六章节概率与概率分布

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1、 第六章第六章 概率与概率分布概率与概率分布n n 本章是推本章是推断统计的断统计的基础基础主主要要内内容容基础概率基础概率概率的数学性质概率的数学性质概率分布、期望值与变异数概率分布、期望值与变异数9/11/20241参数估计和假设检验参数估计和假设检验 推断推断推断推断统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。这是以概率论为基础的。 随机原则随机原则总体参数总体参数统计量统计量推断估计推断估计参数估计参数估计检验检验假设检验假设检验抽样分布抽样分布9/11/20242第一节第一节 基础概率基础概率 概率论起源于概率论起源于

2、概率论起源于概率论起源于1717世纪，当时在人口统计、人寿保险世纪，当时在人口统计、人寿保险世纪，当时在人口统计、人寿保险世纪，当时在人口统计、人寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。 参赌者就想：如果同时掷两颗骰子参赌者就想：如果同时掷两颗骰子参赌者就想：如果同时掷两颗

3、骰子参赌者就想：如果同时掷两颗骰子 ，则点数之和为，则点数之和为，则点数之和为，则点数之和为9 9 9 9 和点数之和为和点数之和为和点数之和为和点数之和为10 10 10 10 ，哪种情况出现的可能性较大？，哪种情况出现的可能性较大？，哪种情况出现的可能性较大？，哪种情况出现的可能性较大？ 例如例如例如例如17171717世纪中叶，贵族德世纪中叶，贵族德世纪中叶，贵族德世纪中叶，贵族德梅尔发现：将一枚骰子梅尔发现：将一枚骰子梅尔发现：将一枚骰子梅尔发现：将一枚骰子连掷四次，出现一个连掷四次，出现一个连掷四次，出现一个连掷四次，出现一个6 6 点的机会比较多，而同时将两枚点的机会比较多，而同时

4、将两枚点的机会比较多，而同时将两枚点的机会比较多，而同时将两枚掷掷掷掷24242424次，出现一次双次，出现一次双次，出现一次双次，出现一次双6 6 的机会却很少。的机会却很少。的机会却很少。的机会却很少。 9/11/20243 概率论的创始人是法国的帕斯卡概率论的创始人是法国的帕斯卡概率论的创始人是法国的帕斯卡概率论的创始人是法国的帕斯卡(16231662)(16231662)和费和费和费和费尔马尔马尔马尔马(16011665)(16011665)，他们在以通信的方式讨论赌博的机率，他们在以通信的方式讨论赌博的机率，他们在以通信的方式讨论赌博的机率，他们在以通信的方式讨论赌博的机率问题时，发

5、表了问题时，发表了问题时，发表了问题时，发表了骰子赌博理论骰子赌博理论骰子赌博理论骰子赌博理论一书。棣莫弗一书。棣莫弗一书。棣莫弗一书。棣莫弗(1667(16671754)1754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654(1654一一一一1705)1705)提出了二项分布理论。提出了二项分布理论。提出了二项分布理论。提出了二项分布理论。18141814年，法国的拉普拉斯年，法国的拉普拉斯年，法国的拉普拉斯年，法国的拉普拉斯(17491827)(17491827)发表了发表

6、了发表了发表了概率分析论概率分析论概率分析论概率分析论，该书奠定了古典概，该书奠定了古典概，该书奠定了古典概，该书奠定了古典概率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研究。此后，法国的泊松究。此后，法国的泊松究。此后，法国的泊松究。此后，法国的泊松(17811840)(17811840)提出了泊松分布，德提出了泊松分布，德提出了泊松分布，德提出了泊松分布，德国的高斯国的高斯国的高斯国的高斯(17771855)(17771855)提出了最小平方法。提出了最

7、小平方法。提出了最小平方法。提出了最小平方法。 9/11/202441.随机现象和随机事件随机现象和随机事件随机现象和随机事件随机现象和随机事件 随机现象具有一定随机现象具有一定条件呈现多种可能结条件呈现多种可能结果的特性。果的特性。 人们把随机现象的结人们把随机现象的结果以及这些结果的集合体果以及这些结果的集合体称作随机事件。称作随机事件。 概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象，如即机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象，如即将出生的婴儿是男还是女？一枚硬币落地后其正面是将出生的婴儿是男还是女？一枚硬币落地

8、后其正面是朝上还是朝下朝上还是朝下? ?等等。所有这些现象都有一个共同的等等。所有这些现象都有一个共同的特点，那就是在给定的条件下，观察所得的结果不止特点，那就是在给定的条件下，观察所得的结果不止一个。随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规一个。随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生律性。例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是可能性几乎一样大，都是0.50.5，这就是概率。，这就是概率。 9/11/20245 在统计学中，我们把类

9、似掷一枚硬币的行为（或对某在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某在统计学中，我们把类似掷一枚硬币的行为（或对某一随机现象进行观察）称之为随机试验。随机试验必须符一随机现象进行观察）称之为随机试验。随机试验必须符一随机现象进行观察）称之为随机试验。随机试验必须符一随机现象进行观察）称之为随机试验。随机试验必须符合以下三个条件：合以下三个条件：合以下三个条件：合以下三个条件：它可以在相同条件下重复进行；它可以在相同条件下重复进行；它可以在相同条件下重复进行；它可以在相同条件下重复进行；试验的所有结果事先已知；试验的所有结果事先已知；试验的所有结

10、果事先已知；试验的所有结果事先已知；每次试验只出现这些可能每次试验只出现这些可能每次试验只出现这些可能每次试验只出现这些可能结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。结果中的一个，但不能预先断定出现哪个结果。1. 1.样本点样本点样本点样本点2. 2.样本空间样本空间样本空间样本空间 例例例例 掷一颗骰子，试列出它的基本事件和样本空间。掷一颗骰子，试列出它的基本事件和样本空间。掷一颗骰子，试列出它的基本事件和样本空间。掷一颗骰子，试列出它的基本事件和样本空间。随机试验的每一个可能随机试验的每一个可能的结果，称为

