第九章概率模型

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1、第九章第九章 概率模型概率模型9.1 传送系统的效率传送系统的效率9.2 报童的诀窍报童的诀窍9.3 随机存贮策略随机存贮策略9.4 轧钢中的浪费轧钢中的浪费9.5 随机人口模型随机人口模型阐醇冬肺定馆蒋志蕉徊戊围钨多羞谨帜颐两稿谊陀塌赘施郭果秃袱耪盅市第九章概率模型第九章概率模型确定性因素和随机性因素确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素可以忽略随机因素影响可以简单随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑随机因素影响必须考虑概率模型概率模型统计回归模型统计回归模型马氏链模型马氏链模型随机模型随机模型确定性模型确定性模型随机性模型随机性模型途塌回

2、谣爸箭捕快肾版燎塔勺肚无下吹心海吱覆蔗社伏叔榨镊晨赦间劳郝第九章概率模型第九章概率模型传送带传送带挂钩挂钩产品产品工作台工作台工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走,若工工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩上运走,若工作台数固定,挂钩数量越多,传送带运走的产品越多。作台数固定,挂钩数量越多,传送带运走的产品越多。背背景景在生产进入稳态后,给出衡量传送带效在生产进入稳态后,给出衡量传送带效率的指标,研究提高率的指标,研究提高传送带效率传送带效率的途径的途径9.1 传送系统的效率传送系统的效率销荫俐刨争姆摸锦坎庭替页滴椭谭舒灾逾恿妻防凑里衍角蕉潭丧催贴蝴逾第九章概率模型第九章概率模型问题分

3、析问题分析 进入稳态后为保证生产系统的周期性运转,应假进入稳态后为保证生产系统的周期性运转,应假定工人们的定工人们的生产周期相同生产周期相同,即每人作完一件产品,即每人作完一件产品后,要么恰有空钩经过他的工作台,使他可将产后,要么恰有空钩经过他的工作台,使他可将产品挂上运走,要么没有空钩经过,迫使他放下这品挂上运走,要么没有空钩经过,迫使他放下这件产品并立即投入下件产品的生产。件产品并立即投入下件产品的生产。 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品总数的总数的比例比例,作为衡量传送带效率的数量指标。,作为衡量传送带效率的数量指标。 工人们生产周期虽然相

4、同,但稳态下每人生产工人们生产周期虽然相同,但稳态下每人生产完一件产品的时刻不会一致,可以认为是随机的,完一件产品的时刻不会一致,可以认为是随机的,并且在一个周期内并且在一个周期内任一时刻的可能性相同任一时刻的可能性相同。魂荐崔挨嫂遗杉辖色妇匀搬震谴邵蓝缕痕镍赔烤溶靖理仪划驼向诬追察俊第九章概率模型第九章概率模型模型假设模型假设1)n个工作台个工作台均匀排列,均匀排列,n个工人生产相互独立,个工人生产相互独立,生产周期是常数;生产周期是常数;2)生产进入稳态,每人生产完一件产品的时刻在)生产进入稳态,每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是一个周期内是等可能等可能的;的;3)一周期内)一周期内m

5、个均匀排列的挂钩个均匀排列的挂钩通过每一工作台通过每一工作台的上方,到达第一个工作台的挂钩都是空的;的上方,到达第一个工作台的挂钩都是空的;4)每人在生产完一件产品时都)每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只能且只能触到一只挂钩挂钩,若这只挂钩是空的,则可将产品挂上运走;,若这只挂钩是空的,则可将产品挂上运走;若该钩非空,则这件产品被放下,退出运送系统。若该钩非空,则这件产品被放下,退出运送系统。塑斩氨香埔肇信监陵降脊敏惹殷栈勺载宙疾厢韶拼纱蹦季谢卤巳单融减位第九章概率模型第九章概率模型模型建立模型建立 定义定义传送带效率传送带效率为一周期内运走的产品数(记作为一周期内运走的产品数(记作s,

6、待定)与生产总数待定)与生产总数 n(已知)之比,记作(已知)之比,记作 D=s /n 若求出一周期内每只挂钩非空的概率若求出一周期内每只挂钩非空的概率p,则,则 s=mp为确定为确定s s,从,从工人工人考虑还是从考虑还是从挂钩挂钩考虑,哪个方便?考虑,哪个方便? 设每只挂钩为空的概率为设每只挂钩为空的概率为q,则,则 p=1-q如如何何求求概概率率 设每只挂钩不被一工人触到的概率为设每只挂钩不被一工人触到的概率为r,则,则 q=rn 设每只挂钩被一工人触到的概率为设每只挂钩被一工人触到的概率为u,则,则 r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m1-(1-1/m)n/n一周期内有一

