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1、第二章第二章 习题解答习题解答 2.2.12.2.1 图中列出了某量图中列出了某量x的值的概率分布函数的图线。求常量的值的概率分布函数的图线。求常量A的值，的值，使在此值下该函数成为归一化函数，然后计算使在此值下该函数成为归一化函数，然后计算x、x2和和 的平均值的平均值解：解： 按照归一化条件，概率分布曲线下按照归一化条件，概率分布曲线下的面积为的面积为1，则，则因而概率分布函数为：因而概率分布函数为： 2.2.22.2.2 量量x的概率分布函数具有形式的概率分布函数具有形式 ，式，式中中A 和和 a 是常数，是写出是常数，是写出x的值出现在的值出现在7.9999到到8.0001范围内的概率
2、范围内的概率P 的近似表示式的近似表示式 解：解： 由归一化，有：由归一化，有： 其中其中f(x)是偶函数，因而有是偶函数，因而有 因而处于因而处于7.9999到到8.0001范围内的概率为：范围内的概率为： 2.3.62.3.6 试将麦克斯韦速率分布化为按平动动能的分布，并求出最概试将麦克斯韦速率分布化为按平动动能的分布，并求出最概然动能。它是否等于然动能。它是否等于 ？为什么？为什么？ 分析：对于理想气体来说，麦克斯韦速率分布和按照平动动能的分分析：对于理想气体来说，麦克斯韦速率分布和按照平动动能的分布式完全等价的。也就是说，布式完全等价的。也就是说， ，所以只要将，所以只要将 中的中的v
3、以平动动能来表示，就得到按平动动能的分布。以平动动能来表示，就得到按平动动能的分布。解：解： 麦克斯韦速率分布为：麦克斯韦速率分布为： 设最概然动能为设最概然动能为 p，有：，有： 可得最概然动能为可得最概然动能为： 由最概然速率所表示的动能为：由最概然速率所表示的动能为： 显然与最概然动能不相等。显然与最概然动能不相等。 这个差异来自于数学而不是物理：这个差异来自于数学而不是物理： 函数形式：函数形式： 且其导数的函数形式也不相等且其导数的函数形式也不相等 2.4.12.4.1 因为固体的原子和气体分子之间有力的作用因为固体的原子和气体分子之间有力的作用,所以在真空系统所以在真空系统中的固体
4、表面上会形成厚度为一个分子直径的那样一个单分子层中的固体表面上会形成厚度为一个分子直径的那样一个单分子层.设这层分子仍可十分自由地在固体表面上滑动设这层分子仍可十分自由地在固体表面上滑动,这些分子十分近似这些分子十分近似地形成二维理想气体地形成二维理想气体.如果这些分子是单原子分子如果这些分子是单原子分子,吸附层的温度为吸附层的温度为T,试给出表示分子处于速率为试给出表示分子处于速率为v到到v+dv范围内的概率范围内的概率f(v)dv的表达式的表达式 解：解： 在在xy平面上运动的二维理想气体的麦氏速度分布应当为：平面上运动的二维理想气体的麦氏速度分布应当为： 设在二维速度空间中位置在设在二维
5、速度空间中位置在vxvx+dvx , vyvy+dvy范围内的分子代范围内的分子代表点数为表点数为dNvx,vy , 显然二维速度空间中的分子代表点的数密度为显然二维速度空间中的分子代表点的数密度为: 二维理想气体的麦氏速率分布表示了分子处在二维速度空间中，二维理想气体的麦氏速率分布表示了分子处在二维速度空间中，半径半径vv+dv的圆环内的概率的圆环内的概率 二维理想气体的麦氏速率分布表示了分子处在二维速度空间中，二维理想气体的麦氏速率分布表示了分子处在二维速度空间中，半径半径vv+dv的圆环内的概率的圆环内的概率 ，dNv是半径为是半径为vv+dv的圆环内的圆环内的分子代表点数，它等于圆环面
