)4=399因为
9、，相同的项不大于因为，相同的项不大于a100和和b100中的较小者，中的较小者，所以，所以，cn=11+(n1)12302又又nN*故这两个数列中相同的项共有故这两个数列中相同的项共有25个。个。黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校 例例3.3.巳知巳知: :一一 直角三角形三条边长度成等差数直角三角形三条边长度成等差数列列 , ,求证求证: :它们的比为它们的比为3:4:5.3:4:5.将成等差数列的三条边之长按从小到大排列将成等差数列的三条边之长按从小到大排列. 证证 法法1:1:设三边之长分别为设三边之长分别为:a,a+d,a+2d(a0,d0) 则由勾股定理可得则由勾股定理可得a+
10、(a+d)=(a+2d)化化简简得得a-2ad-4d=0,解得解得a=3d,或或a=-d(舍去舍去)a+d=4d,a+2d=5d三三边边之比之比为为3:4:53.2.33.2.3等差数列（三）等差数列（三）黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校证法证法2:2: 设三边之长分别为设三边之长分别为a-d,a,a+d(a-d0,d0) 同证法同证法1同理可得同理可得(a-d)+a=(a+d)立即可得立即可得a=4d三边之长分别为三边之长分别为3d,4d,5d.三三边之比为边之比为3:4:5.黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校证法证法3 3: 启启 发发: :三个数成等差数列且它们的和为一定值
11、三个数成等差数列且它们的和为一定值可设这三个数分别为可设这三个数分别为a-d,a,a+d; 设三边之长分别为设三边之长分别为x,y(yx0)同证法一同理可得同证法一同理可得x+()=y黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校例例4.设设2a=3，2b=6，2c=12，问数列问数列a、b、c成等成等差数列吗？如果是，请证明，并指出公差是差数列吗？如果是，请证明，并指出公差是多多少少?如果不是，请说明理由。如果不是，请说明理由。答：数列答：数列a、b、c成等差数列成等差数列证明：由证明：由2a=3，2b=6，2c=12得得:a=log23，b=log26,c=log212,于是于是b=1+log2
12、3，c=2+log23(1+log23)log23=(2+log23)(1+log23)=1即即ba=cb数列数列a、b、c成等差数列成等差数列,公差是公差是1黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校例例5.等差数列等差数列an中中,已知已知a1023.(1)若若a2522，问此数列从第几项开始为负问此数列从第几项开始为负？(2)若数列从第若数列从第17项起各项均为负，求公差项起各项均为负，求公差d的的取值范围。取值范围。黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校练习练习1 1已知等差数列的通项公式为已知等差数列的通项公式为an n=11-2n,=11-2n,从哪从哪一项开始它的项为负数一项开始它的项为负数? ?2 2等差数列等差数列 an n 中，已知中，已知 求求a4 4和和d d 3.已知已知: lga，lgb，lgc 与 lgalg2b， lg2blg3c，lg3clga都是等差数列都是等差数列. 求求a：b：c.黄冈中学网校达州分校黄冈中学网校达州分校书面作业书面作业课堂练习课堂练习练习练习5习题习题3.210.11思考思考:
