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1、 第二部分第二部分 线性代数线性代数 第二章第二章 行列式简介行列式简介行列式是一种常用的数学工具，也是代数行列式是一种常用的数学工具，也是代数学中必不可少的基本概念，在数学和其他应用科学中必不可少的基本概念，在数学和其他应用科学以及工程技术中有着广泛的应用。本章主要介学以及工程技术中有着广泛的应用。本章主要介绍行列式的概念、性质和计算方法绍行列式的概念、性质和计算方法。 用消元法求解，得：用消元法求解，得：用消元法求解，得：用消元法求解，得： 当当 时，求得方程组有唯一解：时，求得方程组有唯一解：1 1 阶行列式的定义阶行列式的定义1、二元线性方程组二元线性方程组1.1 1.1 1.1 1.
2、1 n n n n 阶行列式的引出阶行列式的引出阶行列式的引出阶行列式的引出为了便于记忆，引入二阶行列式为了便于记忆，引入二阶行列式为了便于记忆，引入二阶行列式为了便于记忆，引入二阶行列式来表示来表示4个数个数 的一种运算，的一种运算，对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算主对角线主对角线副对角线副对角线若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式注意注意分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为例例例例1 1 解二元线性方程组解二元线性方程组解二元线性方程组解二元线性方程组解解解解 由于由于由于由于
3、2.2.三元线性方程组三元线性方程组三元线性方程组三元线性方程组同理用消元法可求得，当同理用消元法可求得，当同理用消元法可求得，当同理用消元法可求得，当时，时，三元线性方程组有唯一解：三元线性方程组有唯一解：三元线性方程组有唯一解：三元线性方程组有唯一解： (1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算. .列标列标行标行标(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 2
4、 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. .例例例例2 2 2 2解解解解方程左端方程左端3.3.n n n n元线性方程组元线性方程组元线性方程组元线性方程组 构造：构造：构造：构造： 下面提出三个问题：下面提出三个问题：下面提出三个问题：下面提出三个问题： l（1）D=？（怎么算）？（怎么算）？l（2）当当D0时，方程组是否有唯一解？时，方程组是否有唯一解？l（3）若）若D0时，方程组有唯一解，解的时，方程组有唯一解，解的形式是否
5、是形式是否是1.21.2全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数全排列及其逆序数l1、全排列全排列l用用1，2，3三个数字可以排三个数字可以排6个不重复三位数即：个不重复三位数即：123，231，312，132，213，321一一般般地地，把把n个个不不同同的的元元素素排排成成一一列列，共共有有几几种种不不同同的排法？的排法？这这是是一一个个全全排排列列问问题题。从从n个个元元素素中中任任取取一一个个放放在在第第一个位置上，有一个位置上，有n种取法；种取法；再再从从剩剩下下的的n- -1个个元元素素中中任任取取一一个个元元素素，放放在在的的第第二二个个位位置置上上有有n- -1种种取取
6、法法;依依此此类类推推，直直到到最最后后剩剩下下一一个个元元素素放在最后位置上，只有一种取法；放在最后位置上，只有一种取法；于是：于是：在一个排列在一个排列中，若数中，若数则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序.例如例如排列排列32514中，中，定义定义我们规定各元素之间有一个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.2.排列的逆序数排列的逆序数32514逆序逆序逆序逆序逆序逆序定义定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.例如例如排列排列32514中，中
7、，32514逆序数为逆序数为31故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.方法方法2 2方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出这这个元素个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数.计算排列逆序数的方法计算
8、排列逆序数的方法:逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.3.排列的奇偶性排列的奇偶性例例3 3 在在1 19 9构成的排列中构成的排列中, ,求求j、k，使排列，使排列1274 j 56 k 9为偶排列为偶排列.解：解：由题可知，由题可知，j、k的取值范围为的取值范围为3，8当当j = 3、k = 8时，经计算可知，排列时，经计算可知，排列127435689的逆序数为的逆序数为5，即为奇排列，即为奇排列当当j= 8、k = 3时，经计算可知，排列时，经计算可知，排列127485639的逆序数为的逆序数为10，即为偶排
9、列，即为偶排列j = 8，k = 3例例4 4计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解解此排列为此排列为偶排列偶排列.解解当当时为偶排列；时为偶排列；当当时为奇排列时为奇排列.定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的变换叫做元素不动，这种作出新排列的变换叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换例如例如1.3 n1.3 n1.3 n1.3 n阶行列式值的定义阶行列式值的定义阶行列式值的定义阶行列式值的定义定义定义1.11.1设设n阶方阵阶方阵A=（aij)
10、，定义，定义n阶行列式阶行列式|A|的值为的值为也可记为也可记为:作出作出n阶方阵阶方阵A=（aij)中位于不同行不同列的中位于不同行不同列的n个数的乘个数的乘积，并冠以符号积，并冠以符号，得到形如，得到形如的项（的项（称为行列式的一个称为行列式的一个均布项均布项），其中），其中j1j2,jn为自然数为自然数1，2，n的一个排列，的一个排列， 为这个排列为这个排列的逆序数。这样的排列共有的逆序数。这样的排列共有n!个，所有这些项的代数和即个，所有这些项的代数和即为为n阶行列式的值阶行列式的值。说明：说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和
11、未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、阶行列式是阶行列式是项的代数和项的代数和;3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列个元素的乘积个元素的乘积;4、一阶行列式一阶行列式不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为的符号为例例5 5用行列式的定义计算用行列式的定义计算解解1.4 1.4 1.4 1.4 几种特殊的行列式几种特殊的行列式几种特殊的行列式几种特殊的行列式l（1）对角行列式对角行列式证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记则依行列式定义则依行列式定
12、义证毕证毕l（2）下（上）三角行列式下（上）三角行列式（3）其中其中，1.二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的. .对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算2.2.排列具有奇偶性排列具有奇偶性.1. 1. 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为 3. 3. 一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性4.行列式是一种特定的算式，它是根据求解行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的要而定义的. .思考题思考题已知已知思考题解答思考题解答解解含含的项有两项的项有两项,即即对应于对应于