11、基本事件的结果，称为基本事件（或称样本点）（或称样本点） 所有样本点的全体称作样本空所有样本点的全体称作样本空间间(Sample space)，记作，记作9/11/20246 简单事件简单事件：仅含样本空间中：仅含样本空间中一个样本点的事件。一个样本点的事件。复合事件复合事件：含样本空间中一：含样本空间中一个样本点以上的的事件。个样本点以上的的事件。必然事件必然事件：从样本空间来看：从样本空间来看 ，该，该事件事件是由其全部基本事件所事件事件是由其全部基本事件所组成，记作组成，记作S 。随随机机事事件件不可能事件不可能事件：从样本空间来看：从样本空间来看 ，不含任何基本事件，记作不含任何基本事

12、件，记作 。 极端的极端的随机事件随机事件9/11/20247 例例例例 对掷一颗骰子的试验，我们研究如下对掷一颗骰子的试验，我们研究如下对掷一颗骰子的试验，我们研究如下对掷一颗骰子的试验，我们研究如下事件：事件：事件：事件：A A为为为为“ “点数是点数是点数是点数是3”3”；B B为为为为“ “出现奇数出现奇数出现奇数出现奇数点点点点” ”；C C为为为为“ “出现点数不超过出现点数不超过出现点数不超过出现点数不超过6”6”；D D为为为为“ “点数是点数是点数是点数是7”7”。 解解解解 因为因为因为因为11，2 2，3 3，4 4，5 5，66，所以，所以，所以，所以 A A3 3 ，

13、为简单事件；，为简单事件；，为简单事件；，为简单事件； B B11，3 3，55，为复合事件；，为复合事件；，为复合事件；，为复合事件； C C11，2 2，3 3，4 4，5 5，66，为必然事件；，为必然事件；，为必然事件；，为必然事件； D D77，为不可能事件。，为不可能事件。，为不可能事件。，为不可能事件。 9/11/202482. 2. 事件之间的关系事件之间的关系事件之间的关系事件之间的关系 （1 1）事件和（）事件和（）事件和（）事件和（Or conjunction)Or conjunction)事件事件事件事件A A与与与与事件事件事件事件B B至少有一个事件发生所构成的事件

14、至少有一个事件发生所构成的事件至少有一个事件发生所构成的事件至少有一个事件发生所构成的事件C C称为称为称为称为A A与与与与B B的事件和，记作的事件和，记作的事件和，记作的事件和，记作 （2 2）事件积）事件积）事件积）事件积(As-well-as conjunction)(As-well-as conjunction)事事事事件件件件A A与事件与事件与事件与事件B B同时发生所构成的事件同时发生所构成的事件同时发生所构成的事件同时发生所构成的事件C C称为称为称为称为A A与与与与B B的事件积，记作的事件积，记作的事件积，记作的事件积，记作9/11/20249 （3 3）事件的包含与

15、相等）事件的包含与相等）事件的包含与相等）事件的包含与相等事件事件事件事件A A发生必然发生必然发生必然发生必然导致事件导致事件导致事件导致事件B B发生，则称为发生，则称为发生，则称为发生，则称为B B包含包含包含包含A A记作记作记作记作 如果如果如果如果 则则则则 （4 4）互斥事件）互斥事件）互斥事件）互斥事件事件事件事件事件A A和事件和事件和事件和事件B B不能同时不能同时不能同时不能同时发生，则称发生，则称发生，则称发生，则称B B和和和和A A是互斥事件，或互不相容事是互斥事件，或互不相容事是互斥事件，或互不相容事是互斥事件，或互不相容事件，记作件，记作件，记作件，记作9/11

16、/202410 （5 5）对立事件）对立事件）对立事件）对立事件事件事件事件事件A A与事件与事件与事件与事件B B是互斥事是互斥事是互斥事是互斥事件，且在一次试验中必有其一发生，称件，且在一次试验中必有其一发生，称件，且在一次试验中必有其一发生，称件，且在一次试验中必有其一发生，称A A与与与与B B为为为为对立事件（逆事件），记作对立事件（逆事件），记作对立事件（逆事件），记作对立事件（逆事件），记作 （6 6）相互独立事件）相互独立事件）相互独立事件）相互独立事件事件事件事件事件A A的发生与事的发生与事的发生与事的发生与事件件件件B B是否发生毫无关系，称是否发生毫无关系，称是否发生毫

17、无关系，称是否发生毫无关系，称A A与与与与B B为相互独立事为相互独立事为相互独立事为相互独立事件，记作件，记作件，记作件，记作 9/11/202411两之两之 随间随间 机的机的 事关事关 件系件系9/11/2024123. 3. 先验概率先验概率先验概率先验概率 在统计学中，有两种常见的确定概率的方法：古在统计学中，有两种常见的确定概率的方法：古在统计学中，有两种常见的确定概率的方法：古在统计学中，有两种常见的确定概率的方法：古典法和频率法。典法和频率法。典法和频率法。典法和频率法。 由普拉斯1814年提出。以想象总体为对象，利用模型本身所具有的对称性来事先求得概率，故被称为先验概率 。

18、 条件： （1）在一样本空间中，各样本点出现的机会均等； （2）该样本空间只有有限（n)个样本点。用古典用古典用古典用古典法求出法求出法求出法求出的概率的概率的概率的概率9/11/202413 例例 掷两枚均匀的硬币，掷两枚均匀的硬币， 求求“ “两枚都朝上两枚都朝上” ”的概率；的概率； 求求“ “一枚朝上，一枚朝下一枚朝上，一枚朝下” ”的的概率。概率。 这样对于含有这样对于含有这样对于含有这样对于含有mm个样本点的事件个样本点的事件个样本点的事件个样本点的事件A A，其出现，其出现，其出现，其出现的概率为的概率为的概率为的概率为n n 用古典法求算概率，在应用上有两个缺点：它只适用于有限

