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1、线性代数线性代数2021/5/211第二章第二章 矩阵矩阵2.1 2.1 矩阵矩阵 2.2 2.2 矩阵的运算矩阵的运算2.3 2.3 逆矩阵逆矩阵 2.4 线性方程组的矩阵解线性方程组的矩阵解法法 2021/5/212200 180 190100 120 100150 160 140180 150 150某厂家向某厂家向A, B, C三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品. . 20 50 30 2516 20 16 162.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念 2.1 矩阵的概念矩阵的概念 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2行行4列的表格列的表格4行行3列
2、的表格列的表格2021/5/213200 180 190100 120 100150 160 140180 150 15020 50 30 2516 20 16 162.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念 2.1 矩阵的概念矩阵的概念 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 矩阵矩阵 matrix2021/5/214第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念 1. m n矩阵矩阵 A=a11 a12 a1na21 a22 a2n am1 am2 amn注注: 今后除非特别说明今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都我
3、们所考虑的矩阵都 是实矩阵是实矩阵.元素都是实数元素都是实数实矩阵实矩阵 元素都是复数元素都是复数复矩阵复矩阵 行行 列列 元素元素 aij (1 i m, 1 j n); (aij) 2.1 矩阵的概念矩阵的概念 m nm n2021/5/2153. 向量向量 行向量行向量 a1, a2, , an 列向量列向量 a1a2ann阶方阵阶方阵:2. 方阵方阵 一个一个一个一个1 1 1 1的矩阵的矩阵的矩阵的矩阵 就是一个就是一个就是一个就是一个数数数数 n维维 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念 a11 a12 a1na21
4、a22 a2n an1 an2 annn(m=n)2021/5/216 例例 1. 某两人有一只某两人有一只8升的酒壶装满了酒，还有两升的酒壶装满了酒，还有两只空壶，分别为只空壶，分别为5升和升和3升。问如何将酒平分？升。问如何将酒平分？用三维向量表示用三维向量表示(8升升,5升升,3升升)酒壶的酒量酒壶的酒量则平分酒的问题化为在该图中求一条从起点到终则平分酒的问题化为在该图中求一条从起点到终点的最短路点的最短路.从图中易得到从图中易得到上下上下两条路：显然上面一条较短，两条路：显然上面一条较短，路长为路长为7;下面一条路长为下面一条路长为8.第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1
5、 2.1 矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念 2021/5/217思考题思考题 一摆渡人欲将一只狼一摆渡人欲将一只狼,一头羊一头羊,一篮菜从河西一篮菜从河西渡过河到河东渡过河到河东.由于船小由于船小,一次只能带一物过一次只能带一物过河，并且狼与羊河，并且狼与羊,羊与菜不能独处羊与菜不能独处.你能给出几种给出渡河方法？你能给出几种给出渡河方法？哪种方法的渡河次数最少？哪种方法的渡河次数最少？第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念 狼狼wolf,羊羊sheep，菜，菜vegetable2021/5/2184. 同型同型: 行数相等
6、行数相等, 列数也相等列数也相等 5. 两个矩阵两个矩阵相等相等 20 50 3020 50 3016 20 16 16 20 16 与与 a a b b c c 1 2 3 1 2 3 同型同型 20 50 3020 50 3016 20 1616 20 16 与与 不不同型同型 20 20 16 16 5050 20 20 3030 16 16 A = aijm n与与B = bijm n相等相等: 对对 1 i m, 1 j n, aij = bij都成立都成立 记为记为A = B. 大前提大前提大前提大前提: : 同型同型同型同型 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2
7、.1 矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念 2021/5/2191. 零矩阵零矩阵元素全为零元素全为零.有时有时, 加下标指明其阶数加下标指明其阶数. 通常用通常用O表示零矩阵表示零矩阵. 0 00 0 0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0例如例如, 上述零矩阵分别可以记为上述零矩阵分别可以记为: O2, O2 3, O3. 几种特殊的矩阵几种特殊的矩阵 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念 2021/5/21102. 对角矩阵对角矩阵(diagonal matrix) diag 1, 2, , n. 1 0 0
8、 0 2 0 0 0 n 简记为简记为简记为简记为 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念 2021/5/21113. 数量矩阵数量矩阵/纯量矩阵纯量矩阵diagk, k, , k数量矩阵数量矩阵/纯量矩阵纯量矩阵. 4. 单位矩阵单位矩阵称为称为n阶单位矩阵阶单位矩阵. In 2 0 0 0 2 0 0 0 23 00 3 En =1 0 00 1 00 0 1n n n n 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2.1 2.1 矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念矩阵的概念 2021/5/21122.2 2.2 矩阵的代数运算矩
9、阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 A = aijm n与与B = bijm n的的和和: A+B = aij+bijm n.注注: 设矩阵设矩阵 A = aijm n , 记记 A = aijm n , A的的负矩阵负矩阵. 设设 A, B是同型矩阵是同型矩阵, 则它们的则它们的差差 定义为定义为 A + ( B). 记为记为 A B. 即即 A B = A + ( B). 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算 一一. 矩阵的线性运算矩阵的线性运算 1. 加法加法 2021/5/21132.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运
10、算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 -2 41 2 2 4-3 6 0 8-2 8 +=例例2.-2 41 2 2 4-3 6 -4 04 -4 -=2021/5/21142.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2. 数乘数乘 设矩阵设矩阵 A = aijm n , 数数k与与A的的乘积乘积定义为定义为 kaijm n ,记为记为kA. 注注: 矩阵的矩阵的线性运算线性运算 即即kA = ka11 ka12 ka1nka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamn加法加法 数乘数乘
