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1、第一专题 质点运动学知识与方法研究例题7例题8例题9疑难题解答研究 三、两平面运动曲线的交点的运动一、运动分解的任意性二、曲率半径的物理求法一、运动分解的任意性 不限于正交分解，更不限于沿水平、竖直方向的正交分解. 可以根据解题需要沿选定方向分解.知识与方法研究 运动的分解与合成是不同于参照系变化时（KK）对运动描述的伽利略或洛仑兹变换, 是在一个参照系中进行的. 例1 足球运动员在球门正前方距离球门S远处的O点踢出一球，球从球门高为h的横梁下边沿射入球门. 问球以怎样的角度 射出，才能使射出的初速度v0最小？OCBSxyh解一建立如图的坐标系，则有消去t 得：进而得：所以将v0做水平、竖直的
2、正交分解.v0OCBShxyv0 解二如图，建立坐标系.则有将v0、g均沿x、y方向进行分解.足球到达B时，所以有消去t 得：所以此时OCBShv0 解三xy建立如图的坐标.据图中的几何关系，由正弦定理有：即由左边的等式得：将此代入右边的等式：所以此时则x方向为匀速直线运动，y方向为自由落体运动.现在足球在x轴方向、y轴方向的分运动各是什么运动？DOCBShv0Dxy 题后总结与思考本题充分说明运动分解的任意性.如果愿意，还有一种如图的有效分解方式！ 例2 弹性小球从高h处自由落下，落到与水平面成角的足够长的斜面上，碰撞后以同样大小的速度弹回来. （1）求每个弹回点（第一点和第二点，第二点和第
3、三点，第n点和第（n+1）点）间的距离x1-2、x2-3、x3-4、x n-(n+1). （2）求当斜面以匀速度u沿竖直方向向上运动时的x1-2的数值.解 小球第一次与斜面相碰（前、后）的速度大小为 则小球在两个碰点之间的在x、y方向的分运动均是匀变速直线运动.于是以斜面为参照系.建立如图所示的坐标系. 第一次碰后（第二次碰前）的运动方程为：令 y 1=0，可得第一与第二次碰撞的时间间隔为代入x1的计算式后可得 第二次碰后瞬间的速度大小等于第二次碰前瞬间的速度大小：显然，进而可知每相邻两次相碰的时间间隔均相等，以此类推，碰后瞬间在y方向的速度大小均相等.于是可知在每次碰前为注意：x2-3-x1
4、-2=8hsin ! 会不会每碰一次增加“8hsin ”？ 小球每一次碰后瞬间的x方向分速度将比前一次增加 因而每接连两次相碰的间距将比相邻的两次接连相碰的间距增加所以第n次碰撞与第(n+1)次碰撞之间的间距为 题后思考 能否建立水平方向的 x 坐标与竖直方向的y 坐标解本题？能否建立斜面方向的x坐标与竖直方向的y坐标求解？ （2）求当斜面以匀速度u沿竖直方向向上运动时的x1-2的数值. 此时，仍以斜面为参照系. 则小球第一次与斜面相碰时速度大小便由（1）中的v10变成了(v10+u).所以将（1）中相关式子中的v0代换为（v0+u），能得到对应的结果.便于是让质点的做某种轨迹为给定的曲线的运
5、动确定质点在运动轨迹上各处的v和a心由向心加速度公式求在选择质点的运动时，尽量考虑如何方便 得到曲线各处的v和a心 二、曲率半径的物理求法1、从曲率圆的角度看平面光滑曲线运动的速度和加速度表示速度大小的变化快慢表示速度方向的变化快慢yop1pva切a心ax2、由物理运动学求曲率半径思路：这样的运动在椭圆的顶点处的v和a心是易求得的. 例3 试求椭圆 的顶点处的曲率半径.解椭圆的参数方程为xy0AB可以选择质点沿椭圆轨道的运动为：在x方向和y方向的分运动为简谐振动的运动.(其简谐振动方程即为以上椭圆的参数方程)于是有在图中顶点A处：xy0AB所以va心同理可得 总是指向轮心但是否总是指向滚轮线的
6、曲率圆圆心？ 例4 求滚轮线的最高点的曲率半径和1最低点的曲率半径2.解oPv0为方便计，设轮子做匀速的纯滚动.设轮心O相对地面的速度为v0 . P在最高点处相对于地面的速度大小为 P在最低点处相对于地面的速度大小为故则PPPooo轮边缘上的任意一点P相对轮心O的线速度为多大？oPv0滚轮线最低处的曲率半径为PPP在滚轮线的最高点处和最低点处，故ooo 题后总结此两题的解法属于物理运动学的求法;曲率半径还有物理动力学的求法这将在以后研究.三、两运动曲线（包括直线）的交点的运动 注 意 交点并非曲线上的一个固定点，而是两条曲线相交而成的几何点.两曲线并非均作平动.1、几种交点的运动情况Pv2v1
7、（1）直线与直线的交点（2）曲线与曲线的交点（3）直线与曲线的交点2、如何求交点的速度Pv1v2决不能 ！P（1）由速度的定义出发求.（2）从相对运动出发求. 例5 如图，一平面内有l1、l2两细杆，相交成角. 细杆分别以垂直于自身杆长的速度匀速运动. 求两杆的交点P相对于纸面的速率.解一AB由定义出发求速度l1l2Pv1v2P2P3设经过时间t, 交点P匀速直线运动至P1处.在图中：由余弦定理有所以（求出交点相对某一曲线的速度，再叠加上此曲线的速度）P1PPP2 ， P1P2如何求得P1P ？l1l2Pv1v2P1ABP2P3解二由相对运动出发求速度先求出交点相对于杆l1的速率v1：在图中：
