解析函数的洛朗展式与孤立奇点

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1、第五章第五章第五章第五章 解析函数的洛朗展式与孤立奇点解析函数的洛朗展式与孤立奇点解析函数的洛朗展式与孤立奇点解析函数的洛朗展式与孤立奇点第一节第一节解析函数的洛朗展式解析函数的洛朗展式第二节第二节解析函数的孤立奇点解析函数的孤立奇点第三节第三节解析函数在无穷远点的性质解析函数在无穷远点的性质形如形如的级数称为双边幂级数的级数称为双边幂级数 第一节第一节解析函数的罗朗展式解析函数的罗朗展式1 1 双边幂级数双边幂级数正则部分是幂级数，故收敛圆正则部分是幂级数，故收敛圆对于主要部分对于主要部分 ， 可作代换可作代换成为一幂级数成为一幂级数它的收敛区域为它的收敛区域为 因此当因此当时，两者有公共的

2、收敛时，两者有公共的收敛区域即圆环：区域即圆环：。在此圆环内有在此圆环内有定理定理5.1设双边幂级数设双边幂级数的收敛圆环为的收敛圆环为则则（1）（5.1）在在内内绝绝对对收收敛敛且且内内闭一致收敛于闭一致收敛于（2）在内解析）在内解析（3）级数在内可逐项求导任意次。级数在内可逐项求导任意次。2、解析函数的罗朗展式、解析函数的罗朗展式定定理理5.2（罗罗朗朗定定理理）在在圆圆环环内内解解析析的的函函数必可展开成双边幂函数数必可展开成双边幂函数其中其中且展式唯一且展式唯一定定义义5.1（5.2）称称为为在在点点的的罗罗朗朗展展式式，（5.3）称称为为其其罗罗朗朗系系数数，而而（5.2）右右边边的

3、级数则称为罗朗级数。的级数则称为罗朗级数。注意注意泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。泰勒级数是罗朗级数的特殊情形。例例5.1将函数将函数在下列三个区域内在下列三个区域内（1）圆）圆（2）圆环）圆环（3）圆环）圆环内求的罗朗展式。内求的罗朗展式。解：首先解：首先（）在（）在圆内圆内（）在圆环（）在圆环内内有有故故（）在圆环上（）在圆环上故故3、孤立奇点邻域内的罗朗展式、孤立奇点邻域内的罗朗展式定定义义5.2若若在在奇奇点点的的某一去心邻域某一去心邻域内内解解析析，则则称称为为的的一一个个孤孤立立奇点。奇点。若为的一个孤立奇点，若为的一个孤立奇点，则必存在数，使在的去心则必存在数，使在的去心邻域邻域内

4、可展成罗朗级数。内可展成罗朗级数。例例5.2求求在其孤立奇点的去心邻域内的罗朗展式。在其孤立奇点的去心邻域内的罗朗展式。解：有两个奇点和。解：有两个奇点和。在的（最大）去心邻域在的（最大）去心邻域内内在的（最大）去心邻域在的（最大）去心邻域内内解析函数的解析函数的孤立奇点孤立奇点孤立奇点的分类孤立奇点的分类可去奇点、极点、本性奇点。可去奇点、极点、本性奇点。定义5.3 设是的孤立奇点，（ 1） 若 主 要 部 分 为 0， 则 称 是 的可去奇点 f(z)。（2）若主要部分为有限多项，则称是的 极点，此时主要部分的系数必满足 此时称 为 极点阶级点，亦称为级极点。若主要部分有无限多项，则称是f

5、(z)的本性奇点。 2、可去奇点的判断、可去奇点的判断定定理理5.3设设为为的的孤孤立立奇奇点点，则下述等价：则下述等价：（1）在的主要部分为在的主要部分为0；（2）（）（）在点的某去心邻域内在点的某去心邻域内有界。有界。证：证：（1）（）（2）由（）由（1）有）有因此因此（2）（）（3）即例）即例（3）（）（1）考虑主要部分的系数）考虑主要部分的系数其中可任意小，故其中可任意小，故极点极点定定理理5.4若若以以点点为为孤孤立立奇点，则下述等价奇点，则下述等价（1）是是级级极极点点，即即主主要要部部分分为为（）（）在点的去心邻域内有在点的去心邻域内有且解析且且解析且（）以以为为级级零零点。点。

6、定定理理5.5的的孤孤立立奇奇点点为为极极点点的的充分必要条件是充分必要条件是5、本性奇点、本性奇点定定理理5.6的的孤孤立立奇奇点点为为本本性性奇点的充分必要条件是奇点的充分必要条件是定定理理5.7若若为为之之一一本本性性奇奇点点，且且在在点点的的充充分分小小去去心心邻邻域域内不为零，则亦必为内不为零，则亦必为的本性奇点。的本性奇点。如：如：为的本性奇点，为的本性奇点，亦为的本性奇点。亦为的本性奇点。6、毕卡定理、毕卡定理定理定理5.8若为的本性奇若为的本性奇点，则对任意数（可以是），点，则对任意数（可以是），都有一个收敛于的点列都有一个收敛于的点列使使定定理理（毕毕卡卡大大定定理理）若若为

7、为的的本本性性奇奇点点，则则对对每每一一个个，除除掉掉可可能能一一个个值值外外，必必有有趋趋于于的的无限点列无限点列使使第三第三节节解析函数在无穷远点的性质解析函数在无穷远点的性质定定义义5.4设设函函数数在在无无穷穷远远点点（去心）邻域（去心）邻域内内解解析析，则则称称为为的的一一个个孤孤立奇点。立奇点。作变换于是函数作变换于是函数在去心邻域在去心邻域内解析。即是内解析。即是的一孤立奇点，的一孤立奇点，依此可规定的类型。依此可规定的类型。定义定义5.5若为的可去若为的可去奇点、级极点或本性奇点，则我奇点、级极点或本性奇点，则我们相应地称为们相应地称为的可去奇点、级极点或本性奇点。的可去奇点、

8、级极点或本性奇点。类似于有限孤立奇点的分类，可依在类似于有限孤立奇点的分类，可依在的主要部分的项数对的主要部分的项数对进行分类。进行分类。主要部分为主要部分为 例例5.6求出求出（1）（）（）的奇点（包括），并确定其类别的奇点（包括），并确定其类别解：（解：（1 1）以为可去奇点以为可去奇点为一级极点为一级极点为非孤立奇点为非孤立奇点（因是的聚点）（因是的聚点）（2 2）令，得该函数的所令，得该函数的所有奇点为有奇点为是一级极点，是非是一级极点，是非孤立奇点，因是的聚点。至于孤立奇点，因是的聚点。至于应是可去奇点。应是可去奇点。例例5.7若在若在内解析，且不恒为零，又若有一列异于内解析，且不恒为零，又若有一列异于但却以为聚点的零点，但却以为聚点的零点，试证必为的本性奇点。试证必为的本性奇点。证证：是是的的孤孤立立奇奇点点，且且不不能能是是可去奇点，若不然，令可去奇点，若不然，令则则在在内内解解析析且且由由假假设设有有以以为为 聚聚 点点 的的 一一 列列 零零 点点 。 由由 零零 点点 的的 孤孤 立立 性性 ， 必恒为必恒为0，这与题设矛盾。这与题设矛盾。其次也不能是的极点，其次也不能是的极点，否则有，使否则有，使当时，当时，这这亦亦与与题题设设矛矛盾盾。故故 只只能能是是 的本性奇点。的本性奇点。