11、 2021/5/211520 50 30 2516 20 16 16k20k 50k 30k 25k 16k 20k 16k 16k=2.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 例例2.2 5 31 2 1 -3 + 2=4 -5 -35 10 9 5 5 34 8 6 2021/5/21162.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 3. 性质性质 设设A, B, C, O是同型矩阵是同型矩阵, k, l是数是数, 则则 (1) A + B =
12、B + A, (2) (A + B) + C = A + (B + C), (3) A + O = A, (4) A + ( A) = O, (5) 1A = A, (6) k(lA) = (kl)A, (7) (k + l)A = kA + lA, (8) k(A + B) = kA + kB, (9) kA = O (k = 0或或A = O). 2021/5/21172.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 二二. 矩阵的乘积矩阵的乘积 某厂家向某厂家向某厂家向某厂家向A, B, CA, B, C三个代理商发送四
13、款产品三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品. . 18000 18000 = = 18000 18000 2020 200 200 + +5050 100 100 + +3030 150 150 + +2525 180 180 2021/5/21182.22.2矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 二二. 矩阵的乘积矩阵的乘积 某厂家向某厂家向某厂家向某厂家向A, B, CA, B, C三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品. . 18000 1800
14、0 18150 18150 = = 18150 18150 2020 180 180 + +5050 120 120 + +3030 160 160 + +2525 150 150 2021/5/21192.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 二二. 矩阵的乘积矩阵的乘积 某厂家向某厂家向某厂家向某厂家向A, B, CA, B, C三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品. . 18000 18000 18150 18150 16750 16750 = = 16750
15、16750 2020 190 190 + +5050 100 100 + +3030 140 140 + +2525 150 150 2021/5/21202.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 二二. 矩阵的乘积矩阵的乘积 某厂家向某厂家向某厂家向某厂家向A, B, CA, B, C三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品. . 18000 18000 18150 18150 16750 16750 10480 10480 = = 10480 10480 1616 2
16、00 200 + +2020 100 100 + +1616 150 150 + +1616 180 180 2021/5/21212.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 二二. 矩阵的乘积矩阵的乘积 某厂家向某厂家向某厂家向某厂家向A, B, CA, B, C三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品. . 18000 18000 18150 18150 16750 16750 10480 10480 10240 10240 = = 10240 10240 1616 1
17、80 180 + +2020 120 120 + +1616 160 160 + +1616 150 150 2021/5/21222.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 二二. 矩阵的乘积矩阵的乘积 某厂家向某厂家向某厂家向某厂家向A, B, CA, B, C三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品三个代理商发送四款产品. . 18000 18000 18150 18150 16750 16750 10480 10480 10240 10240 = = 984098401616 190 1
18、90 + +2020 100 100 + +1616 140 140 + +1616 150 150 9840 9840 2021/5/2123200 180 190100 120 100150 160 140180 150 15020 50 30 2516 20 16 162.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 二二. 矩阵的乘积矩阵的乘积 18000 18000 18150 18150 16750 16750 10480 10480 10240 10240 9840 9840 =2 4 44 3 32 3 320
19、21/5/21242.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1. 定义定义 A = aijm s与与B = bijs n的的乘积乘积是一个是一个 m n矩阵矩阵C = cijm n , 其中其中 cij = ai1b1j + ai2b2j + aisbsj = aikbkj. k k=1=1s s记为记为C = AB. 称称AB为为“以以A左乘左乘B” 或或 “以以B 右乘右乘A”. 矩阵矩阵A第第i行的每个元素（数）行的每个元素（数）aik分别乘分别乘矩阵矩阵B第第j列对应的元素列对应的元素bkj ,其积其积aik
20、bkj再求和再求和得到矩阵得到矩阵C第第i行第行第j列的元素列的元素cij 。2021/5/2125第第i行第行第j列列第第i行行第第j列列2.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 2021/5/2126例例3. 设矩阵求乘积 解解 2.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2021/5/2127 例例4. 设矩阵 ，求 AB 及 BA 解解2.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 显然：显然：AB BA2021
21、/5/2128， 例例5. 设设2.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 和和求求AB和和BA2021/5/21292.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 2. 矩阵乘积的特殊性矩阵乘积的特殊性 (1)只有当矩阵只有当矩阵 A的的列列数等于矩阵数等于矩阵B的的行行数时数时, 乘积乘积 AB才有意义才有意义. (2) Am n, Bn m AB和和BA都有意义都有意义. 但但 AB是是m阶方阶方阵阵, BA是是n阶方阶方阵阵. 当当m n时时,