6、积乘上分子代表点的数密度的分子代表点数，它等于圆环面积乘上分子代表点的数密度D，由，由A式可有：式可有：所以分子处于速率为所以分子处于速率为vv+dv范围内的概率表达式为：范围内的概率表达式为：此即二维理想气体的麦克斯韦速率分布此即二维理想气体的麦克斯韦速率分布 2.4.42.4.4 设气体分子的总数为设气体分子的总数为N,试证明速度的试证明速度的x分量大于某一给定值分量大于某一给定值vx的分子数为的分子数为 , 其中其中证明：证明： 速度的速度的x分量分布为分量分布为: 速度的速度的x分量分布在分量分布在0vx的分子数为的分子数为: 则有则有: 速度的速度的x分量在分量在0之间的分子数为之间
7、的分子数为N/2, 所以所以:2.5.22.5.2 一容器被一隔板分成两部分一容器被一隔板分成两部分,其中气体的压强分别为其中气体的压强分别为P1、P2。两部分气体的温度均为两部分气体的温度均为T，摩尔质量均为，摩尔质量均为Mm。试证明：如果隔板上。试证明：如果隔板上有一面积为有一面积为A的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为证明：证明： 利用平均速率公式可以把气体分子碰壁数公式变换为：利用平均速率公式可以把气体分子碰壁数公式变换为： 在单位时间内通过单位面积小孔，隔板左边净增加的分子数为：在单位时间内通过单位面积小孔，隔板左边净增加的分子数为： 在在dt时间内通
8、过小孔的气体质量为：时间内通过小孔的气体质量为： 2.5.52.5.5 若使氢分子和氧分子的若使氢分子和氧分子的vrms等于它们在地球表面上的逃逸速率，等于它们在地球表面上的逃逸速率，各需多高的温度？若使氢分子和氧分子的各需多高的温度？若使氢分子和氧分子的vrms等于月球表面上的逃等于月球表面上的逃逸速率，各需多高的温度？已知月球的半径为地球半径的逸速率，各需多高的温度？已知月球的半径为地球半径的0.27倍，倍，月球的重力加速度为地球的月球的重力加速度为地球的0.165倍倍解：解： 在离地球中心距离为在离地球中心距离为R的高层大气中的高层大气中,必有某些气体分子的速必有某些气体分子的速率大于从
9、该处脱离地球引力而逃逸的最小速率率大于从该处脱离地球引力而逃逸的最小速率vmin,E（它称为（它称为逃逸速率）。这些分子向上运动时，只要不和其他分子碰撞逃逸速率）。这些分子向上运动时，只要不和其他分子碰撞就可以逃逸出大气层。就可以逃逸出大气层。气体分子克服地球引力做功气体分子克服地球引力做功=气体分子逃逸时的初动能，故：气体分子逃逸时的初动能，故：在忽略重力加速度随高度变化的情况下，可以用地球表面在忽略重力加速度随高度变化的情况下，可以用地球表面的数据替代，则：的数据替代，则：利用近似关系：利用近似关系： 其中其中gE、ME、RE是地球表面的重力是地球表面的重力加速度、地球质量、地球半径加速度
10、、地球质量、地球半径同理可得月球表面的各关系式。代入数据有：同理可得月球表面的各关系式。代入数据有： 氢分子和氧分子的氢分子和氧分子的vrms分别等于地球表面上的逃逸速率时对应的温度：分别等于地球表面上的逃逸速率时对应的温度：氢分子和氧分子的氢分子和氧分子的vrms分别等于月球表面上的逃逸速率时对应的温度：分别等于月球表面上的逃逸速率时对应的温度：2.5.112.5.11 从一容器壁的狭缝射出一分子束，从一容器壁的狭缝射出一分子束， 试求该分子数中分子试求该分子数中分子的最概然速率的最概然速率vP和最概然能量和最概然能量 P； 求得的求得的vP和和 P与容器内的与容器内的vP和和 P是否相同？