7、周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方个挂钩通过每一工作台的上方勇硕磷痉综擎撕浩疚欺铝村杂呛撇惧屑己捻真肿豁曲腕系癸疆性国剪专穗第九章概率模型第九章概率模型模型解释模型解释若若(一周期运行的一周期运行的)挂钩数挂钩数m远大于工作台数远大于工作台数n, 则则 传送带效率传送带效率(一周期内运走一周期内运走产品数与生产总数之比)产品数与生产总数之比)定义定义E=1-D (一周期内未运走产品数与生产总数之比)一周期内未运走产品数与生产总数之比)提高效率提高效率的途径:的途径: 增加增加m 习题习题1当当n远大于远大于1时时, E n/2m E与与n成正比,与成正比,与m成反成反比比若若n=10, m=

8、40, D 87.5% (89.4%)或云帧釉棚属苯蝶秀昧沼窟妈爸忙腕有佩袄蚤解恍馒您忻澈抢焰赂粘准餐第九章概率模型第九章概率模型9.2 报童的诀窍报童的诀窍问问题题报童售报:报童售报: a (零售价零售价) b(购进价购进价) c(退回价退回价)售出一份赚售出一份赚 a-b;退回一份赔;退回一份赔 b-c 每天购进多少份可使收入最大?每天购进多少份可使收入最大?分分析析购进太多购进太多卖不完退回卖不完退回赔钱赔钱购进太少购进太少不够销售不够销售赚钱少赚钱少应根据需求确定购进量应根据需求确定购进量每天需求量是随机的每天需求量是随机的优化问题的目标函数应是长期的日平均收入优化问题的目标函数应是长

9、期的日平均收入每天收入是随机的每天收入是随机的存在一个合存在一个合适的购进量适的购进量等于每天收入的期望等于每天收入的期望畴籽吻胀襄案刽酚骇苇姿徽孰洪冷希深类整菲邻民劫淖才睁器泌纳育栋钵第九章概率模型第九章概率模型建建模模 设每天购进设每天购进 n 份,份,日平均收入为日平均收入为 G(n)调查需求量的随机规律调查需求量的随机规律每天每天需求量为需求量为 r 的概率的概率 f(r), r=0,1,2准准备备求求 n 使使 G(n) 最大最大 已知售出一份赚已知售出一份赚 a-b;退回一份赔;退回一份赔 b-c拯热醚墙恿棠浊恭秽挞萧落届沸吵购湃章专秤陷暗斧骚疙宋力互聂赤僵糕第九章概率模型第九章概

10、率模型求解求解将将r视为连续变量视为连续变量瓷阎尿炒潜府腋玫帆脊蔫形刁血叭搞谰措沪瓶拖曰旬饭框牡消妨嚷鳞包矾第九章概率模型第九章概率模型结果解释结果解释nP1P2取取n使使 a-b 售出一份赚的钱售出一份赚的钱 b-c 退回一份赔的钱退回一份赔的钱0rp盅淘点宅泣蘑矣绳特坍札蕴磋拂萨艰荤伎儡脆阅熟帘莽趟陨害过枪聊泞嫩第九章概率模型第九章概率模型9.3 随机存贮策略随机存贮策略问问题题以周为时间单位;一周的商品销售量为随机;以周为时间单位;一周的商品销售量为随机;周末根据库存决定是否订货,供下周销售。周末根据库存决定是否订货,供下周销售。(s, S) 存贮策略存贮策略制订下界制订下界s, 上界上

11、界S,当周末库存小于,当周末库存小于s 时订货,时订货,使下周初的库存达到使下周初的库存达到S; 否则,不订货。否则,不订货。考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费,制订考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费,制订(s, S) 存贮策略存贮策略, ,使使( (平均意义下平均意义下) )总费用最小总费用最小疏太咕屁陇冈棘谤邯赴膀姆睦童稿钓谣滇履哑羽侄厌释刮瓷欣褥何酋乔益第九章概率模型第九章概率模型模型假设模型假设 每次订货费每次订货费c0, 每件商品购进价每件商品购进价c1,每件商品每件商品一周贮存费一周贮存费c2,每件商品缺货损失费每件商品缺货损失费c3 (c1c3) 每周销售量每周销售量 r 随机、

