《正态总体的抽样分布课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正态总体的抽样分布课件（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、正态总体的抽样分布正态总体的抽样分布一、样本均值分布一、样本均值分布定理定理 设总体设总体是是X X的样本。的样本。样本均值样本均值（标准化）标准化）记为记为分布分布二、二、1.1.定义定义: : 设随机变量设随机变量相互独立相互独立, ,都服从都服从标准正态分布标准正态分布N N(0,1), (0,1), 则称统计量：则称统计量：所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n n 的的分布分布. .注注: : 自由度是指自由度是指* *右端所含独立的随机变量的个数。右端所含独立的随机变量的个数。分布的密度函数为分布的密度函数为来定义来定义. .通过积分通过积分其中伽玛函数其中伽玛函数 2
2、2分布的分布的密度函数曲线密度函数曲线由由 分布的定义，不难得到：分布的定义，不难得到：且且X X1 1 , , X X2 2相互独立，相互独立，这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性. .(2) (2) 设设则则2. 2. 2. 2. 2 2 2 2分布的分布的分布的分布的性质性质性质性质应用中心极限定理可得，若应用中心极限定理可得，若则当则当n n充分大时，充分大时，的分布近似正态分布的分布近似正态分布 N N (0,1).(0,1).(3)(3)对于给定的正数对于给定的正数称称满足条件的点满足条件的点为为分位点分位点. .分布的分布的上上(4) (4) 分布分布的分位点的分位点P
3、443分布表供查阅。分布表供查阅。例例即即对于给定的对于给定的称称满足条件满足条件的点的点为为分布的分布的“上上百分位点百分位点”上侧上侧分位分位点。点。双侧双侧分位分位点。点。当当时时下侧下侧分位点分位点双侧双侧分位点分位点分布的下侧分布的下侧分位分位点。点。相互独立相互独立, , 都服从正态分布都服从正态分布则则问题问题 设设为什么？为什么？例例2 设总体设总体XN（0，0.32）, n =10,求求解解 X/0.3N（0，1），），T的密度函数为：的密度函数为：记为记为Tt(n).所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n的的 t 分布分布.1. 定义定义:设设 XN(0,1) ,
4、Y则称变量则称变量, 且且 X 与与 Y 相互独立，相互独立，三、三、三、三、t t 分布分布分布分布t(n) t(n) 的概率密度为的概率密度为（1 1）具有自由度为）具有自由度为 n n 的的 t t 分布的随机变量分布的随机变量 T T 的的当当n n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度充分大时，其图形类似于标准正态分布密度（2 2）t t 分布的密度函数关于分布的密度函数关于 x x = 0 = 0 对称，且对称，且数学期望和方差为数学期望和方差为: : E E( ( T T ) = 0; ) = 0; D D( ( T T ) = ) = n n / ( / ( n n - 2 )
5、 , - 2 ) , 对对 n n 2 2 函数的图形函数的图形. .很大很大. .不难看到，当不难看到，当n n充分大时，充分大时，t t 分布近似分布近似N N (0,1)(0,1)分布分布. . 但对于较小的但对于较小的n n， t t分布与分布与N N (0,1)(0,1)分布相差分布相差2. 2. 2. 2. 性质性质性质性质 对于给定的正数对于给定的正数称称满足条件满足条件的点的点为为百分位点百分位点”。分布的分布的“上上例例查查t t 分布表，附表分布表，附表3 33 3 3 3 、 t t t t 分布分布分布分布的分位点的分位点的分位点的分位点取取取取当当时时 分布上侧分布上
6、侧分位点分位点 分布下侧分布下侧分位点分位点 分布双侧分布双侧分位点分位点t t的分布的双侧的分布的双侧分位点为满足分位点为满足若若X F (n1,n2)， X的概率密度为的概率密度为1.1.定义定义: : 设设X X与与Y Y相互独立，相互独立，则称统计量则称统计量服从自由度为服从自由度为n n1 1及及 n n2 2 的的F F分布，分布，四、四、四、四、F F F F分布分布分布分布n n1 1称为第一自由度，称为第一自由度，n n2 2称为第二自由度，称为第二自由度，记作记作 F F (n1,n2).即它的数学期望并不依赖于第一自由度即它的数学期望并不依赖于第一自由度n n1.1.(2
