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1、二次函数图象和性质二次函数图象和性质1 1、二次函数的一般形式是怎样的？、二次函数的一般形式是怎样的？y=ay=ax x+b+bx x+c+c(a,b,c(a,b,c是常数是常数,a ,a 0)0)2.2.下列函数中下列函数中, ,哪些是二次函数？哪些是二次函数？你会用描点法画二次函数y=y=x x2 2的图象吗的图象吗? ?观察观察y=y=x x2 2的表达式的表达式, ,选择适当选择适当x x值值, ,并计算并计算相应的相应的y y值值, ,完成下表：完成下表：9 94 41 11 10 04 49 9xy0 0-4-3-2-11234108642-2描点描点, ,连线连线y= =x2 2
2、二次函数二次函数y=xy=x2 2的图象的图象形如物体抛形如物体抛射时所经过射时所经过的路线的路线, ,我我们把它叫做们把它叫做抛物线抛物线这条抛物线关于这条抛物线关于y y轴对称轴对称,y,y轴就轴就 是它的对称轴是它的对称轴. . 对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的顶点抛物线的顶点. 议一议议一议(2)图象与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x0呢？(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？观察图象,回答问题：x xy yO O(1)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点？当当x0 (x0 (x0 (在对称
3、轴的在对称轴的右侧右侧) )时时, y, y随着随着x x的增的增大而增大大而增大. . 当当x=-2x=-2时，时，y=4y=4当当x=-1x=-1时，时，y=1y=1当当x=1x=1时，时，y=1y=1当当x=2x=2时，时，y=4y=4抛物线抛物线y=xy=x2 2在在x x轴的轴的上方上方( (除顶点外除顶点外),),顶点顶点是它的最低点是它的最低点, ,开口开口向上向上, ,并且向上无限并且向上无限伸展伸展; ;当当x=0x=0时时, ,函数函数y y的值最小的值最小, ,最小值是最小值是0.0.(1)(1)二次函数二次函数y=-xy=-x2 2的图象是什么形状？的图象是什么形状？
4、做一做做一做你能根据表格中的数据作出你能根据表格中的数据作出猜想吗猜想吗？(2)(2)先想一想，然后作出它的图象先想一想，然后作出它的图象(3)(3)它与二次函数它与二次函数y=xy=x2 2的图象有什么关系？的图象有什么关系？在学中做在做中学做一做做一做xy0 0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点描点, ,连线连线y=-=-x2 2当当x0 (x0 (x0 (在对称轴在对称轴的右侧的右侧) )时时, y, y随着随着x x的增大而减小的增大而减小. . y 当当x= -2x= -2时时,y= -4,y= -4 当当x= -1x= -1时时,y= -,y= -1 1当当x
5、=1x=1时时,y= -1,y= -1当当x=2x=2时时,y=-4,y=-4抛物线抛物线y= -xy= -x2 2在在x x轴的轴的下方下方( (除顶点外除顶点外),),顶点顶点是它的最高点是它的最高点, ,开口开口向下向下, ,并且向下无限并且向下无限伸展伸展; ;当当x=0x=0时时, ,函数函数y y的值最大的值最大, ,最大值是最大值是0.0.画一画画一画 在同一坐标系中画出函数在同一坐标系中画出函数y=3xy=3x2 2和和y=-3xy=-3x2 2的图象的图象desmos演示1.1.抛物线抛物线y=axy=ax2 2的顶点是原的顶点是原点点, ,对称轴是对称轴是y y轴轴. .