19、样本点的情况；它假设机会均等，但这些条件实际上往往不能得到满足。 9/11/2024144. 4. 经验概率经验概率经验概率经验概率 求算概率的另一途径是运用频率法。设想有一个与某试验相联求算概率的另一途径是运用频率法。设想有一个与某试验相联求算概率的另一途径是运用频率法。设想有一个与某试验相联求算概率的另一途径是运用频率法。设想有一个与某试验相联系的事件系的事件系的事件系的事件A A，把这个试验一次又一次地做下去，每次都记录事件，把这个试验一次又一次地做下去，每次都记录事件，把这个试验一次又一次地做下去，每次都记录事件，把这个试验一次又一次地做下去，每次都记录事件A A是否发生了。假如做了是

20、否发生了。假如做了是否发生了。假如做了是否发生了。假如做了 n n 次试验，而记录到事件次试验，而记录到事件次试验，而记录到事件次试验，而记录到事件A A发生了发生了发生了发生了 m m 次次次次（即成功（即成功（即成功（即成功 m m 次），则频数与试验次数的比值，称作次试验中事件次），则频数与试验次数的比值，称作次试验中事件次），则频数与试验次数的比值，称作次试验中事件次），则频数与试验次数的比值，称作次试验中事件A A发生的频率发生的频率发生的频率发生的频率 显然，频率具有双重性质：随机性和规律性显然，频率具有双重性质：随机性和规律性显然，频率具有双重性质：随机性和规律性显然，频率具有双

21、重性质：随机性和规律性. . 当试验或观察次数趋近于无穷时相应频率趋于稳定，这个极当试验或观察次数趋近于无穷时相应频率趋于稳定，这个极当试验或观察次数趋近于无穷时相应频率趋于稳定，这个极当试验或观察次数趋近于无穷时相应频率趋于稳定，这个极限值就是用频率法所定义的概率，即限值就是用频率法所定义的概率，即限值就是用频率法所定义的概率，即限值就是用频率法所定义的概率，即 频率稳定到概率这个事实，给了频率稳定到概率这个事实，给了频率稳定到概率这个事实，给了频率稳定到概率这个事实，给了“ “机会大小机会大小机会大小机会大小” ”即概率一个浅显即概率一个浅显即概率一个浅显即概率一个浅显而而而而说得通的解释

22、，这在统计学上具有很重要的意义。坚持这种观点的说得通的解释，这在统计学上具有很重要的意义。坚持这种观点的说得通的解释，这在统计学上具有很重要的意义。坚持这种观点的说得通的解释，这在统计学上具有很重要的意义。坚持这种观点的统计学派也就被称为频率学派。统计学派也就被称为频率学派。统计学派也就被称为频率学派。统计学派也就被称为频率学派。 9/11/202415n n比如：比如：n n法国统计学家蒲丰（法国统计学家蒲丰（BuffonBuffon）把铜板抛了）把铜板抛了40404040次，次，正面的次数是正面的次数是20482048，比例是，比例是0.5069 0.5069 。n n19001900年，

23、英国统计学家皮尔逊把硬币抛了年，英国统计学家皮尔逊把硬币抛了2400024000次，正面的次数是次，正面的次数是1201212012，比例是，比例是0.50050.5005n n南非数学家柯屈瑞在监狱时，把硬币抛了南非数学家柯屈瑞在监狱时，把硬币抛了1000010000次，正面的次数是次，正面的次数是50675067，比例是，比例是0.5067 0.5067 。n n再如：再如：n n保险公司会利用概率进行人寿保险经营，比如研保险公司会利用概率进行人寿保险经营，比如研究表明究表明20202424岁的男性中明年死亡的概率是岁的男性中明年死亡的概率是0.00150.0015，同龄的女性是，同龄的女

24、性是0.00050.0005，保险公司对男性，保险公司对男性的保费就多收一些。的保费就多收一些。9/11/2024162. 2.加法规则加法规则加法规则加法规则 如果事件如果事件A A和事件和事件B B互斥，那么互斥，那么 如果如果A A和和B B是任何事件是任何事件( (不一定互斥不一定互斥) )，加法规则更普通地表示为如下形式加法规则更普通地表示为如下形式 第二节第二节 概率的数学性质概率的数学性质1.非负性非负性特别对必然事件特别对必然事件和不可能事件有和不可能事件有9/11/202417n n 例例例例 从一副普通扑克牌中抽一张牌，求抽到一张红从一副普通扑克牌中抽一张牌，求抽到一张红从

25、一副普通扑克牌中抽一张牌，求抽到一张红从一副普通扑克牌中抽一张牌，求抽到一张红桃或者方块的概率。桃或者方块的概率。桃或者方块的概率。桃或者方块的概率。 n n 例例例例 在一副在一副在一副在一副5252张扑克牌中，求单独抽取一次抽到一张扑克牌中，求单独抽取一次抽到一张扑克牌中，求单独抽取一次抽到一张扑克牌中，求单独抽取一次抽到一张红桃或爱司的概率。张红桃或爱司的概率。张红桃或爱司的概率。张红桃或爱司的概率。9/11/202418 加法规则可推广到对两个以上的事件，若事加法规则可推广到对两个以上的事件，若事加法规则可推广到对两个以上的事件，若事加法规则可推广到对两个以上的事件，若事件件件件A A

26、，B B，CKCK都互斥，那么有都互斥，那么有都互斥，那么有都互斥，那么有 P (P (A A或或或或B B或或或或C C或或或或K K) )P(P(A A)+P()+P(B B)+P()+P(C C) +P() +P(K K) ) 例例 根据上海市职业代际流动的统计，向下流动根据上海市职业代际流动的统计，向下流动的概率是的概率是0.070.07，静止不动的概率是，静止不动的概率是0.60.6，求向上流动的，求向上流动的概率是多少？概率是多少？ 例例 为了研究父代文化程度对子代文化程度的影为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中父亲具有大学文化程度的占响，某大学统计出学生中