11、为什么？是否相同？为什么？ P是否等于是否等于 ，为什么？，为什么？解：解： 分子束速率分布函数：分子束速率分布函数： 因而分子束中分子的最概然速率因而分子束中分子的最概然速率 vP 有：有： 把分子束的速率分布函数化为分子束按照能量分布的函数把分子束的速率分布函数化为分子束按照能量分布的函数:则由则由 可得最概然能量可得最概然能量: 求得的分子束的求得的分子束的vP1和和 P1与容器内气体分子的的与容器内气体分子的的vP2和和 P2不同。这不同。这是因为容器内气体是处于静态的，而分子束中的气体分子是处于动是因为容器内气体是处于静态的，而分子束中的气体分子是处于动态的，所以容器内气体速率分布不
12、同于分子束中分子的速率分布。态的，所以容器内气体速率分布不同于分子束中分子的速率分布。这也是因为分子束中的气体分子是处于动态的，而容器内气体是这也是因为分子束中的气体分子是处于动态的，而容器内气体是处于静态的处于静态的2.6.32.6.3 若认为大气是温度为若认为大气是温度为273K的等温大气，试估计地球大气的总的等温大气，试估计地球大气的总分子数及总质量分子数及总质量.解解:由于大气分子数密度是按指数曲线衰减的由于大气分子数密度是按指数曲线衰减的,地球大气标高地球大气标高 ,说明从海平面到高度说明从海平面到高度h=H处处,大气分子数大气分子数密度已经减少为密度已经减少为若把整个大气分子压缩为
13、一层覆盖在地球表面的、其密度与若把整个大气分子压缩为一层覆盖在地球表面的、其密度与海平面处大气密度相等的均匀大气层，则其厚度也是海平面处大气密度相等的均匀大气层，则其厚度也是H。因而。因而大气总分子数大约可估计为：大气总分子数大约可估计为：其中其中n(0)为标况下理想气体分子数密度为标况下理想气体分子数密度地球表面的大气压强是因为地球对地面以上所有的大气分子的地球表面的大气压强是因为地球对地面以上所有的大气分子的重力作用而产生的。海平面上的大气压强是标准大气压强重力作用而产生的。海平面上的大气压强是标准大气压强P0，地球的表面积是地球的表面积是 ,故地球大气分子的总质量约为：故地球大气分子的总
14、质量约为：2.6.9 2.6.9 已知温度为已知温度为T 的理想气体在重力场中处于平衡状态时的分布的理想气体在重力场中处于平衡状态时的分布函数为函数为 ，其中，其中z 为由地面算起的高度。为由地面算起的高度。(1) 试求出系数试求出系数A；(2) 试写出一个试写出一个分子其分子其x, y坐标可任意取，其坐标可任意取，其 z轴坐标处于轴坐标处于z z+dz, 而其速度矢量处而其速度矢量处于于 ， ， 间的概率；间的概率；(3) 写出一写出一个分子其个分子其x, y, z坐标及均可任意取，但坐标及均可任意取，但 处于处于 间的概间的概率；率；(4) 一个分子的一个分子的x, y坐标及坐标及 均可任
15、意取，其高度处于均可任意取，其高度处于z z+dz 的概率的概率 解解:(1) :(1) 式中第一个因子是麦克斯韦速度分布，本身归一化；第二个式中第一个因子是麦克斯韦速度分布，本身归一化；第二个因子是沿因子是沿z 方向的重力场分布，也应归一化，因而有：方向的重力场分布，也应归一化，因而有： 则：则：(2) 题中的分布可写为：题中的分布可写为： 在在(A)式中对式中对x，y（即地球表面）积分（即地球表面积），即（即地球表面）积分（即地球表面积），即得一个分子其得一个分子其x，y坐标可任意取，其坐标可任意取，其z轴坐标处于轴坐标处于zz+dz, ,而其速而其速度矢量处于度矢量处于 、 、 间的概率
