《高考数学一轮总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 2.2 函数的基本性质课件 理 新人教B版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 2.2 函数的基本性质课件 理 新人教B版（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.2函数的基本性质高考理数高考理数一、函数的单调性1.单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,(1)若f(x1)f(x2),则f(x)在区间D上是减函数.2.函数的单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.二、函数的奇偶性与周期性1.偶函数和奇函数知识清单偶函数奇函数定义条件对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)结论函数f(x)叫做偶函数函数f(x)叫做奇函数图
2、象特征图象关于y轴对称图象关于原点对称2.周期性对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函数的周期.如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.三、函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足条件对于任意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0)=M对于任意的xI,都有f(x)M;存在x0I,使得f(x0)=M结论M是y=f(x)的最大值M是y=f(x)的最小值【知识拓展】【知识拓展】1.函数的单调性只能在函数的
3、定义域内来讨论.函数y=f(x)在给定区间上的单调性反映了函数在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的,所以要受到区间的限制.2.对函数奇偶性定义的理解不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上,要明确函数具备奇偶性的必要条件:函数的定义域关于原点对称.稍加推广,可得函数f(x)的图象关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x,都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映.3.对称性与周期的关系(1)若函数f(x)的图象关于直线x=a和直线x=b对称
4、,则函数f(x)必为周期函数,2|a-b|是它的一个周期.(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)必为周期函数,2|a-b|是它的一个周期.(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x=b对称,则函数f(x)必为周期函数,4|a-b|是它的一个周期.方法方法1函数单调性的判定、单调区间的求法及应用函数单调性的判定、单调区间的求法及应用1.求函数的单调区间.常用的方法:(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义确定单调区间.(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x
5、)的图象易作出,则可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.2.若函数f(x)在定义域上(或某一区间上)是增函数,则f(x1)f(x2)x1f(2a-x)在a,a+1上恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-,-2)B.(-,0)C.(0,2)D.(-2,0)(2)(2015辽宁葫芦岛一模,15,5分)函数f(x)=log0.5(x2-4)的单调递增区间为.突破方法解析解析(1)函数f(x)=x2-4x+3在(-,0上为减函数,且f(x)=-x2-2x+3在(0,+)上也为减函数,又因为函数f(x)为R上的连续函数,所以f(x)在R上为减函数,因为f
6、(x+a)f(2a-x),所以x+a2a-x,即2x-a0.因为函数y=2x-a在a,a+1上为增函数,所以xa,a+1时,ymax=2(a+1)-a=a+2,因为不等式2x-a0在a,a+1上恒成立,所以a+20,所以a0,得函数f(x)的定义域为(-,-2)(2,+),令t=x2-4,y=log0.5t在t(0,+)上单调递减,t=x2-4(x2或x-2)的单调递减区间为(-,-2),f(x)的单调递增区间为(-,-2).答案答案(1)A(2)(-,-2)1-1(2015四川泸州一模,4,5分)下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2(0,+),都有0”的是()A.f(x)=lnxB.f
7、(x)=(x-1)2C.f(x)=D.f(x)=x3答案答案C解析解析对任意x1,x2(0,+),都有0,不妨令0x1f(x2),所以f(x)在(0,+)上是减函数,对于A,f(x)=lnx在(0,+)上是增函数,故A不满足;对于B,函数f(x)=(x-1)2在(-,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数,故B不满足;对于C,函数f(x)=在(-1,+),(-,-1)上均为减函数,则在(0,+)上是减函数,故C满足;对于D,函数f(x)=x3在R上是增函数,故D不满足,故选C.方法方法2函数的奇偶性的判定及应用函数的奇偶性的判定及应用1.根据定义判断:(1)首先确定函数的定义域,看它是否关于原