6、2. 2.当当a0a0时，抛物线时，抛物线y=axy=ax2 2在在x x轴的上方轴的上方( (除顶点外除顶点外),),它它的开口向上的开口向上, ,并且向上无限伸展；并且向上无限伸展； 当当a0a0a0时时, ,在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而减小；在对的增大而减小；在对称轴右侧称轴右侧,y,y随着随着x x的增大而增大的增大而增大. .当当x=0x=0时函数时函数y y的值最小的值最小. . 当当a0a0时，在对称轴的左侧时，在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而增大；在对的增大而增大；在对称轴的右侧称轴的右侧,y,y随着随着x x增大而减小增大而减小, ,
7、当当x=0x=0时时, ,函数函数y y的值最大的值最大. .二次函数y=ax2的性质做一做做一做(1)(1)抛物线抛物线y=2xy=2x2 2的顶点坐标是的顶点坐标是 , ,对称轴是对称轴是 , ,在对称轴在对称轴 侧侧,y,y随着随着x x的增大而增大；在对称轴的增大而增大；在对称轴 侧侧,y,y随着随着x x的增大而减小的增大而减小, ,当当x=x= 时时, ,函数函数y y的值最的值最小小, ,最小值是最小值是 , ,抛物线抛物线y=2xy=2x2 2在在x x轴的轴的 方方( (除顶点外除顶点外).).(2)(2)抛物线抛物线 在在x x轴的轴的 方方( (除顶点外除顶点外),),在
8、对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的的 ；在对称轴的；在对称轴的右侧右侧,y,y随着随着x x的的 , ,当当x=0x=0时时, ,函数函数y y的值最大的值最大, ,最大最大值是值是 , ,当当x x 0 0时时,y0.,y0.解解:(1) :(1) 列表列表(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线1 1 2 2 3 3 4 4 5 5x x1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010y yo o-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5y=y=x x2 2画最简单的二次函数画最简单的二次函数 y y = = x x2 2 的图象的图象 你还记得描你还记
9、得描点法的一般步骤点法的一般步骤? ?列表时应注意列表时应注意什么问题？什么问题？ 描点法描点法描点法描点法列表列表描点描点连线连线描点时应以哪些数描点时应以哪些数值作为点的坐标？值作为点的坐标？连线时应注意连线时应注意什么问题？什么问题？ 二次函数二次函数 y = xy = x2 2的图象是一条曲线，它的形状类似于投的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做条曲线叫做抛物线抛物线 y = xy = x2 2 ，二次函数二次函数y = x y = x 2 2 的图象是轴对称的图象是轴对称图
10、形，图形，一般地，二次函数一般地，二次函数 y = axy = ax2 2 + bx + + bx + c c（a a0 0）的图象叫做）的图象叫做抛物线抛物线y = y = axax2 2 + bx + c + bx + c1 1 2 2 3 3 4 4 5 5x x1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010y yo o-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5抛物线抛物线 与它的对称轴的与它的对称轴的交点（交点（0 0，0 0）叫做抛物线）叫做抛物线 的顶点的顶点它是抛物线它是抛物线 的的最低点最低点实际上实际上, , 二次函数的图象都是二次函数的图象都是抛抛物线物线，对
11、称轴是对称轴是y y轴轴这条抛物线是轴对这条抛物线是轴对称图形吗？如果是，称图形吗？如果是，对称轴是什么？对称轴是什么？抛物线与对称抛物线与对称轴有交点吗？轴有交点吗？例例1.1.在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y y= = x x2 2和和y y=2=2x x2 2的图象的图象解解:(1):(1)列表列表(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线1 1 2 2 3 3 4 4 5 5x x1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010y yo o-1-1-2-2-3-3-4-4-5-51 12 28 82 20 02 28 81 12 28 8-2-
12、2-1-10 01 12 22 20 02 28 81 1 2 2 3 3 4 4 5 5x x1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010y yo o-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5 函数函数y y= = x x2 2, ,y y=2=2x x2 2的图的图象与函数象与函数y y= =x x2 2( (图中虚线图图中虚线图形形) )的图象相比的图象相比, ,有什么共同有什么共同点和不同点点和不同点? ?1 12 2共同点共同点: :不同点不同点: :开口都向上开口都向上; ;顶点是原点而且是抛物线顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是的最低点，对称轴是 y y 轴
