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1、第四节一、立体体积一、立体体积 二、曲面的面积二、曲面的面积 三、物体的质心三、物体的质心 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 五、物体的引力五、物体的引力 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分的应用 三、物体的质心三、物体的质心设空间有设空间有n个质点个质点,其质量分别其质量分别由力学知由力学知, 该该质点系质点系的质心坐标的质心坐标设物体占有空间域设物体占有空间域 , 有连续密度函数有连续密度函数则则 公式公式 ,分别位于分别位于为为为为即即:采用采用 “大化小大化小, 常代变常代变, 近似和近似和, 取极限取极限” 可导出其质心可导出其质心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将
2、将 分成分成 n 小块小块,将第将第 k 块看作质量集中于点块看作质量集中于点例如例如,令各小区域的最大直径令各小区域的最大直径系的质心坐标系的质心坐标就近似该物体的就近似该物体的质心坐标质心坐标.的质点的质点,即得即得此质点此质点在第在第 k 块上任取一点块上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 同理可得同理可得则得则得形心坐标形心坐标：机动 目录 上页 下页 返回 结束 若物体为占有若物体为占有xoy 面上区域面上区域 D 的的平面薄片平面薄片,(A 为为 D 的面积的面积)得得D 的的形心坐标形心坐标:则它的则它的质心坐标为质心坐标为其面密度其面密度 对对 x 轴的轴的 静矩静矩
3、对对 y 轴的轴的 静矩静矩机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例12. 求位于两圆求位于两圆和和的质心的质心. 解解: 利用对称性可知利用对称性可知而而之间均匀薄片之间均匀薄片机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线剖面壁线的方程为的方程为内储有高为内储有高为 h 的均质钢液的均质钢液,解解: 利用对称性可知质心在利用对称性可知质心在 z 轴上，轴上，采用柱坐标采用柱坐标, 则炉壁方程为则炉壁方程为因此因此故故自重自重, 求它的质心求它的质心.若炉若炉不计炉体的不计炉体的其坐标为其坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目
4、录 上页 下页 返回 结束 1. 1. 平面上平面上平面上平面上n n个质点所组成质点系的转动惯量个质点所组成质点系的转动惯量个质点所组成质点系的转动惯量个质点所组成质点系的转动惯量四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量如果物体是如果物体是平面薄片平面薄片,面面密度为密度为则转动惯量的表达式是二重积分则转动惯量的表达式是二重积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 连续物体的转动惯量连续物体的转动惯量因因质点系的转动惯量质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和等于各质点的转动惯量之和, 连续体的转动惯量可用积分计算连续体的转动惯量可用积分计算. 2. 连续物体的转动惯量连续物体的转动惯量设
5、物体占有空间区域设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数有连续分布的密度函数该物体位于该物体位于(x , y , z) 处的处的微元微元 因此物体因此物体 对对 z 轴轴 的转动惯量的转动惯量:对对 z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为 因因质点系的转动惯量质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和等于各质点的转动惯量之和, 故故 连续体的转动惯量可用积分计算连续体的转动惯量可用积分计算. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可得类似可得:对对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量对对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量对原点的转动惯量对原点的转动惯量机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例14.求半径为
6、求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图,半圆薄片的质量半圆薄片的质量的转动惯量的转动惯量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面薄板的平面薄板的平面薄板的平面薄板的的转动惯量的转动惯量举例举例举例举例例例例例15151 11 1-2-2D D解解: 取球心为原点取球心为原点, z 轴为轴为 l 轴轴,则则球体的质量球体的质量例例15.15.求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量的转动惯量.设球设球 所占域为所占域为(用球坐标用球坐标) 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 五、平面
7、薄板对质点的引力五、平面薄板对质点的引力五、平面薄板对质点的引力五、平面薄板对质点的引力y yx xo oD Dd d z z五、平面薄板对质点的引力五、平面薄板对质点的引力五、平面薄板对质点的引力五、平面薄板对质点的引力y yx xo oD Dd d z z G 为引力常数为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域设物体占有空间区域 ,物体对位于物体对位于原点原点的单位质量质点的引力的单位质量质点的引力利用元素法利用元素法,在在 上上积分即得各引力分量积分即得各引力分量:其密度函数其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为引力元素在三坐标轴上的投影分别为机动 目录 上页 下页
8、返回 结束 对对 xoy 面上的平面薄片面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点它对原点处的单位质量质点的的引力分量为引力分量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例16.设面密度为设面密度为 ,半径为半径为R的圆形薄片的圆形薄片求它对位于点求它对位于点解解: 由对称性知引由对称性知引力力处的单位质量质点的引力处的单位质量质点的引力. 。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例17. 求半径求半径 R 的均匀球的均匀球对位于对位于的单位质量质点的引力的单位质量质点的引力.解解: 利用对称性知引力分量利用对称性知引力分量点机动 目录 上页 下页 返回 结束 为球的质量为球的质量机动 目录
9、上页 下页 返回 结束 作业作业P96 7，10 , 17 P116 1，3，6, 11, 13 , 14习题课 目录 上页 下页 返回 结束 ( t 为时间为时间) 的雪堆在融化过程中的雪堆在融化过程中,其其侧面满足方程侧面满足方程设长度单位为厘米设长度单位为厘米, 时间单位为小时时间单位为小时, 设有一高度为设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数比例系数 0.9 ),问高度为问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要的雪堆全部融化需要 多少小时多少小时? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题提示提示:记雪堆体积为记雪堆体积为 V, 侧面积为侧面积为 S ,则则(用极坐标) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由题意知由题意知令得(小时)因此高度为因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为的雪堆全部融化所需的时间为100小时小时.机动 目录 上页 下页 返回 结束