27、父亲具有大学文化程度的占3030，母亲具有大学文化程度的占，母亲具有大学文化程度的占2020，而双方都具，而双方都具有文化程度的占有有文化程度的占有1010，问从学生中任抽一名，父代，问从学生中任抽一名，父代至少有一名具有大学文化程度的概率是多少？至少有一名具有大学文化程度的概率是多少？9/11/2024193.3.3.3.乘法规则乘法规则乘法规则乘法规则 式中符号式中符号 和和 代表条件概率。代表条件概率。 应理应理解为，解为，“在在B B已经发生条件下已经发生条件下A A发生的概率发生的概率”。条件概率的意思是，。条件概率的意思是，A A发生的概率可能与发生的概率可能与B B是否发生有关系

28、。换言之，是否发生有关系。换言之，B B已经发生时已经发生时A A发生发生的概率可能有别于的概率可能有别于B B没有发生时没有发生时A A发生的概率。发生的概率。 理解统计独立的概念，对于灵活运用概率的乘法规则理解统计独立的概念，对于灵活运用概率的乘法规则很重要。现在用条件概率来加以表达，统计独立是指很重要。现在用条件概率来加以表达，统计独立是指 若若A A和和B B在统计上相互独立在统计上相互独立( (无关无关) ) ，这时乘法规则可以简化为，这时乘法规则可以简化为 9/11/202420 例例例例 假定有下列假定有下列假定有下列假定有下列30003000个社区的数据，如果随机地从这个社区的

29、数据，如果随机地从这个社区的数据，如果随机地从这个社区的数据，如果随机地从这个总体中抽取一个社区，得到一个中等的而且犯罪率个总体中抽取一个社区，得到一个中等的而且犯罪率个总体中抽取一个社区，得到一个中等的而且犯罪率个总体中抽取一个社区，得到一个中等的而且犯罪率低的社区的概率是多少低的社区的概率是多少低的社区的概率是多少低的社区的概率是多少? ? 例例例例 假定数据变动如下，随机地从这个总体中抽取一个社区，得假定数据变动如下，随机地从这个总体中抽取一个社区，得假定数据变动如下，随机地从这个总体中抽取一个社区，得假定数据变动如下，随机地从这个总体中抽取一个社区，得到一个中等的而且犯罪率低的社区的概

30、率又是多少到一个中等的而且犯罪率低的社区的概率又是多少到一个中等的而且犯罪率低的社区的概率又是多少到一个中等的而且犯罪率低的社区的概率又是多少? ?属性属性属性属性大大大大中中中中小小小小总和总和总和总和高犯罪率高犯罪率高犯罪率高犯罪率60060030030010010010001000低犯罪率低犯罪率低犯罪率低犯罪率60060090090050050020002000总和总和总和总和120012001200120060060030003000属性属性属性属性大大大大中中中中小小小小总和总和总和总和高犯罪率高犯罪率高犯罪率高犯罪率10010030030060060010001000低犯罪率低犯

31、罪率低犯罪率低犯罪率50050090090060060020002000总和总和总和总和6006001200120012001200300030009/11/202421n n 例例 根据统计结果，男婴出生的概率是根据统计结果，男婴出生的概率是22/4322/43，女婴出生的概率是，女婴出生的概率是21/4321/43，某单位有两名，某单位有两名孕妇，问两名孕妇都生男婴的概率是多少？都孕妇，问两名孕妇都生男婴的概率是多少？都生女婴的概率是多少？其中一男一女的概率是生女婴的概率是多少？其中一男一女的概率是多少？多少？ n n 例例 某居民楼共某居民楼共2020户，其中核心家庭为户，其中核心家庭为

32、2 2户，问访问两户都是核心家庭的概率是多少？户，问访问两户都是核心家庭的概率是多少？问访问第二户才是核心家庭的概率是多少？问访问第二户才是核心家庭的概率是多少？9/11/202422n n 例 为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中父亲具有大学文化程度的占30，母亲具有大学文化程度的占20，而双方都具有文化程度的占有10，问从学生中任抽一名，父代至少有一名具有大学文化程度的概率是多少？9/11/202423 在抽样方法中还经常涉及到在抽样方法中还经常涉及到回置抽样回置抽样和和不回置抽样不回置抽样。如前所。如前所述，所谓回置抽样，就是抽取的单位登记后又被放回总体中去，然述

33、，所谓回置抽样，就是抽取的单位登记后又被放回总体中去，然后再进行下一次抽取。使用回置抽样法，先后两次抽取是彼此独立后再进行下一次抽取。使用回置抽样法，先后两次抽取是彼此独立的。因为每一次抽取后抽取到的单位都得返还，总体保持不变，前的。因为每一次抽取后抽取到的单位都得返还，总体保持不变，前一次的结果不可能影响到后一次。所谓不回置抽样，就是不再把抽一次的结果不可能影响到后一次。所谓不回置抽样，就是不再把抽取到的单位退还总体。这样先后两次抽取就不再独立了，必须使用取到的单位退还总体。这样先后两次抽取就不再独立了，必须使用条件概率的概念。条件概率的概念。n n用不回置法从一幅普用不回置法从一幅普通扑克

34、牌抽取两次，计算通扑克牌抽取两次，计算得到两张爱司的概率。得到两张爱司的概率。n n用回置法从一幅普通用回置法从一幅普通扑克牌抽取两次，计算扑克牌抽取两次，计算得到两张爱司的概率。得到两张爱司的概率。9/11/2024244. 4. 排列和样本点的计数排列和样本点的计数 要正确解决概率问题，往往光考虑乘法规则还不够，还要同时要正确解决概率问题，往往光考虑乘法规则还不够，还要同时考虑使用加法规则。一般最简单的做法是：首先确定一种符合要求考虑使用加法规则。一般最简单的做法是：首先确定一种符合要求的排列方式并计算它们发生的概率，然后再考虑还有没有其他同样的排列方式并计算它们发生的概率，然后再考虑还有

