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1、目录 上页 下页 返回 结束 常系数 第七节齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数齐次线性微分方程:和它的导数只差常数因子,代入得称为微分方程的特征方程特征方程,1. 当时, 有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为( r 为待定常数 ),所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.目录 上页 下页 返回 结束 特征方程2. 当时, 特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:是特征方程的重根取 u = x , 则得因此原方程的通解为目录
2、上页 下页 返回 结束 特征方程3. 当时, 特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解: 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:特征方程:实根 特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .目录 上页 下页 返回 结束 若特征方程含 k 重复根若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项则其通解中必含对应项特征方程: 推广推广:目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 的通解.解解: 特征方程特征根:因此原方程的通解为例例2. 求解初值问题解解: 特征方程有重根因此原方程的通解为利用初始条件得于是所求初值
3、问题的解为目录 上页 下页 返回 结束 例例3.解解:质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 因此定解问题为由第六节例1 (P323) 知, 位移满足目录 上页 下页 返回 结束 方程:特征方程:特征根:利用初始条件得:故所求特解:方程通解:1) 无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )目录 上页 下页 返回 结束 解的特征解的特征:简谐振动 A: 振幅, : 初相,周期: 固有频率 (仅由系统特性确定)目录 上页 下页 返回 结束 方程:特征方程:特征根:小阻
4、尼: n k临界阻尼: n = k 解的解的特征特征解的解的特征特征解的解的特征特征目录 上页 下页 返回 结束 例例4.的通解. 解解: 特征方程特征根:因此原方程通解为例例5.解解: 特征方程:特征根 :原方程通解:(不难看出, 原方程有特解目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 解解: 特征方程:即其根为方程通解 :目录 上页 下页 返回 结束 例例7.解解: 特征方程:特征根为则方程通解 :目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结特征根:(1) 当时, 通解为(2) 当时, 通解为(3) 当时, 通解为可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 求方程的通解 .答案答案:通解为通解为通解为作业作业 P340 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3第八节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .解解: 根据给定的特解知特征方程有根 :因此特征方程为即故所求方程为其通解为