7、) (2) X X的数学期望为的数学期望为: :若若 n n2 2 2 2(1) (1) 由定义可见，由定义可见， F( n2, n1)2. 2. 性质性质(3) (3) F F 分布分布的分位点的分位点对于给定的正数对于给定的正数称称满足条件满足条件的点的点为为分位点。分位点。分布的上分布的上 关于关于 F F 分布分布分位点的重要结论分位点的重要结论表中所给的表中所给的都是很小的数，如都是很小的数，如0.01，0.05等等当当表中查不出，可由以上结论表中查不出，可由以上结论较大时，如较大时，如0.95，休息片刻休息片刻 定理定理 1 (1 (样本均值的分布样本均值的分布) )设设 X X1
8、 1, ,X X2 2,X Xn n 是是取自正态总体取自正态总体则有则有的样本，的样本，N N 取不同值时样本均值取不同值时样本均值 的分布的分布四、几个重要的抽样分布定理四、几个重要的抽样分布定理四、几个重要的抽样分布定理四、几个重要的抽样分布定理设设 X X1 1, , X X2 2, , , , X Xn n 是是取自正态总体取自正态总体分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差, ,则有则有的样本的样本, ,N N 取不同值时取不同值时的分布的分布定理定理定理定理 2 (2 (2 (2 (样本方差的分布样本方差的分布样本方差的分布样本方差的分布) ) ) )例题分析例题分析例题
9、分析例题分析 设设 X X1 1, , X X2 2 , , X Xn n 是是取自正态总体取自正态总体的样本的样本, ,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差, , 则有则有（与样本均值和样本方差有关（与样本均值和样本方差有关 的一个分布）的一个分布）当当则由则由t-t-分布的定义：分布的定义：且它们独立。且它们独立。定理定理定理定理 3 3 3 3Y N (2,2 2) ： Y1，Y2，,Yn2 ，它们相互独立，它们相互独立，则则若若 X N (1,12) ： X1，X2，,Xn1（1）4. 4. 两个正态总体两个正态总体两个正态总体两个正态总体 定理定理3 3 ( (两总体样本
10、均值差的分布两总体样本均值差的分布) ) 分别是这两个样本的样本分别是这两个样本的样本且且 X X 与与Y Y 独立独立, ,X X1 1, ,X X2 2,是取自是取自X X的样本的样本, ,取自取自Y Y的样本的样本, ,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差, ,均值均值, ,则有则有Y Y1 1, ,Y Y2 2,是是 定理定理 3 3 ( (两总体样本方差比的分布两总体样本方差比的分布) ) 分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X X与与Y Y独立独立, ,X X1 1, , X X2 2,是取自是取自X X的样本的样本, ,取自取自Y Y的样本的样本, ,分别是这
11、两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差, ,均值，均值，则有则有Y Y1 1, ,Y Y2 2,是是样本样本设设 X: X1，X2，Xn1. 2.若若 XN（0，1），），则则两个最常用统计量及三大分布的定义两个最常用统计量及三大分布的定义两个最常用统计量及三大分布的定义两个最常用统计量及三大分布的定义Y N (2,2 2) ： Y1，Y2，,Yn2 ，它们相互独立，它们相互独立，则则若若 X N (1,12) ： X1，X2，,Xn1（1）（2）当当12 =22 =2时，时，两个正态总体两个正态总体两个正态总体两个正态总体 （3）设设X1,X2,X3,X4是总体是总体N（0，1）的样本
12、，则：的样本，则：请回答：请回答：例题分析例题分析例题分析例题分析设设X1,X2,X3,X4是总体是总体例题分析例题分析例题分析例题分析例题分析例题分析请回答请回答请请回回答答：设设总总体体XN（，2），X1，X2，X8为为一个样本，则（一个样本，则（ ）成立。）成立。(2) t (7)（1） t (8)(4) t (8)(3) t (7) 请回答请回答：设：设 是来自正态总体是来自正态总体N(N(，2 2）的样本，的样本， 是样本均值，记是样本均值，记则服从自由度为则服从自由度为 n-1 n-1 的的 t t 分布的随机变量是分布的随机变量是 练习练习练习练习练习练习练习练习练习练习练习练习练习练习练习练习