35、没有其他同样符合要求的排列方式。如果存在着其他实现方式，并且都具有相同符合要求的排列方式。如果存在着其他实现方式，并且都具有相同的概率，就可以简单地把排列方式数与以某一给定的排列方式计算的概率，就可以简单地把排列方式数与以某一给定的排列方式计算的概率相乘。注意，后一步相当于使用了加法规则。的概率相乘。注意，后一步相当于使用了加法规则。n n所有所有N N个元个元素都不相同的素都不相同的情况下，排列情况下，排列方式数为方式数为n nN N个元素中，若其中第一组中有个元素中，若其中第一组中有r r1 1个不能个不能区分的元素，第区分的元素，第2 2组中有组中有r r2 2个不能区分的元个不能区分的

36、元素，素，第，第k k组中有组中有r rk k个不能区分的元素，个不能区分的元素，且各组彼此是可以区分的，则总的排列数为且各组彼此是可以区分的，则总的排列数为9/11/202425 例例 从一幅洗得很好的扑克牌中做了从一幅洗得很好的扑克牌中做了3 3次抽取，假定使用回置次抽取，假定使用回置法，求至少得到法，求至少得到1 1张张A A和一张和一张K K的概率是多少的概率是多少? ? 解解 按照题意，要在不同样本空间中考虑三种复合事件：抽到按照题意，要在不同样本空间中考虑三种复合事件：抽到1 1张张A A和和1 1张张K K，另，另l l张非张非A A非非K K，用符号，用符号(AKO)(AKO)

37、表示表示( (其中其中“ “O”O”表示其表示其他他) )；抽到；抽到1 1张张A A和和2 2张张K K，用符号，用符号(4KK)(4KK)表示；抽到表示；抽到2 2张张A A和和1 1张张K K，用，用符号（符号（AAK)AAK)表示。因为在不同样本空间中基本事件实现的概率不表示。因为在不同样本空间中基本事件实现的概率不同，必须对它们加以区别。同，必须对它们加以区别。 次序为次序为AKOAKO的样本点实现的概率是的样本点实现的概率是 次序为次序为AKKAKK的样本点实现的概率是的样本点实现的概率是 次序为次序为AAKAAK的样本点实现的概率是的样本点实现的概率是 再考虑每个复合事件各含有多

38、少种可能的排列方式再考虑每个复合事件各含有多少种可能的排列方式 (AKK)(AKK)含有含有3 3！2!2!3 3种排列方式种排列方式 (AAK)(AAK)含有含有3 3！2!2!3 3种排列方式种排列方式 （AKO)AKO)含有含有3 3！6 6种排列方式种排列方式 所以，在三次抽取中，至少得到所以，在三次抽取中，至少得到1 1张张A A和和1 1张张K K的概率是的概率是 9/11/202426 例例 假如对假如对10001000个大学生进行歌曲欣赏调查，发现个大学生进行歌曲欣赏调查，发现其中有其中有500500个学生喜欢民族歌曲，个学生喜欢民族歌曲，400400个学生喜欢流行歌个学生喜欢

39、流行歌曲，而这些学生中有曲，而这些学生中有100100人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流行歌曲的，剩下来的学生两种歌曲都不喜欢。如果我们行歌曲的，剩下来的学生两种歌曲都不喜欢。如果我们随机地从该总体中抽取一个学生，并设事件随机地从该总体中抽取一个学生，并设事件A A为该学生喜为该学生喜欢民族歌曲，事件欢民族歌曲，事件B B为该学生喜欢流行歌曲。为该学生喜欢流行歌曲。 用数字证明用数字证明P(AP(A且且B)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)B)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) 得到一个喜欢两种风格歌曲之一的学生的概率是得到一个喜欢两种风格歌曲之一的学

40、生的概率是多少？多少？ 随机地选取一个由随机地选取一个由3 3个学生组成的样本，要求这三个学生组成的样本，要求这三个学生全都有相同的欣赏方式，得到这种样本的概率是个学生全都有相同的欣赏方式，得到这种样本的概率是多少？多少？9/11/2024275. 5. 运用概率方法进行统计推断的前提运用概率方法进行统计推断的前提运用概率方法进行统计推断的前提运用概率方法进行统计推断的前提随机抽样随机抽样样本容量相对于总体来说，是较小的样本容量相对于总体来说，是较小的总体中个体的组合具有被同等抽中的概率总体中个体的组合具有被同等抽中的概率注意独立性问题注意独立性问题9/11/202428n n 简单随机抽样要

41、求每一个个体拥有相同的被简单随机抽样要求每一个个体拥有相同的被选入样本的机会。选入样本的机会。 n n 严格来讲，由于我们实际上总是做不回置抽严格来讲，由于我们实际上总是做不回置抽样，因此独立性的假定，是难以完全满足的。样，因此独立性的假定，是难以完全满足的。 只只有在样本非常大，可以忽略。有在样本非常大，可以忽略。n n 一个随机样本具有以下的性质：不仅要给每一个随机样本具有以下的性质：不仅要给每一个个体以相等的被抽中的机会，而且要给每一一个个体以相等的被抽中的机会，而且要给每一种个体的组合以相等的被抽中的机会。种个体的组合以相等的被抽中的机会。n n 在要概括社区或其他空间上限定区域的单位

42、在要概括社区或其他空间上限定区域的单位的情况时，也必须注意到缺乏独立性的问题。的情况时，也必须注意到缺乏独立性的问题。9/11/202429 第三节第三节 概率分布、期望值与变异数概率分布、期望值与变异数 随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部随机事件及其概率回答的是随机现象某一局部结果，例如对给定的复合事件求先验概率。而概率结果，例如对给定的复合事件求先验概率。而概率结果，例如对给定的复合事件求先验概率。而概率结果，例如对给定的复合事件求先验概率。而概率分布则要在满足完备性分布则要在满足完备性分布则要在满足完备

