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1、第第 2 2 讲数列求和及其综合讲数列求和及其综合 应用应用聚焦考题聚焦考题聚焦考题聚焦考题-2-热点考题诠释能力目标解读12341.(2015安徽,文13)已知数列an中,a1=1,an=an-1+(n2),则数列an的前9项和等于. 答案解析解析关闭 答案解析关闭27聚焦考题聚焦考题聚焦考题聚焦考题-3-热点考题诠释能力目标解读12342.(2015江苏,11)设数列an满足a1=1,且an+1-an=n+1(nN*).则数列前10项的和为. 答案解析解析关闭 答案解析关闭3聚焦考题聚焦考题聚焦考题聚焦考题聚焦考题聚焦考题聚焦考题-4-热点考题诠释能力目标解读12343.(2015浙江,文
2、17)已知数列an和bn满足a1=2,b1=1,an+1=2an(nN*),b1+b2+b3+bn=bn+1-1(nN*).(1)求an与bn;(2)记数列anbn的前n项和为Tn,求Tn.解:(1)由a1=2,an+1=2an,得an=2n(nN*).由题意知:当n=1时,b1=b2-1,故b2=2.当n2时,bn=bn+1-bn,整理得,所以bn=n(nN*).(2)由(1)知anbn=n2n,因此Tn=2+222+323+n2n,2Tn=22+223+324+n2n+1,所以Tn-2Tn=2+22+23+2n-n2n+1.故Tn=(n-1)2n+1+2(nN*).聚焦考题聚焦考题聚焦考题
3、聚焦考题聚焦考题聚焦考题聚焦考题-5-热点考题诠释能力目标解读12344.(2015四川,文16)设数列an(n=1,2,3,)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列的前n项和为Tn,求Tn.解:(1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(a1+1),解得a1=2.所以,数列an是首项为2,公比为2的等比数列.故an=2n.(
4、2)由(1)得.所以Tn=+=1-.聚焦考题-6-热点考题诠释能力目标解读高考中对数列求和及其综合应用的考查题型,主客观题均会出现,难度中等.数列主观题常与函数、不等式等知识点交会,综合考查函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.考查内容主要是:以等差、等比数列为载体,考查数列的通项、求和;利用递推关系求数列的通项、前n项的和;根据题设信息,研究有关数列的性质.该部分的重点是等差、等比数列的基本公式和性质的理解和应用.高频考点高频考点高频考点高频考点-7-命题热点答题模板热点一热点二热点三数列的求和例1(1)(2015湖北,文19)设等差数列an的公差为d,前n项和为Sn,等比数列bn的公比
5、为q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.求数列an,bn的通项公式;当d1时,记cn=,求数列cn的前n项和Tn.(2)(2015湖南,文19)设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1+3,nN*.证明:an+2=3an;求Sn.高频考点高频考点高频考点高频考点-8-命题热点答题模板热点一热点二热点三解:(1)由题意有,即解得故由d1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,于是Tn=1+,Tn=+.两式相减可得Tn=2+=3-,故Tn=6-.8高频考点高频考点高频考点高频考点-9-命题热点答题模板热点一热点二热点三(2)由条件,对任
6、意nN*,有an+2=3Sn-Sn+1+3,因而对任意nN*,n2,有an+1=3Sn-1-Sn+3.两式相减,得an+2-an+1=3an-an+1,即an+2=3an,n2.又a1=1,a2=2,所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1,故对一切nN*,an+2=3an.由知,an0,所以=3,于是数列a2n-1是首项a1=1,公比为3的等比数列;数列a2n是首项a2=2,公比为3的等比数列.因此a2n-1=3n-1,a2n=23n-1.9高频考点高频考点高频考点高频考点-10-命题热点答题模板热点一热点二热点三于是S2n=a1+a2+a2n=(a1+a3+a2n-1
7、)+(a2+a4+a2n)=(1+3+3n-1)+2(1+3+3n-1)=3(1+3+3n-1)=,从而S2n-1=S2n-a2n=-23n-1=(53n-2-1).综上所述,Sn=10高频考点规律方法在处理一般数列求和时,一定要注意使用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和,在求和时要分析清楚哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地求解.(1)在利用分组求和法求和时,如果数列的各项是正负交替的,一般需要对项数n进行讨论,最后再验证是否可以合并为一个公式.(2)错位相减法求数列的前n项和是一种重要的方法.在应用这种方法时,一定要抓住数列的特征,即数列的项可以看作是