12、连续,概率密度随机、连续,概率密度 p(r) 周末库存量周末库存量x, 订货量订货量 u, 周初库存量周初库存量 x+u 每周贮存量按每周贮存量按 x+u-r 计计 泳屎卓敏喉化院李使凿蠕秤量咙嚣刑椎揭芭悯状二彼育抽箍茂幢腑堰匝晨第九章概率模型第九章概率模型建模与求解建模与求解(s, S) 存贮策略存贮策略确定确定(s, S), 使目标函数使目标函数每周总费用的平均值最小每周总费用的平均值最小平均平均费用费用 订货费订货费c0, 购进价购进价c1, 贮存费贮存费c2, 缺货费缺货费c3, 销售量销售量 r s 订货点,订货点, S 订货值订货值钻丰阵泻息推篇命潦英涛诸幢剪蓬资答暗旱渤蛀盼冷痊审

13、雇权刃衣畦泅铁第九章概率模型第九章概率模型建模与求解建模与求解1)设)设 xs, 求求 u 使使 J(u) 最小,确定最小,确定S建模与求解建模与求解SP1P20rp惫恒郴说库茬瘴琅撇亨切靴瓜仅山去关怜瘤奥丁厨榜颇植概圣疽蓝沦贞迁第九章概率模型第九章概率模型2)对库存)对库存 x,确定订货点确定订货点s若订货若订货u, u+x=S, 总费用为总费用为 若不订货若不订货, u=0, 总费用总费用为为 订货点订货点 s 是是的最小正根的最小正根建模与求解建模与求解不订货不订货场牧备蛰鄂呢厉芭渣炙撤坎棍偷寥琅愧癣降解拐歌盆聪辅他熏纂壤船匿哥第九章概率模型第九章概率模型最小正根的最小正根的图解法图解法

14、J(u)在在u+x=S处达到最小处达到最小 x I(x) 0 S I(S) s I(S)+c0I(x)在在x=S处达到最小值处达到最小值I(S)I(x)图形图形建模与求解建模与求解J(u)与与I(x)相似相似I(S)的最小正根的最小正根 s卢镀病层晒赣佰商蟹傲吞萍啊俊车芬教蝗倾莱秉秸允玄宿己舔阿企咖圈惹第九章概率模型第九章概率模型9.4 轧钢中的浪费轧钢中的浪费轧制钢材轧制钢材两道工序两道工序 粗轧粗轧(热轧热轧) 形成钢材的雏形形成钢材的雏形 精轧精轧(冷轧冷轧) 得到钢材规定的长得到钢材规定的长度度粗轧粗轧钢材长度正态分布钢材长度正态分布均值可以调整均值可以调整方差由设备精度确定方差由设备

15、精度确定粗轧钢材长粗轧钢材长度大于规定度大于规定切掉多余切掉多余 部分部分粗轧钢材长粗轧钢材长度小于规定度小于规定整根报废整根报废随机因随机因素影响素影响精轧精轧问题:如何调整粗轧的均值,使精轧的浪费最小问题:如何调整粗轧的均值,使精轧的浪费最小背背景景翅冈降药蓄艰怠孔菲际怎型禄忆铰屈诀露购侍隙麦殴诱秒拥桶牟义肠警翁第九章概率模型第九章概率模型分析分析设已知精轧后钢材的规定长度为设已知精轧后钢材的规定长度为 l, 粗轧后钢材长度的均方差为粗轧后钢材长度的均方差为 记粗轧时可以调整的均值为记粗轧时可以调整的均值为 m,则粗轧得到的,则粗轧得到的钢材长度为正态随机变量,记作钢材长度为正态随机变量,

16、记作 xN(m, 2)切掉多余部切掉多余部分的概率分的概率整根报废整根报废的概率的概率存在最佳的存在最佳的m使总的浪费最小使总的浪费最小lP0p(概率密度概率密度)mxPmPP毫砍暖仅宛枢六粘烤褂寐勾兰狙焚窜漫沙裔崩曼敏蔑网硝胜缘尊幢戏蓄彤第九章概率模型第九章概率模型建模建模选择合适的目标函数选择合适的目标函数切掉多余部分切掉多余部分的浪费的浪费整根报废整根报废的浪费的浪费总浪费总浪费 =+粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧粗轧N根根成品材成品材 PN根根成品材长度成品材长度l PN总长度总长度mN共浪费长度共浪费长度 mN-lPN停杆兼姐霍承恿套迫袒炸谈板斥与跑估锻苫圈汽韦

17、低拌麓四此皋见磷绍邢第九章概率模型第九章概率模型选择合适的目标函数选择合适的目标函数粗轧一根钢材平均浪费长度粗轧一根钢材平均浪费长度得到一根成品材平均浪费长度得到一根成品材平均浪费长度更合适的目标函数更合适的目标函数优化模型:求优化模型:求m 使使J(m) 最小(已知最小(已知l , )建模建模粗轧粗轧N根得成品材根得成品材 PN根根臼涸犯趾羞厅洁从炭光疮烹敌颠眩砾倒算竿堑呵剖投捷阴铱垃砍酝泪臣陵第九章概率模型第九章概率模型求解求解求求 z 使使J(z) 最小(已知最小(已知 ) 洪效啄几廷菱仟滨缎轩订牛彝墟掺贷诅伏拦伤勤桥酸褥裂呢孟劝闺秆秦否第九章概率模型第九章概率模型求解求解游屉鸳明衣菊寞

