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1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,课前篇,自主预习,课堂篇,探究学习,当堂检测,首页,3,.,3,.,3,3,.,3,.,4,点到直线的距离,两,条平行直线间的距离,一,二,一、点到直线的距离,1,.,什么是平面上点到直线的距离,?,提示,:,如下图,P,到直线,l,的距离,是指从点,P,到直线,l,的垂线段,PQ,的长度,其中,Q,是垂足,.,一,二,2,.,如图,点,P,(,x,0,y,0,),到直线,Ax+By+C=,0(,A,B,不同时为,0),的距离,d,同线段,PS,PR,RS,间存在什么关系,?,3,.,点到直线的距离,(1),概
2、念,:,过一点向直线作垂线,则该点与,垂足,之间的距离,就是该点到直线的距离,.,(2),公式,:,点,P,(,x,0,y,0,),到直线,l,:,Ax+By+C=,0(,A,B,不同时为,0),的距离,一,二,4,.,做一做,:,原点到直线,x+,2,y-,5,=,0,的距离为,(,),答案,:,D,一,二,二、两条平行线间的距离,1,.,两条平行直线间的距离是指什么线段的长,?,提示,:,两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长,.,2,.,直线,l,1,:,x+y-,1,=,0,上有,A,(1,0),B,(0,1),C,(,-,1,2),三点,直线,l,2,:,x+y-,
3、2,=,0,与直线,l,1,平行,则点,A,B,C,到直线,l,2,的距离分别为多少,?,有什么规律吗,?,3,.,已知,l,1,:,Ax+By+C,1,=,0(,A,B,不同时为,0),l,2,:,Ax+By+C,2,=,0(,C,2,C,1,),如何推导出,l,1,与,l,2,的距离公式呢,?,提示,:,由,l,1,与,l,2,的方程可知直线,l,1,l,2,设,P,0,(,x,0,y,0,),是直线,Ax+By+C,2,=,0,上任一点,则点,P,0,到直线,Ax+By+C,1,=,0,的距离为,一,二,4,.,两条平行直线间的距离,(1),概念,:,夹在两条平行直线间的,公垂线段,的长
4、度就是两条平行直线间的距离,.,(2),求法,:,两条平行直线间的距离转化为,点,到,直线,的距离,.,(3),公式,:,两条平行直线,l,1,:,Ax+By+C,1,=,0,与,l,2,:,Ax+By+C,2,=,0,之间的距离,一,二,5,.,做一做,:,两条平行线,l,1,:3,x-,4,y-,1,=,0,与,l,2,:6,x-,8,y-,7,=,0,间的距离为,(,),答案,:,A,探究一,探究二,探究,三,思维辨析,求点到直线的距离,例,1,求点,P,0,(,-,1,2),到下列直线的距离,:,(1)2,x+y-,10,=,0;(2),x=,2;(3),y-,1,=,0,.,思路分析
5、,:,当直线与坐标轴不平行时,直接代入公式求得距离,;,当直线与坐标轴平行时,可以数形结合求解,.,(2),解法一,:,把直线方程化为一般式为,x-,2,=,0,.,解法二,:,直线,x=,2,与,y,轴平行,由图知,d=|-,1,-,2,|=,3,.,探究一,探究二,探究,三,思维辨析,(,解法二,),直线,y-,1,=,0,与,x,轴平行,由图知,d=|,2,-,1,|=,1,.,反思,感悟,点到直线距离的求,法,求,点到直线的距离时,先把直线方程化为一般式,再代入公式,.,如果直线垂直于坐标轴,那么可结合图形求解,.,探究一,探究二,探究,三,思维辨析,延伸探究,已知点,A,(,a,2)
6、(,a,0),到直线,l,:,x-y+,3,=,0,的距离为,1,则,a,的值为,.,探究一,探究二,探究,三,思维辨析,两平行线间的距离,例,2,(1),已知直线,3,x+,2,y-,3,=,0,和,6,x+my+,1,=,0,互相平行,则它们之间的距离是,(,),(2),若两条平行线,l,1,:,x-y+,1,=,0,与,l,2,:3,x+ay-c=,0(,c,0),之间的距离,为,A.,-,2B.,-,6C.2D.0,思路分析,:,(1),首先利用两直线平行求出参数,m,的值,将两直线方程对应系数化为相同,然后代入距离公式求值,;(2),首先将两直线方程系数化为相同,然后代入距离公式,建
7、立,a,c,的方程组求解,.,探究一,探究二,探究,三,思维辨析,解析,:,(1),由题意,直线,3,x+,2,y-,3,=,0,和直线,6,x+my+,1,=,0,平行,所以对应直线方程为,6,x+,4,y+,1,=,0,.,又直线,3,x+,2,y-,3,=,0,可化为,6,x+,4,y-,6,=,0,(2),直线,l,1,:,x-y+,1,=,0,与,l,2,:3,x+ay-c=,0(,c,0),平行,故有,a=-,3,平行线,l,1,:3,x-,3,y+,3,=,0,与,l,2,:3,x-,3,y-c=,0(,c,0),之间的距离为,答案,:,(1)D,(,2)A,探究一,探究二,探究