43、性分布则要在满足完备性( (穷举穷举穷举穷举) )和互不相容性和互不相容性和互不相容性和互不相容性( (互斥互斥互斥互斥) )的的的的前提下，回答随机现象一共会出现多少种结果，以前提下，回答随机现象一共会出现多少种结果，以前提下，回答随机现象一共会出现多少种结果，以前提下，回答随机现象一共会出现多少种结果，以及每种结果所伴随的概率是多少。及每种结果所伴随的概率是多少。及每种结果所伴随的概率是多少。及每种结果所伴随的概率是多少。 应该指出，在统计中，概率分布是就随机现象应该指出，在统计中，概率分布是就随机现象应该指出，在统计中，概率分布是就随机现象应该指出，在统计中，概率分布是就随机现象呈现的宏

44、观结果而言的。所谓宏观结果，是指可以呈现的宏观结果而言的。所谓宏观结果，是指可以呈现的宏观结果而言的。所谓宏观结果，是指可以呈现的宏观结果而言的。所谓宏观结果，是指可以在宏观层次加以识别的而与特定排列次序无关的样在宏观层次加以识别的而与特定排列次序无关的样在宏观层次加以识别的而与特定排列次序无关的样在宏观层次加以识别的而与特定排列次序无关的样本空间的子集。本空间的子集。本空间的子集。本空间的子集。9/11/202430X X2 23 34 45 56 67 78 89 91010 1111 1212合计合计合计合计P(X)P(X) 例如掷两颗骰子的试验，点数就是随机现象，它一例如掷两颗骰子的试

45、验，点数就是随机现象，它一共有共有1111种宏观结果。我们用古典法对每种宏观结果计算种宏观结果。我们用古典法对每种宏观结果计算P P，便得到了如下表所示的概率分布。，便得到了如下表所示的概率分布。 频率分布与概率分布的区别频率分布与概率分布的区别频率分布与概率分布的区别频率分布与概率分布的区别 经验分布：经验分布：频率分布是经资料整理而来频率分布是经资料整理而来;频率分布随样本不同而不同频率分布随样本不同而不同;频率分布有对应的频数分布。频率分布有对应的频数分布。 理论分布：理论分布：概率分布是先验的；概率分布是先验的；概率分布是唯一的；概率分布是唯一的；概率分布无频率分布概率分布无频率分布所

46、对应的频数分布。所对应的频数分布。9/11/2024311. 1. 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 离散型随机变量的取值是可数的，如果对离散型随机变量的取值是可数的，如果对离散型随机变量的取值是可数的，如果对离散型随机变量的取值是可数的，如果对X X的每个可能取值的每个可能取值的每个可能取值的每个可能取值x xi i计计计计算其实现的概率算其实现的概率算其实现的概率算其实现的概率P Pi i ，我们便得到了离散型随机变量的概率分布，即，我们便得到了离散型随机变量的概率分布，即，我们便得到了离散型随机变量的概率分布，即，我们便得到

47、了离散型随机变量的概率分布，即 离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量的概率分布也可以用的概率分布也可以用的概率分布也可以用的概率分布也可以用表格和图形两种形式表格和图形两种形式表格和图形两种形式表格和图形两种形式来表示。由于离散型来表示。由于离散型来表示。由于离散型来表示。由于离散型随机变量的特点，表随机变量的特点，表随机变量的特点，表随机变量的特点，表示离散型随机变量概示离散型随机变量概示离散型随机变量概示离散型随机变量概率分布多为折线图。率分布多为折线图。率分布多为折线图。率分布多为折线图。9/11/2024322. 2. 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分

48、布连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 连续型随机变量的取值充满某一区间，因而取某一数值讨论其概率连续型随机变量的取值充满某一区间，因而取某一数值讨论其概率连续型随机变量的取值充满某一区间，因而取某一数值讨论其概率连续型随机变量的取值充满某一区间，因而取某一数值讨论其概率是无意义的。为此，我们引进概率密度是无意义的。为此，我们引进概率密度是无意义的。为此，我们引进概率密度是无意义的。为此，我们引进概率密度 的概念来表达连续型随机的概念来表达连续型随机的概念来表达连续型随机的概念来表达连续型随机变量的概率分布。变量的概率分布。变量的概率分布。变量的概率分布。 本书第三章第三节曾出本书

49、第三章第三节曾出现过频率密度的概念，频率现过频率密度的概念，频率密度等于频率除以组距。以密度等于频率除以组距。以频率密度为纵坐标，可以作频率密度为纵坐标，可以作出频率分布直方图。类似地出频率分布直方图。类似地，以概率密度，以概率密度 为纵坐为纵坐标，可以作出概率密度曲标，可以作出概率密度曲线。所不同的是，概率密度线。所不同的是，概率密度由于对组距求了由于对组距求了x0x0的极的极限，其图形乃平滑曲线。限，其图形乃平滑曲线。9/11/202433 这样一来，随机变量X取值在区间x1 ，x2上的概率等于概率密度曲线 下面x1与x2两点之间面积，即 所以所以所以所以有概率密有概率密有概率密有概率密度

50、的性质度的性质度的性质度的性质因为概率不可能是负的，且因为概率不可能是负的，且因为概率不可能是负的，且因为概率不可能是负的，且 9/11/2024343. 3. 分布函数分布函数分布函数分布函数 为了从数学上能够统一对随机变量的概率进行研究引入分布函为了从数学上能够统一对随机变量的概率进行研究引入分布函为了从数学上能够统一对随机变量的概率进行研究引入分布函为了从数学上能够统一对随机变量的概率进行研究引入分布函数数数数 的概念，它被定义为的概念，它被定义为的概念，它被定义为的概念，它被定义为 有了分布函数，就可以很容易得到随机变量有了分布函数，就可以很容易得到随机变量有了分布函数，就可以很容易得

51、到随机变量有了分布函数，就可以很容易得到随机变量X X取值在任意区间取值在任意区间取值在任意区间取值在任意区间 x x1 1 ，x x2 2 上的概率，即上的概率，即上的概率，即上的概率，即 连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量 9/11/202435 和和和和 ( (离散变量离散变量离散变量离散变量) )或或或或 ( (连续变量连续变量连续变量连续变量) )的关系，就像向的关系，就像向的关系，就像向的关系，就像向上累计频率和频率的关系一样。不同之处在于，上累计频率和频率的关系一样。不同之处在于，上累计频率和频率的关系