16、，间的概率，其值为：其值为： (3) 要求一个分子其要求一个分子其x,y,z坐标及坐标及 均可任意取，但均可任意取，但 处于处于间的概率，则只需对间的概率，则只需对(A)式中的式中的x,y,z及及进行积分，结果即为麦克斯韦速度分量的分布：进行积分，结果即为麦克斯韦速度分量的分布：(3) 要求一个分子其要求一个分子其x,y,z坐标及坐标及 均可任意取，但均可任意取，但 处于处于(4) 同理可得一个分子的同理可得一个分子的x，y坐标及坐标及 均可任意取，其均可任意取，其高度处于高度处于zz+dz 的概率为：的概率为： 2.6.102.6.10 在高层大气中的重力加速度是大气高度在高层大气中的重力加
17、速度是大气高度h的函数的函数.设地球表面设地球表面大气压强为大气压强为P0，大气层的温度处处均匀，地球半径为，大气层的温度处处均匀，地球半径为RE，试求在，试求在h高度处的大气压强高度处的大气压强P(h)解解: 由于在离开地球表面处的万有引力势能为由于在离开地球表面处的万有引力势能为:其中其中RE为地球半径，为地球半径，ME为地球质量为地球质量.按照玻尔兹曼分布，在按照玻尔兹曼分布，在h高高度处的大气压强度处的大气压强P(h)与在地面处的大气压强与在地面处的大气压强P0分别为分别为:其中其中P(0)为一常量为一常量.将上面两式相除将上面两式相除,可得可得: 讨论讨论: 从这一结果可以知道从这一
18、结果可以知道:当当h=0时，时，P=P0 ，这是符合前面的假定，这是符合前面的假定的。当的。当 时，有：时，有： ，这好像有问，这好像有问题。当题。当 时，大气压强应该等于零，好像不符合实际情况。时，大气压强应该等于零，好像不符合实际情况。但应当注意到，在但应当注意到，在273K时的地球大气标高是时的地球大气标高是 ，它远小于地球半径它远小于地球半径RE，所以，所以2.7.12.7.1 求常温下质量求常温下质量m1=3.00g的水蒸气与的水蒸气与m2=3.00g的氢气组成的混的氢气组成的混合理想气体的摩尔定体热容合理想气体的摩尔定体热容解解: 3.00g的水蒸气的物质的量是的水蒸气的物质的量是
19、 , 3.00g的氢气的物质的量的氢气的物质的量是是 . 由于氢气有由于氢气有5个自由度，水蒸气有个自由度，水蒸气有6个自由度，根据能量个自由度，根据能量均分定理，均分定理，1mol氢气的内能为氢气的内能为 ，1mol水蒸气的内能为水蒸气的内能为 m1=3.00g的水蒸气与的水蒸气与m2=3.00g的氢气组成的混合理想气体的内能的氢气组成的混合理想气体的内能为为 。混合理想气体的物质的量为。混合理想气体的物质的量为 ，所以所以1mol这种混合理想气体的内能为：这种混合理想气体的内能为：则混合气的定体摩尔热容为：则混合气的定体摩尔热容为： 2.7.22.7.2 某种气体分子由某种气体分子由4个原子组成，它们分别处在四面体的四个顶个原子组成，它们分别处在四面体的四个顶点上。（点上。（1）求这种分子的平动、转动、振动自由度数；（）求这种分子的平动、转动、振动自由度数；（2）根据）根据能量均分定理求这种气体的定体摩尔热容能量均分定理求这种气体的定体摩尔热容解：解： 该分子有该分子有3个平动自由度，个平动自由度，3个转动自由度，最多可以有个转动自由度，最多可以有6个个振动自由度。振动自由度。 如果为刚性分子，该分子的定体摩尔热容为如果为刚性分子，该分子的定体摩尔热容为3R