18、静摇加恳梦罚挖箔隐厘贸猪勇必同单狮立守晦旅椎若襟忆第九章概率模型第九章概率模型例例设设l=2(米米), =20(厘米厘米),求,求 m 使浪费最小。使浪费最小。 =l/ =10z*=-1.78 *= -z*=11.78m*= * =2.36(米米)求解求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)1.02.00-1.0-2.0105F(z)z妹店石弗代碾下经巨钉潞嚏宫稿浮隘廷设则阑馅每滇擒游泥祟沟逝庞窒勋第九章概率模型

19、第九章概率模型9.5 随机人口模型随机人口模型背景背景 一个人的出生和死亡是随机事件一个人的出生和死亡是随机事件一个国家或地区一个国家或地区平均生育率平均生育率平均死亡率平均死亡率确定性模型确定性模型一个家族或村落一个家族或村落出生概率出生概率死亡概率死亡概率随机性模型随机性模型对象对象X(t) 时刻时刻 t 的人口的人口, 随机变量随机变量.Pn(t) 概率概率P(X(t)=n), n=0,1,2,研究研究Pn(t)的变化规律;得到的变化规律;得到X(t)的期望和方的期望和方差差章茶拓感刽跪吓日胖雁昧迈吻囱紧浇蚊侩深约孩领桥篮宵芭森韶辕准娩读第九章概率模型第九章概率模型若若X(t)=n, 对

20、对t到到t+ t的出生和死亡概率作以下假设的出生和死亡概率作以下假设1)出生一人的概率与出生一人的概率与 t成正比,记成正比,记bn t ;出生二人及二人以上的概率为出生二人及二人以上的概率为o( t).2)死亡一人的概率与死亡一人的概率与 t成正比,记成正比,记dn t ;死亡二人及二人以上的概率为死亡二人及二人以上的概率为o( t).3)出生和死亡是相互独立的随机事件。出生和死亡是相互独立的随机事件。 bn与与n成正比,记成正比,记bn= n , 出生概率出生概率;dn与与n成正比,记成正比,记dn= n, 死亡概率死亡概率。进一步假设进一步假设模型假设模型假设气成组这收镣虞寂纂吐淫受挽油

21、沿性血罐积蝴本桐睡烁奄驾组论禾顺仗咬第九章概率模型第九章概率模型建模建模为得到为得到Pn(t) P(X(t)=n),的变化规律,的变化规律,考察考察Pn(t+ t) =P(X(t + t)=n).事件事件X(t + t)=n的分解的分解X(t)=n-1, t内出生一人内出生一人X(t)=n+1, t内死亡一人内死亡一人X(t)=n, t内没有出生和死亡内没有出生和死亡其它其它(出生或死亡二人,出生或死亡二人,出生且死亡一人,出生且死亡一人, )概率概率Pn(t+ t) Pn-1(t), bn-1 t Pn+1(t), dn+1 t Pn(t), 1-bn t -dn t o( t)王伸肋场畦贾

22、钢肿窜啥罕疲熔匡户弊吝疥聂冶木捕闽楞墨臣熊现劫逢缓滔第九章概率模型第九章概率模型一组递推微分方程一组递推微分方程求解的困难和不必要求解的困难和不必要(t=0时已知人口为时已知人口为n0)转而考察转而考察X(t)的期望和方差的期望和方差bn= n,dn= n微分方程微分方程建模建模替丛赴驳咸铁蠢配膏奖足雾议脉抬臃戎蔫向美豺穆燥隆蔡期沼狞志仕坍匿第九章概率模型第九章概率模型X(t)的期望的期望求解求解基本方程基本方程n-1=kn+1=k俏疽虚樟俘船骨预妓迅幕沪灿贤罚肾倦先螟方诺历聊椭儡倒脊附芳禄咨栋第九章概率模型第九章概率模型求解求解比较:确定性指数增长模型比较:确定性指数增长模型X(t)的方差的方差E(t)- (t) - = r D(t) E(t)+ (t)Et0n0 , D(t) X(t)大致在大致在 E(t) 2 (t) 范围内(范围内( (t) 均方差)均方差)r 增长概率增长概率r 平均增长率平均增长率敬问赏颇河碳伊舍械舱用醛峭共卖绩哺堑燃争宠族坯溜赎瞄控湖柔爷姑阅第九章概率模型第九章概率模型

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