8、点对称,若不对称,则既不是奇函数也不是偶函数.(2)若定义域关于原点对称,再判定f(-x)与f(x)之间的关系,然后确定函数的奇偶性.2.利用函数的图象特征判断函数f(x)是奇函数f(x)的图象关于原点对称;函数f(x)是偶函数f(x)的图象关于y轴对称.3.根据性质判断(在公共定义域内):奇奇=奇,偶偶=偶;奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.4.抽象函数奇偶性的判断(1)找准方向:找出含有f(x),f(-x)的等式;(2)合理变形:适当赋值、配凑,通过代入或加减等方法建立f(x)与f(-x)的联系,x1=x2+x1-x2,x1=x2都是常用的变形方法;(3)明确结论:找到f(x)与f(-x)之间
9、的关系,从而确定函数的奇偶性.5.函数奇偶性的应用(1)求函数解析式:当已知函数f(x)在原点一侧的解析式时,利用f(-x)与f(x)的关系得到在原点另一侧的解析式,即可求得函数在整个定义域内的解析式.当函数表达式中含有字母参数时,利用f(-x)f(x)=0可得关于字母的恒等式,由系数对应相等即可求得字母参数的值.(2)求某些特殊的函数值:奇函数的图象关于原点对称,有f(-x0)+f(x0)=0,而偶函数的图象关于y轴对称,有f(-x0)=f(x0).若已知f(-x0)的值,由上述关系可求得f(x0)的值.例例2(1)(2015江西模拟,4,5分)已知函数f(x)=x-2,g(x)=x3+ta
10、nx,那么()A.f(x)g(x)是奇函数B.f(x)g(x)是偶函数C.f(x)+g(x)是奇函数D.f(x)+g(x)是偶函数(2)(2012课标全国,16,5分)设函数f(x)=的最大值为M,最小值为m,则M+m=.解析解析(1)函数f(x)g(x)=x-2(x3+tanx),函数的定义域为(kZ),则f(-x)g(-x)=x-2(-x3-tanx)=-x-2(x3+tanx)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数.函数f(x)+g(x)=x-2+(x3+tanx),函数的定义域为(kZ),f(-x)+g(-x)=x-2-x3-tanx-(f(x)+g(x),f(-x)+g(
11、-x)f(x)+g(x),所以f(x)+g(x)是非奇非偶函数,故选A.(2)显然其定义域为全体实数,f(x)=1+,设g(x)=,g(-x)=-g(x),g(x)为奇函数,由奇函数图象的对称性知g(x)max+g(x)min=0,M+m=g(x)+1max+g(x)+1min=2+g(x)max+g(x)min=2.答案答案(1)A(2)22-1(2015河南天一四联,5,5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+2-x,则f( 2 ) +g(2)=()A.4B.-4C.2D.-2答案答案B解析解析f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇
12、函数,且f(x)-g(x)=x3+2-x,f(-2)-g(-2)=(-2)3+22=-4,f(2)+g(2)=f(-2)-g(-2)=-4.故选B.2-2(2014课标,3,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案答案C解析解析由题意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A,f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)
13、|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B项错误;对于选项C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.方法方法3函数周期的求法及应用函数周期的求法及应用1.几种常见抽象函数的周期2.求一般函数周期的方法:递推法:若f(x+a)=-f(x),则f(x+2a)=f(x+a)+a=-f(x+a)=f(x),所以2a为f(x)的一个周期.换元法:若f(x+a
14、)=f(x-a),令x-a=t,则x=t+a,则f(t+2a)=f(t+a+a)=f(t+a-a)=f(t),所以2a为f(x)的一个周期.例例3(2015四川达州一模,5,5分)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2)=3,则f(8)-f( 4 ) 的值为()A.-1B.1C.-2D.2解析解析f(x)是R上周期为5的奇函数,f(-x)=-f(x),f(-1)=-f(1)=-1,f(-2)=-f(2)=-3,f(8)=f(8-5)=f(3)=f(3-5)=f(-2)=-3,性质f(x+a)=-f(x)f(x+a)=f(x+a)=-f(x+a)=f(x-a)f(x+a)=f(x+b)(ab)f(2a-x)=f(x)且f(2b-x)=f(x)(ab)周期2|a|2|a|2|a|2|a|a-b|2|b-a|f(4)=f(4-5)=f(-1)=-1,f(8)-f(4)=-3-(-1)=-2,故选C.答案答案C3-1(2016广西南宁二中4月月考,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1上,f(x)=其中a,bR,若f=f,则a+3b的值为.答案答案-10解析解析T=2,f=f=-a+1.f=,-a+1=,a+b=-1.又f(1)=f(-1),-a+1=,b=-2a.由解得a=2,b=-4,a+3b=-10.