13、轴开口大小不同开口大小不同; ;|a|a|越大，越大，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y y随着随着x x的的增大增大而而减小。减小。在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y y随着随着x x的的增大增大而而增大增大。抛物线的开口越小抛物线的开口越小。desmos演示探究探究 画出函数画出函数 的图象的图象desmos演示x x1 1y y解解: (1) : (1) 列表列表(2) (2) 描点描点(3) (3) 连线连线1 12 2- - - - -2-2-2-2- - - - - -. .- -. .- -. .- -. .- -. .- -. .- -. .- -. .-4. 5-4. 5-4
14、. 5-4. 5-1-1-2-2-3-30 01 12 23 3-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5x x1 1y y-1-1-2-2-3-30 01 12 23 3-1-1-2-2-3-3-4-4-5-5 函数函数y y= = x x2 2, ,y y= =2 2x x2 2的图象与函数的图象与函数y y= =x x2 2( (图中蓝线图形图中蓝线图形) )的图象相比的图象相比, ,有什么共同点和不同点有什么共同点和不同点? ?1 12 2共同点共同点: : 开口都向下开口都向下; ;不同点不同点: :顶点是原点而且是抛物线顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是的最高点，对称轴是 y
15、y 轴轴开口大小不同开口大小不同; ;|a|a| 越大，越大，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y y随着随着x x的的增大增大而而增大。增大。在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y y随着随着x x的的增大增大而减小而减小。抛物线的开口越小抛物线的开口越小desmos演示对比抛物线，对比抛物线，y y= =x x2 2和和y y= =x x2 2. .它们它们关于关于x x轴对称吗？轴对称吗？一般地，抛物线一般地，抛物线y y= =axax2 2和和y y= =axax2 2呢呢？在同一坐标系内在同一坐标系内, ,抛物线抛物线 与抛物线与抛物线 是关于是关于x x轴对轴对称的称的. .1 1、根据
16、左边已画好的函数图象填空、根据左边已画好的函数图象填空：（1 1）抛物线）抛物线y=2xy=2x2 2的顶点坐标是的顶点坐标是 , ,对称轴是对称轴是 ，在，在 侧，侧，y y随着随着x x的增大而增大；在的增大而增大；在 侧，侧，y y随着随着x x的增大而减小，当的增大而减小，当x=x= 时，时，函数函数y y的值最小，最小值是的值最小，最小值是 , ,抛物抛物线线y=2xy=2x2 2在在x x轴的轴的 方（除顶点外）。方（除顶点外）。（2 2）抛物线）抛物线 在在x x轴的轴的 方（除顶点外），在对称轴的方（除顶点外），在对称轴的左侧，左侧，y y随着随着x x的的 ；在对称轴的右侧，
17、；在对称轴的右侧，y y随着随着x x的的 ，当，当x=0x=0时，函数时，函数y y的值最大，最大值是的值最大，最大值是 ，当当x x 0 0时，时，y0.y0.（0 0，0 0）y y轴轴对称轴的右对称轴的右对称轴的左对称轴的左0 00 0上上下下增大而增大增大而增大增大而减小增大而减小0 0xyOyxO向上向上向下向下(0 ,0)(0 ,0)y轴y轴当当x0x0时，时，y y随着随着x x的增大而减小。的增大而减小。当当x0x0x0时，时，y y随着随着x x的增大而增大。的增大而增大。当当x0x0时，时，y y随着随着x x的增大而减小。的增大而减小。抛物线的开口就越小抛物线的开口就越
18、小. . |a|a|越小越小, ,抛物线的开口就越大抛物线的开口就越大. .1、二次函数y=ay=ax x2 2的图象是什么？的图象是什么？2 2、二次函数y=ay=ax x2 2的图象有何性质？的图象有何性质？3、抛物线y=ay=ax x2 2 与与y=-ay=-ax x2 2有何关系？有何关系？小结归纳归纳二次函数二次函数 的图象及性质：的图象及性质：1.1.图象是一条抛物线，对称轴是图象是一条抛物线，对称轴是y y轴，轴，顶点是原点。顶点是原点。归纳归纳二次函数二次函数 的图象及性质：的图象及性质：2.2.当当a a00时，开口向上，顶点是最低点，时，开口向上，顶点是最低点，a a值越大，抛物线开口越小；值越大，抛物线开口越小；在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y y随随x x的增大而减小，的增大而减小，在对称轴的右侧，在对称轴的右侧，y y随随x x的增大而增大。的增大而增大。归纳归纳二次函数二次函数 的图象及性质：的图象及性质：3.3.当当a a000，点，点( (m m+1+1，y y1 1) )、 ( (m m+2+2，y y2 2) )、 y y1 1、 y y2 2、y y3 3的大小关是的大小关是 。( (m m+3+3，y y3 3) )在抛物线在抛物线 上，则上，则