8、,三,思维辨析,反思感悟,求两条平行直线间的距离的两种思路,1,.,利用,“,化归,”,思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离,.,由于这种求法与点的选择无关,因此,选点时,常选取一个特殊点,如直线与坐标轴的交点等,以便于运算,.,2,.,利用两条平行直线间的距离公式求解,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,距离公式的应用,例,3,在,ABC,中,A,(1,1),B,(,m,),C,(4,2)(1,m,4),求,m,为何值时,ABC,的面积,S,最大,.,思路分析,:,ABC,的边,AC,确定,故以,AC,为底,点,B,到直线,AC,的距离就是高,求出面积
9、,S,与,m,之间的函数关系式,再求出函数最值即可,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解,:,A,(1,1),C,(4,2,),探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟,常见的距离公式应用问题的解题策略,(1),最值问题,:,利用对称转化为两点之间的距离问题,;,利用所求式子的几何意义转化为点到直线的距离,;,利用距离公式将问题转化为二次函数的最值问题,通过配方求最值,.,(2),求参数问题,:,利用距离公式建立关于参数的方程或方程组,通过解方程或方程组求值,.,(3),求方程的问题,:,立足确定直线的几何要素,利用直线方程的各种形式,结合直线的位置关系,(,平行直线系、垂直直线系及过交
10、点的直线系,),巧设直线方程,在此基础上借助距离公式求解,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练,已知点,P,(,a,b,),在线段,AB,上运动,其中,A,(1,0),B,(0,1),.,则,(,a+,2),2,+,(,b+,2),2,的取值范围是,.,解析,:,由,(,a+,2),2,+,(,b+,2),2,联想两点间的距离公式,设点,Q,的坐标为,(,-,2,-,2),又点,P,的坐标为,(,a,b,),于是,问题转化为求,|PQ|,2,的最大值、最小值,.,如图所示,当,P,与,A,或,B,重合时,|PQ|,取得最大值,探究一,探究二,探究三,思维辨析,当,PQ,AB,时,|P
11、Q|,取得最小值,此时,|PQ|,为,Q,点到直线,AB,的距离,由,A,B,两点坐标可得直线,AB,的方程为,x+y-,1,=,0,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,一题多解,求直线的方程,典例,求过点,M,(,-,2,1),且与,A,(,-,1,2),B,(3,0),距离相等的直线方程,.,解,法一,:,由题意可得,k,AB,=-,线段,AB,的中点为,C,(1,1),满足条件的直线经过线段,AB,的中点或与直线,AB,平行,.,当直线过线段,AB,的中点时,由于,M,与,C,点的纵坐标相同,所以直线,MC,的方程为,y=,1;,当直线与,AB,平行时,其斜率为,-,由点斜式可得所求直
12、线方程为,y-,1,=-,(,x+,2),即,x+,2,y=,0,.,综上,所求直线的方程为,y=,1,或,x+,2,y=,0,.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,法二,:,显然所求直线的斜率存在,设直线方程为,y=kx+b,根据条件有,:,故所求直线方程为,y=,1,或,x+,2,y=,0,.,方法总结,解此类题目有两种方法,一是利用数形结合的方法,过一定点与两定点距离相等的点的直线有两条,根据这两条直线的几何特征可求出其直线方程,.,二是求此类问题的一般方法,它应用了点到直线的距离公式,但设所求直线的方程时,要注意考虑直线的斜率是否存在,.,1,2,3,4,1,.,点,(1,2),到直线
13、,y=,2,x+,1,的距离为,(,),答案,:,A,1,2,3,4,2,.,(,易错题,),两条平行直线,3,x+,4,y-,12,=,0,与,ax+,8,y+,11,=,0,间的距离为,(,),答案,:,C,1,2,3,4,3,.,已知点,A,(,-,3,-,4),B,(6,3),到直线,l,:,ax+y+,1,=,0,的距离相等,则实数,a,的值等于,(,),答案,:,C,1,2,3,4,4,.,两平行直线,l,1,:,ax+,4,y=,0,l,2,:3,x+,4,y+m=,0,若两直线之间的距离为,1,则,m=,.,解析,:,根据两平行直线之间的距离公式,得到,=,1,解得,m=,5,.,答案,:,5,