52、一样。不同之处在于，上累计频率和频率的关系一样。不同之处在于， 累计的是概率。累计的是概率。累计的是概率。累计的是概率。但使用分布函数的好处是很明显的，它不仅在数学上统一了对离散型但使用分布函数的好处是很明显的，它不仅在数学上统一了对离散型但使用分布函数的好处是很明显的，它不仅在数学上统一了对离散型但使用分布函数的好处是很明显的，它不仅在数学上统一了对离散型随机变量和连续型随机变量概率的研究，而且由于它计算概率的起点随机变量和连续型随机变量概率的研究，而且由于它计算概率的起点随机变量和连续型随机变量概率的研究，而且由于它计算概率的起点随机变量和连续型随机变量概率的研究，而且由于它计算概率的起点

53、都固定为都固定为都固定为都固定为，因而可以把概率值换算成表，以易于求得任何区间的，因而可以把概率值换算成表，以易于求得任何区间的，因而可以把概率值换算成表，以易于求得任何区间的，因而可以把概率值换算成表，以易于求得任何区间的概率，从而达到计算快捷和应用广泛之目的。概率，从而达到计算快捷和应用广泛之目的。概率，从而达到计算快捷和应用广泛之目的。概率，从而达到计算快捷和应用广泛之目的。 例例例例 求两颗骰子点数的分布函数。求两颗骰子点数的分布函数。求两颗骰子点数的分布函数。求两颗骰子点数的分布函数。 X X2 23 34 45 56 67 78 89 9101011111212合计合计合计合计P(

54、X)P(X)F(X)F(X)9/11/2024364. 4. 数学期望数学期望数学期望数学期望 在前面统计分组的讨论中，我们在得到频数在前面统计分组的讨论中，我们在得到频数在前面统计分组的讨论中，我们在得到频数在前面统计分组的讨论中，我们在得到频数( (或频率或频率或频率或频率) )分布分布分布分布后，为了对变量有系统概括的认识，分别研究了集中趋势和离中后，为了对变量有系统概括的认识，分别研究了集中趋势和离中后，为了对变量有系统概括的认识，分别研究了集中趋势和离中后，为了对变量有系统概括的认识，分别研究了集中趋势和离中趋势。而对集中趋势和离中趋势量度，我们分别得到了平均指标趋势。而对集中趋势和

55、离中趋势量度，我们分别得到了平均指标趋势。而对集中趋势和离中趋势量度，我们分别得到了平均指标趋势。而对集中趋势和离中趋势量度，我们分别得到了平均指标和变异指标，其中最有代表性的是算术平均数和标准差。很显和变异指标，其中最有代表性的是算术平均数和标准差。很显和变异指标，其中最有代表性的是算术平均数和标准差。很显和变异指标，其中最有代表性的是算术平均数和标准差。很显然，现在当我们面对随机变量的理论分布时，也要对随机变量的然，现在当我们面对随机变量的理论分布时，也要对随机变量的然，现在当我们面对随机变量的理论分布时，也要对随机变量的然，现在当我们面对随机变量的理论分布时，也要对随机变量的集中趋势和离

56、中趋势作概括性的描述，这就引出集中趋势和离中趋势作概括性的描述，这就引出集中趋势和离中趋势作概括性的描述，这就引出集中趋势和离中趋势作概括性的描述，这就引出数学期望数学期望数学期望数学期望和和和和变异变异变异变异数数数数这两个概念。这两个概念。这两个概念。这两个概念。 所谓所谓所谓所谓数学期望数学期望数学期望数学期望，是反映随机变量，是反映随机变量，是反映随机变量，是反映随机变量X X取值的集中趋势的理论均取值的集中趋势的理论均取值的集中趋势的理论均取值的集中趋势的理论均值值值值( (算术平均算术平均算术平均算术平均) )，记作，记作，记作，记作E E( (X X) )。离散型随机变量离散型随

57、机变量离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量9/11/202437例 谁的技术比较好?乙射手乙射手甲射手甲射手解解故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好9/11/202438 例例例例 一家保险公司在投保的一家保险公司在投保的一家保险公司在投保的一家保险公司在投保的5050万元人寿保险的保单中，估计每万元人寿保险的保单中，估计每万元人寿保险的保单中，估计每万元人寿保险的保单中，估计每1000 1000 保单每年有保单每年有保单每年有保单每年有1515个理赔，若每一保单每年的营运成本及利润的期个理赔，若每一保单每年的营运成本及利润的期个理赔，若每

58、一保单每年的营运成本及利润的期个理赔，若每一保单每年的营运成本及利润的期望值为望值为望值为望值为200200元，试求每一保单的保费。元，试求每一保单的保费。元，试求每一保单的保费。元，试求每一保单的保费。 解解解解 依题意知，利润的期望值依题意知，利润的期望值依题意知，利润的期望值依题意知，利润的期望值 E E( (X X) )200(200(元元元元) ) 设设设设x x1 1表示保费，表示保费，表示保费，表示保费，x x2 2为理赔费为理赔费为理赔费为理赔费 x x2 2-(500000-(500000- x x1 1) )，则可得，则可得，则可得，则可得 所以，所以，所以，所以，x x1

59、 17700(7700(元元元元) )。即每一保单每年的保费应定在。即每一保单每年的保费应定在。即每一保单每年的保费应定在。即每一保单每年的保费应定在77007700元。元。元。元。9/11/202439 数学期望也常常记为数学期望也常常记为数学期望也常常记为数学期望也常常记为 ，在推论统计中同总体均值的记号，而，在推论统计中同总体均值的记号，而，在推论统计中同总体均值的记号，而，在推论统计中同总体均值的记号，而 则则则则在推论统计中被作为样本均值的记号。数学期望和总体均值一样，都是唯在推论统计中被作为样本均值的记号。数学期望和总体均值一样，都是唯在推论统计中被作为样本均值的记号。数学期望和总

