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1、3 3. .1 1.1 .1 椭圆及其标准椭圆及其标准方程方程X生活中生活中的椭圆的椭圆F1F2M11取一条细绳，取一条细绳，取一条细绳，取一条细绳，22把它的两端固定在板上把它的两端固定在板上把它的两端固定在板上把它的两端固定在板上的两点的两点的两点的两点F F1 1、F F2 233用铅笔尖（用铅笔尖（用铅笔尖（用铅笔尖（MM）把细绳）把细绳）把细绳）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察拉紧，在板上慢慢移动观察拉紧，在板上慢慢移动观察拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形画出的图形画出的图形画出的图形数学实验数学实验椭圆的图形椭圆的图形观察做图过程：观察做图过程：1绳长应当大于绳长应当大于F1、F2
2、之间的距离。之间的距离。2由于绳长固定，由于绳长固定，所以所以 M 到两个定点到两个定点的距离和也固定。的距离和也固定。注意注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方：椭圆定义中容易遗漏的三处地方： （1） 必须在平面内必须在平面内. （2）两个定点）两个定点-两点间距离确定两点间距离确定 （3）绳长）绳长-轨迹上任意点到两定点距离和确定轨迹上任意点到两定点距离和确定思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（线段）在同样的绳长下，两定点间距的椭圆较扁（线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（圆）离较短，则所画出的椭圆
3、较圆（圆）由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关一、一、 椭圆定义：椭圆定义：平面内与两个定点的距离和等于常数（大于平面内与两个定点的距离和等于常数（大于）的点的轨迹叫作）的点的轨迹叫作椭圆椭圆，这两个定点叫做，这两个定点叫做椭圆的焦椭圆的焦点点，两焦点间的距离叫做，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距 |MF1|+|MF2|=2a (2a2c0, |F1F2|=2c)MF1F2 1. 改变两图钉之间的距离，使其与改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2绳长能小于两图钉之间的距离吗？绳长能
4、小于两图钉之间的距离吗？ 1. 改变两图钉之间的距离，使其与改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？2绳长能小于两图钉之间的距离吗？绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 即即2a2c时时 表示椭圆表示椭圆即即2a=2c时时表示线段表示线段即即2a0)，M与与F1和和F2的距离的和等于正的距离的和等于正常数常数2a (2a2c) ，则，则F1、F2的的坐标分别是坐标分别是( c,0)、(c,0) .xF1F2M0y（问题：下面怎样（问题：下面怎样化化简？）简？）由椭圆的定义得，由椭圆的定义得，椭圆就是集合椭圆就是集合：代代入坐标入坐标二、椭圆的标准方
5、程的推导二、椭圆的标准方程的推导两边除以两边除以 得得由椭圆定义可知由椭圆定义可知整理得整理得两边再平方，得两边再平方，得移项，再平方移项，再平方思考思考? ?观察右图观察右图,你能从中找出你能从中找出表示表示a,c, 的线段么的线段么?F1F2P0xy总体印象：对称、简洁，总体印象：对称、简洁，“像像”直线方程的截距直线方程的截距式式焦点在焦点在y轴：轴：焦点在焦点在x轴：轴：1.1.椭圆的标准方程椭圆的标准方程1oFyx2FM12yoFFMx其中其中 图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) )a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2MF
6、1+MF2=2a (2a2c0)定定 义义12yoFFMx1oFyx2FM2.2.两类标准方程的对照表两类标准方程的对照表注注: :共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是分式平方和，右边是心在坐标原点的椭圆；方程的左边是分式平方和，右边是1.不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项项分母较大分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项项分母较大分母较大.课堂练习：课堂练习：1.口答：下列方程哪些表示椭圆？口答：下列方程哪些表示椭圆？ 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？并
7、指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标.?AxyoB例例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程、写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =3，b=1，焦点在，焦点在 x 轴轴上上； (2) a =3，b=1，焦点在坐标轴上；，焦点在坐标轴上； (3) 两个焦点的坐标是（两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（）和（ 0 ，2），并且经），并且经 过点过点P（ - -1.5 ，2.5）.解解： 因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y轴上，轴上， 设它的标准方程为设它的标准方程为 c=2，且 c2= a2 - b2 4= a2 - b2 又又椭圆经过点椭圆经过点 联立联立可求得：可求得： 椭圆的椭圆
8、的标准方程为标准方程为 (法一法一)xyF1F2P或(法二法二) 因为椭圆的焦点在因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的轴上，所以设它的标准方程为标准方程为由椭圆的定义知，由椭圆的定义知，所以所求椭圆的标准方程为所以所求椭圆的标准方程为xyF1F2P 定义法：定义法：如果所给几何条件正好符合某如果所给几何条件正好符合某一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可直接利用定义写出动点的轨迹方程直接利用定义写出动点的轨迹方程. 待定系数法：待定系数法：所求曲线方程的类型已知，所求曲线方程的类型已知，则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求则可以设出所求曲线的方程，然后根
9、据条件求出系数出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要用待定系数法求椭圆方程时，要“先定先定型，再定量型，再定量”. 求曲线方程的方法：1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程练习练习2. 根据椭圆的方程填空根据椭圆的方程填空1、椭圆的定义（强调、椭圆的定义（强调2a|F1F2|）和椭圆的标）和椭圆的标 准方程准方程 2、椭圆的标准方程有两种，注意区分、椭圆的标准方程有两种，注意区分 4、求椭圆标准方程的方法、求椭圆标准方程的方法 3、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法、根据椭圆标准方程判断焦点位置的方法 解：取过焦点解：取过焦点F1、F2的直线为的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的垂直的垂直平分线为平分线为y轴，轴，建建立平面直角坐标系立平面直角坐标系(如图如图). 设设M(x, y)是椭圆上任意一是椭圆上任意一点，椭圆的焦距点，椭圆的焦距2c(c0)，M与与F1和和F2的距离的和等于正的距离的和等于正常数常数2a (2a2c) ，则，则F1、F2的的坐标分别是坐标分别是( c,0)、(c,0) .xF1F2M0y（问题：下面怎样（问题：下面怎样化化简？）简？）由椭圆的定义得，由椭圆的定义得，椭圆就是集合椭圆就是集合：代代入坐标入坐标二、椭圆的标准方程的推导二、椭圆的标准方程的推导