8、所以进一步得交点P相对于地面的速率： 例6 如图, 在o-xy平面内有一个圆, 在y轴上放一根细杆,从t=0开始, 细杆以速度v0朝x轴正方向匀速平动. 试求细杆与第一象限内的圆弧的交点的向心加速度与时间t的关系.xyOv0解一交点的运动方向总是沿圆的切线方向. 设在t 时刻交点在P点，经过小量时间t，交点由P点运动到P1点.P0则而P2P3由、消去 ：将代入即得所以（其中 ）由速度定义出发解答.所以PP1xyOv0PP0 解二由相对运动出发解.vPP3则所以便有进一步便可得到交点 P 的向心加速度.v0（3）两平面光滑曲线交点速度的最简求法研究如图，L1、L2的交点P相对地面的速度为 .分别
9、作L1、L2的切线l1、l2.取与L1上的P1点一起以速度 运动的参照系，在此参照系中P点以速度 沿l1运动. 则取与L2上的P2点一起以速度 运动的参照系，在此参照系中P点以速度 沿l2运动. 则在地面参照系中沿l1、l2方向分解 在地面参照系中沿l1、l2方向分解 由图可知重解例5：l1l2Pv1v2由余弦定理求合：v1v2重解例6：xyOv0PP0v0v01所以进一步便可得到交点 P 的向心加速度. 题后总结与思考该方法仅局限于光滑平面运动曲线的交点！此方法是否仅限于两曲线作平动的情况？请论证.疑难题目解答研究 例7 如图，光滑水平面上两根刚性细杆OM、ON成15夹角交于O点，小球在OM
10、的内侧与O相距l=20cm的P点处，以与MO成30角方向的初速朝ON杆运动，初速度大小为v0=10cm/s. 试问小球能否回到P处？若能，则须经多少时间回到P处？解小球作的是匀速折线运动.MNPOl300150 而光线经镜面反射后的行进等效于光线沿原入射方向的行进. 因此光线在两平面镜之间的不断反射可等效为光线沿PP直线传播. 可将小球的运动类比为光线在平面镜M、N之间的反射.由于因此光线能够沿原路返回到P点.PPMNPOlP300150P 所以小球从P点出发到又回到P点，总的路程即为PP=2PP.所经历的时间为本题还有另一种常规解法：1、看小球多次弹碰后是否会与杆正碰2、确定在什么位置正碰3
11、、算出所有折线段的总长4、计算时间但这种解法需解三角形！试一试，看能否用此法解答.题后总结与思考这种解法的实质就是将折线运动等效变为直线运动从而使问题得以简化.SS（a）（b） 取t = 0时白色点在A位置.ABC（K=0、1、2、3、）解 例8 图（a）中的黑色圆盘上有白色点S，盘绕中心轴以 f0= 50He的频率旋转，如果用频率为 f 的频闪光去照射该盘，在盘上能看到稳定地出现如图（b）的三个白色点. 请算出两种可能的 f 值，其一大于f0，其二小于f0 . 又若取f = 51He，那么在盘上能观察到什么现象？则白点在B位置的时刻：（K=0、1、2、3、）白点在C位置的时刻：1200120
12、01200则白点在A位置的时刻：（K=0、1、2、3、）（1）若白点在B处这要求频闪周期为白点在C位置.白点在A位置.则频闪光第二次照亮圆盘时：即有SS（a）（b）ABC120012001200设t = 0时频闪光第一次照亮圆盘（即看见白色点在A）.如此重复，便能在圆盘上到三个稳定的白点.（K 1=0、1、2、3、）.频闪光的频率还有没有其他可取值？（b）ABC （2）若频闪光第二次照亮时，白点在C处 这要求频闪周期为（K2=0、1、2、3、）白点在 B位置.白点在 A位置. 综上可知，频闪光的可取频率范围为：其中，大于f0 的 f 有： 小于f0 的 f 有：如此重复，便能在圆盘上到三个稳定
13、的白点.即有图（c）A 若f 稍大于f0 (如f =51He)，则T 稍小于T0 ，这意味着白点在A位置被照亮后，经过时间T 顺时针将转过大半周（T/T0周）. 白点倒退一周所需的时间为 倒退的频率为 这相当于逆时针转过小半周即（1-T/T0 ）周又被照亮，故会看见白点逆时针倒退. 题后总结 通过该题知道了：为什么看电影时，有时看见汽车前进而车轮却反转？ 例9 如图，OABC是一桌球台面. 取OA为 x 轴，OC为y 轴，P是红球，坐标为(x, y), Q是白球，坐标为（x, y ), (图中未画出Q球在台面上的位置）. 已知OA=BC=25 分米，AB=OC=12分米. ABCOPQxy(x