60、体均值一样，都是唯在推论统计中被作为样本均值的记号。数学期望和总体均值一样，都是唯一的，不过它是一个先验的理论值。由于它是用随机变量各取值分别乘以一的，不过它是一个先验的理论值。由于它是用随机变量各取值分别乘以一的，不过它是一个先验的理论值。由于它是用随机变量各取值分别乘以一的，不过它是一个先验的理论值。由于它是用随机变量各取值分别乘以取值的概率来计算的，因此数学期望又可称为随机变量的加权算术平均取值的概率来计算的，因此数学期望又可称为随机变量的加权算术平均取值的概率来计算的，因此数学期望又可称为随机变量的加权算术平均取值的概率来计算的，因此数学期望又可称为随机变量的加权算术平均数。样本均值依

61、据统计数据计算而来，但它具有随机性。在统计推论中，数。样本均值依据统计数据计算而来，但它具有随机性。在统计推论中，数。样本均值依据统计数据计算而来，但它具有随机性。在统计推论中，数。样本均值依据统计数据计算而来，但它具有随机性。在统计推论中，E E( (X X) ) ， 是是是是“ “估计估计估计估计” ”。 (2)常数常数c与随机变量与随机变量X之积的期望等于之积的期望等于X的期望与的期望与c的积，的积，即即 E(cX)cE(X) (3)两个随机变量之和的期望等于它们的期望之和，两个随机变量之和的期望等于它们的期望之和，即即 E (X+Y)E(X)+ E(Y) (4)两个独立随机变量乘积的期

62、望等于它们的期望之积，两个独立随机变量乘积的期望等于它们的期望之积，即即E(XY)E(X)E(Y)(1)常数常数c的期望等于该常数，即的期望等于该常数，即 E(c)c数学期望的几个基本性质：数学期望的几个基本性质：和和 都是为都是为服务的，服务的，E(X)是是“期望期望”9/11/2024405. 5. 变异数变异数变异数变异数 数学期望反映了随机变量的集中趋势，但仅知道集中趋势还不数学期望反映了随机变量的集中趋势，但仅知道集中趋势还不数学期望反映了随机变量的集中趋势，但仅知道集中趋势还不数学期望反映了随机变量的集中趋势，但仅知道集中趋势还不够，还应该知道随机变量在均值周围的离散程度，即离中趋

63、势。够，还应该知道随机变量在均值周围的离散程度，即离中趋势。够，还应该知道随机变量在均值周围的离散程度，即离中趋势。够，还应该知道随机变量在均值周围的离散程度，即离中趋势。变异变异变异变异数数数数是综合反映随机变量取值分散程度的指标，其功能相当于描述统计是综合反映随机变量取值分散程度的指标，其功能相当于描述统计是综合反映随机变量取值分散程度的指标，其功能相当于描述统计是综合反映随机变量取值分散程度的指标，其功能相当于描述统计中已讨论过的方差及标准差，记用中已讨论过的方差及标准差，记用中已讨论过的方差及标准差，记用中已讨论过的方差及标准差，记用D D( (X X) )。 离散型随机变量离散型随机

64、变量离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量连续型随机变量 由于变异数的单位是随机变量单位的平由于变异数的单位是随机变量单位的平方。为了使随机变量变异指标的单位与其本身方。为了使随机变量变异指标的单位与其本身的单位相同，将的单位相同，将D(X)D(X)开方开方( (取正值取正值) )称作随机称作随机变变量量X X的标准差的标准差 ；同时为了更明确的表示；同时为了更明确的表示D(X)D(X)与标准差之间只是开方关系，索性把与标准差之间只是开方关系，索性把D(X)D(X)写写成成 2 2，并直接称，并直接称D(X)D(X)为随机变量为随机变量X X的方差。的方差。于

65、是有于是有 9/11/202441很显然随机变量很显然随机变量很显然随机变量很显然随机变量X X的变异数也可以写成的变异数也可以写成的变异数也可以写成的变异数也可以写成 简化公式简化公式简化公式简化公式 当然不难理解，在推论统计中随机变量变异数的记号常当然不难理解，在推论统计中随机变量变异数的记号常当然不难理解，在推论统计中随机变量变异数的记号常当然不难理解，在推论统计中随机变量变异数的记号常常同常同常同常同总体方差总体方差总体方差总体方差的记号，即用的记号，即用的记号，即用的记号，即用 2 2表示之。而表示之。而表示之。而表示之。而S S2 2 则被作为则被作为则被作为则被作为样本方样本方样

66、本方样本方差差差差的记号。变异数和总体方差一样，都是唯一的，不过它是的记号。变异数和总体方差一样，都是唯一的，不过它是的记号。变异数和总体方差一样，都是唯一的，不过它是的记号。变异数和总体方差一样，都是唯一的，不过它是一个先验的理论值。样本方差一个先验的理论值。样本方差一个先验的理论值。样本方差一个先验的理论值。样本方差S S2 2 依据统计数据计算而来，但依据统计数据计算而来，但依据统计数据计算而来，但依据统计数据计算而来，但它具有随机性。它具有随机性。它具有随机性。它具有随机性。 试求两颗骰试求两颗骰子点数的变子点数的变异数异数D(X) 9/11/202442变异数的几个基本性质：变异数的几个基本性质：变异数的几个基本性质：变异数的几个基本性质： (1)常数常数c的方差等于的方差等于0，即，即D(c)0 (2)常数常数c与随机变量与随机变量X之积的方差，等于随机变量之积的方差，等于随机变量X的方差的方差c2倍，即倍，即D(cX)c2D(X) (3)随机变量与常数之和的方差等于随机变量的方差，随机变量与常数之和的方差等于随机变量的方差，即即D(X+c)D(X) (4)两个独立随机变量之和的方差等于它们的方差和，两个独立随机变量之和的方差等于它们的方差和，即即D(X+Y)D(X) +D(Y)9/11/2024439/11/202444