8、由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题.(3)裂项相消法的解题思想是利用通项变形,将通项分裂成两项或几项的差,通过相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和.利用裂项相消法求和时,应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项(即前后“对称”).-11-命题热点答题模板热点一热点二热点三11高频考点高频考点高频考点高频考点-12-命题热点答题模板热点一热点二热点三迁移训练1(2015浙江东阳5月模拟,文17)已知数列an和bn满足a1a2an=,若an为等比数列,且a1=1,b2=b1+2.(1)求an与bn;(2)设cn=(nN*),求数列cn
9、的前n项和Sn.12高频考点高频考点高频考点高频考点-13-命题热点答题模板热点一热点二热点三解:(1)当n=1时,由a1a2an=和a1=1,可得b1=1,b2=b1+2=3,当n=2时,由a1a2an=和b2=3,可得a2=2,又an是等比数列,an=2n-1,a1a2an=20+1+(n-1)=,即bn-n=,bn=.(2)由(1)可得cn=-2,Sn=c1+c2+cn=+-2+,Sn=-2.13高频考点高频考点高频考点高频考点高频考点高频考点高频考点-14-命题热点答题模板热点一热点二热点三数列与不等式的交会例2(2015浙江宁波鄞州5月模拟,文18)数列an的前n项和为Sn,满足a1
10、=1,Sn-2Sn-1=1(nN*,n2),数列bn的前n项和为Tn,满足b1=1,Tn=n2bn,nN*.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若对nN*,恒有Sn+1成立,求实数的取值范围.解:(1)由题意得a2=2,当n3时,Sn-1-2Sn-2=1.所以an-2an-1=0,又a2=2a1,所以数列an是首项为1,公比为2的等比数列,即an=2n-1,nN*.当n2时,因为Tn-1=(n-1)2bn-1,所以.bn=b1=,显然对n=1也成立.故bn=,nN*.14高频考点高频考点高频考点高频考点-15-命题热点答题模板热点一热点二热点三(2)由题意Sn=2n-1,只需要对任意正整数
11、恒成立.记Cn=,当n2时,Cn-Cn-1=.当n3时,数列Cn递增;当n2时,数列Cn递减.易知n=3或2时有最小的项C2=C3=.综上,.高频考点-16-命题热点答题模板热点一热点二热点三规律方法数列与不等式相结合的问题是近几年高考热点,常见题型是数列前n项的和Sn与某常数或某式的不等关系问题,或证明或求值.证不等式常用方法有:(1)作差、作商、比较;(2)判断数列的单调性,根据数列的取值范围证明不等式;(3)合理利用放缩法.而求值问题则常常转化为解不等式来解决.高频考点高频考点高频考点高频考点-17-命题热点答题模板热点一热点二热点三迁移训练2已知数列an的各项均是正数,其前n项的和为S
12、n,且满足an+Sn=4.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,数列bn的前n项和为Tn,求证:当n2时,Tn.高频考点高频考点高频考点高频考点-18-命题热点答题模板热点一热点二热点三解:(1)当n=1时,a1=2,当n2时,an=Sn-Sn-1=(4-an)-(4-an-1),整理得2an=an-1,所以数列an是以2为首项,为公比的等比数列,所以an=2.(2)证明:bn=.当n2时,bn=,Tn=b1+b2+bn-1+bn=1+1+1-+=2-.故当n2时,Tn0,a1=1,an+2=,a100=a96,则a2014+a3=. 答案解析解析关闭 答案解析关闭新题演练新题演练新题演
13、练新题演练-30-123454.(2015天津,文18)已知an是各项均为正数的等比数列,bn是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求an和bn的通项公式;(2)设cn=anbn,nN*,求数列cn的前n项和.解:(1)设数列an的公比为q,数列bn的公差为d,由题意q0.由已知,有消去d,整理得q4-2q2-8=0.又因为q0,解得q=2,所以d=2.所以数列an的通项公式为an=2n-1,nN*;数列bn的通项公式为bn=2n-1,nN*.新题演练-31-12345(2)由(1)有cn=(2n-1)2n-1,设cn的前n项和为Sn,则Sn=120+321
14、+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1,2Sn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,上述两式相减,得-Sn=1+22+23+2n-(2n-1)2n=2n+1-3-(2n-1)2n=-(2n-3)2n-3,所以,Sn=(2n-3)2n+3,nN*.新题演练新题演练新题演练新题演练新题演练新题演练新题演练-32-123455.(2015浙江温州第三次适应性测试,文17)已知数列an的前n项和为Sn,且2Sn+3=3an(nN*).(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=(n+1)loan,记Tn=+,求证:2Tn1.解:(1)当n=1时,2S1+3=2a1+3=3a1,得a1=3.当n2时,2Sn+3=3an,； 2Sn-1+3=3an-1,-得2an=3an-3an-1,即an=3an-1,an为公比为3,首项为3的等比数列,an=33n-1=3n(nN*).(2)证明:bn=(n+1)lo3n=2n(n+1),Tn=+.Tn,即2Tn1.