14、, y) 解NM （1）若P球的坐标为：x=10分米，y=8分米. 问Q球的位置在什么范围内时，可使击出的Q球顺次与AB、BC、CO和OA四壁碰撞反弹，最后击中P球？ （2）P球有没有一些位置是Q球无论在什么位置出发，按上述次序从四壁反弹后都无法击中的？如没有，加以证明；如有，找出这些位置的范围.（白球Q同四壁的碰撞均为弹性碰撞，两球体积很小，可看作质点.）如右图，你能不能让白球与桌璧N M 弹性相碰后击中红球?ABCOPQxy(0,12) (25,12)(25,0)(10,8)给球桌各顶点及红球的位置标注上坐标(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,3
15、2)（1）1、如果白球对着镜像点P1击在OA上就能击中P；如果白球对着镜像点P2击在CO上就能射向P1;如果白球对着镜像点P3击在OC上就能射向P2；如果白球对着镜像点P4击在BA上就能射向P3.ABCOPQxy(0,12) (25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)F 2、为了保证白球能对着P4点且击在BA上，白球应该放在什么区域？ 3、白球放在该区域是否能保证经BA反弹后能击在BC上？ 4、白球是否击在BC上任何地方都能反弹后又击在CO上？比如放在图中所示的点处？ABCOPQxy(0,12) （25,12)(
16、25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E 5、白球应该对着P3击在BC上的什么地方才能保证经BC反弹后能击在CO上？作直线P2O交CB于E点，E点坐标为(15,12).(15,12)ABCOPQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E (15,12)D (25,4) 6、白球应该对着P4击在BA上的什么地方才能保证经BA反弹后能击在EC上？作直线P3E交BA于D点， D点坐标为(25,4).ABCOPQxy(0,12) （
17、25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E(15,12)QD(25,4)(20,0) 7、白球应该放在什么区域才能保证对着P4击在DA上？H作直线P4D，交AO于H，H点的坐标(20,0).ABCOPQxy(0,12) （25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E(15,12)DH(25,4)(20,0)最终结论：白球应放在三角形DAH以内的区域.（但不能放在HD、DA边上） （2）P球有没有一些位置是Q球无论在什么位置出发，按上述
18、次序从四壁反弹后都无法击中的？如没有，加以证明；如有，找出这些位置的范围. ABCOPQxy(0,12)（25,12)(25,0)(10,8)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)E(15,12)QDH(25,4)(20,0) 问题可转换为：P 球有没有一些位置，使（1）问的解答中求得的三角形DAH不存在（或者说面积缩小为零）？ABCOPQxy(0,12) (25,12)(25,0)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)EDH(12.5,12)连接P3、A点，交BC于E点， 当红球P放在三角形CEO
19、以内的区域以及其边上时，无论白球从何处开始击出，不可能击中红球.E若P点左移，D点下移，三角形DAH的面积就会缩小 则E点左移，E点的坐标为(12.5,12).最终结论：连接E、O.ABCOPxy(0,12) （25,12)(25,0)(0,0)P1(10,-8)P2(-10,-8)P3(-10,32)P4(60,32)EDH(12.5,12) 题后总结与思考也是利用将弹碰类比于光的镜面反射来解决问题.本题采用其他数学方法还有多种解法，你还出想出 哪些？xyOv0PP1P2P0P3如图，在PP1P2中，有于是有如何直接得出镜面反射后的光线的行进可等效处理为在虚像空间中光线沿原入射方向的直线行进P1MNP2P3P4M NM P2P3P4P3P4P4（1）光线1在镜面N的P1点发生反射,其反射光线2的行进等效于在虚像空间中光线2的行进. 1234233444（2）光线2在镜面M的P2点发生反射后得到反射光线3，相应地光线2在虚镜面M 上的P2点发生反射后得到反射光线3，反射光线3的行进等效于在虚像空间中光线3的行进.N （3）光线3在镜面N的P3点反射后得到光线4，相应地光线3在虚镜面N的P3点发生反射得到光线4，相应地光线3在虚镜面N的P3点发生反射得到光线4，反射光线4的行进等效于在虚像空间中光线4的行进.