22、 AB与与BA不是同类型的不是同类型的. 当当m = n时时, AB与与BA是同阶是同阶方方阵阵, 但但 AB与与BA未必相等未必相等. 例如例如: 2021/5/21302.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1 1 2 2 2 4 1 2 1 0 0 1 1 1 2 2 2 4 1 2 1 0 0 1=0 00 0 3 3 6 1 1 2 2 2 4 = 1 1 2 2 1 21 2=0 00 0 1 1 2 2 1 21 2= 3 3 3 3 2021/5/21312.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩
23、阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 1 1 2 2 2 4 1 2 1 0 0 1=0 00 0 1 1 2 2 1 21 2=0 00 0AB = O (A = O或或B = O). (AB = AC 且且 A O) B = C. (BA = CA 且且 A O) B = C. (3) A可逆可逆2021/5/21322.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 设设k是数是数, 矩阵矩阵A, B, C 使得以下两端都使得以下两端都有意义有意义, 则则(1) (AB)C = A(BC)
24、, 3. 矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质 2021/5/21332.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 结合律的妙用之一结合律的妙用之一 例例6 设设A = BC, 其中其中B = , C = 1 2 3, 123A(AA) = ? 1 2 3 2 4 6 3 6 9 则则A = , CB = 1 2 3 1 2 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 = 14. A(AA) = (BC)(BC)(BC)= B(CB)(CB)C =B(14)(14)C = 142BC= 196A2021/5/21342.2 2.2 矩
25、阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 设设k是数是数, 矩阵矩阵A, B, C 使得两端都有意义使得两端都有意义, 则则(2) A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC,(3) (kA)B = k(AB).4. 方阵方阵A的的正整数幂正整数幂 A1 = A, A2 = AA, , Ak+1 = AkA. 3. 矩阵乘法的性质矩阵乘法的性质 (1) (AB)C = A(BC), 2021/5/21352.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵
26、矩阵 结合律的妙用之一结合律的妙用之一 例例7. 设设A = BC, 其中其中B = , C = 1 2 3, 123A2017 = ? 1 2 3 2 4 6 3 6 9 则则A = , CB = 1 2 3 1 2 3 = 1 1 + 2 2 + 3 3 = 14. A2017 = (BC)(BC)(BC)(BC)(BC)(BC)= B(CB)(CB)(CB)(CB)C = 142016BC= 142016A2021/5/21362.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 AkAl = Ak+l, (Ak)l = A
27、kl (AB)k = AkBk 但即使但即使A与与B是同阶方阵是同阶方阵, 未必成立未必成立! 容易验证容易验证 2021/5/21372.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 (AB)k = AkBk 要说明即使要说明即使 A与与B是同阶方阵是同阶方阵, 未必成立未必成立, 只要举出一个反例即可只要举出一个反例即可. 例如例如A = 1 10 0, B = 1 01 0, AB = 2 00 0,A2 =1 10 0= A, B2 =1 01 0=B,(AB)2 =4 00 0, A2B2 = AB =2 00 0.
28、 A2 =1 10 0= A, B2 =1 01 0=B,2021/5/2138注注: 若若AB = BA, 则则(AB)k = AkBk. A = 0 10 0, B = 1 00 0, AB = 0 00 0,BA =0 10 0,AB BA, 但但(AB)k = AkBk成立成立(k1). (AB)2 =0 00 0, A2B2 = 0 00 0.A2 =0 00 0B2 =1 00 02021/5/21392.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 (A B)2 = A2 AB BA + B2 注注: (A +
29、B)2 = (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2 (A + B)(A B) = A2 AB + BA B2 2021/5/21402.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 A 方阵方阵 f(x) = asxs + as 1xs 1 + + a1x + a0 f(A) = asAs + as 1As 1 + + a1A + a0E f(x) 多项式多项式 注意注意! 5. 方阵方阵A的的多项式多项式 1 2 -1 2例例A = f(x) = x2 +x +3 f(A)=412021/5/2
30、1412.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 三三. 矩阵的转置矩阵的转置 1. 定义定义: A = a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn AT = 的的转置转置a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn Transpose matrix2021/5/21422.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 (1) (AT)T = A, (2) (A+B)T = AT + BT, (3)
31、(kA)T = kAT, (4) (AB)T = BTAT. 2. 性质性质 2021/5/21432.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 例例8 已知已知求求解：解：(方法方法1)所以，所以，2021/5/2144 2.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 (方法方法2)：2021/5/21452.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 3. 对称矩阵对称矩阵 则称则称A为为对称矩阵对称矩阵. 若若方阵方阵A = aijn n满足满足AT = A, 即即 1 22 1 1 0 1 0 x 3 1 3 0aij = aji (i, j = 1, 2, , n) 2021/5/21462.2 2.2 矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算矩阵的代数运算 第二章第二章第二章第二章 矩阵矩阵矩阵矩阵 4. 反对称矩阵反对称矩阵 则称则称A为为反对称矩阵反对称矩阵. 若若方阵方阵A = aijn n满足满足AT = A, 即即 0 22 0 0 1 1 1 0 3 1 3 0aij = aji (i, j = 1, 2, , n), 2021/5/2147
