中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学§5.2 中心极限定理中心极限定理一一. . 中心极限定理的定义与意义中心极限定理的定义与意义引例：高尔顿钉板试验引例：高尔顿钉板试验 定义定义5.2.1 设随机变量设随机变量X, X1, X2, …的分布函的分布函数分别为数分别为F( x ),F1( x ), F2( x ), …, 若极限式若极限式在在F( x )的每一个连续点上都成立，称随机变的每一个连续点上都成立，称随机变量序列量序列{Xk}, k = 1,2,…依分布收敛于依分布收敛于X . 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学记为记为 定义定义5.2.2（中心极限定理）（中心极限定理）设随机变量设随机变量 { Xk}，，k = 1,2,…相互独立，有有限数学期相互独立，有有限数学期望和方差望和方差.若随机变量序列若随机变量序列标准化标准化对对y∈∈R一致地有一致地有 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学称随机变量序列称随机变量序列 {Xk}服从服从中心极限定理中心极限定理. 注注1 随机变量序列随机变量序列 {Xk}服从中心极限定理，服从中心极限定理，指其前指其前n项和项和的标准化随机变量的标准化随机变量依分布收敛于标准正态分布随机变量依分布收敛于标准正态分布随机变量X；； 注注2 解释了现实中哪些随机变量可看服从解释了现实中哪些随机变量可看服从正态分布；正态分布； 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学 若随机变量序列若随机变量序列{Xk }，，k = 1,2,…服从中心服从中心极限定理，有极限定理，有故当故当n 足够大时，可以认为足够大时，可以认为 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学近似成立，或近似成立，或近似成立近似成立.许多相互独立的微小许多相互独立的微小因素因素Xk的叠加总和的叠加总和. 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学注注3 给出了概率的近似计算公式给出了概率的近似计算公式. . 若随机变量序列若随机变量序列{Xk }，，k = 1,2,…服从中心服从中心极限定理，则有极限定理，则有 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学 定理定理5.2.1（（林德伯格林德伯格—列维定理或列维定理或 独立独立同分布中心极限定理）同分布中心极限定理） 二二. . 中心极限定理中心极限定理 设设{ Xk }, k =1,2…为相互独立为相互独立, 具有相同分布具有相同分布的随机变量序列的随机变量序列, 且且E( Xk ) = m m, , D( Xk ) = s s2 2, , 则则{ Xk }满足中心极限定理，即满足中心极限定理，即 有有 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学装车问题装车问题重复试验次数估计重复试验次数估计报亭售报问题报亭售报问题高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验定理定理5.2.2（（棣莫佛棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理）） 设随机变量序列设随机变量序列{ Yn }，，Yn ~ B( n, p ) ，，n =1,2…，， 对于任意的实数对于任意的实数 x ，，有有 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学 证明证明 对于任意正整数对于任意正整数n，，随机变量随机变量Yn 可表示可表示为为Yn = X1＋＋ X2＋＋…＋＋ Xn 其中其中Xi ~ B( 1, p )，，相互独立相互独立，，并且并且 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1－－p)相互独立同分布的随机变量序列相互独立同分布的随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足中心极限定理满足中心极限定理. 即有即有 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学结论成立结论成立. 若若X ~ B( n, p )，，对于足够大的对于足够大的n，，有有标准化标准化 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学航船的稳定性航船的稳定性产品抽检件数产品抽检件数中心极限定理中心极限定理应用实例应用实例 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学 将一个小球投入无限大高尔顿钉板内将一个小球投入无限大高尔顿钉板内, ,小球小球各以各以 的概率向左或向右移动一格的概率向左或向右移动一格. .例例5.2.1 随机游动随机游动( (高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验) ) 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学 －－1 1XkP{Xk=i} {Xk, k∈∈N+} 是相互独立同分布随机变量是相互独立同分布随机变量序列，令序列，令 有有小球在第小球在第n 次碰次碰撞后所处位置撞后所处位置 试验演示试验演示 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学 依分布收敛于依分布收敛于标准标准正态分布正态分布随机变量随机变量. 由林德伯格由林德伯格—列维定理列维定理有有 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学 例例5.2.2 将一枚均匀硬币连续抛将一枚均匀硬币连续抛 n 次，试用次，试用中心极定理来估计中心极定理来估计 n ，使下式成立，使下式成立.其中其中 A ={ 出现正面出现正面 } 解解 有有P( A )=1/2，令，令 则随机变量序列则随机变量序列{ Xi }，，i = 1,2,…是相互独立是相互独立且同分布的且同分布的. 而且有而且有 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学 所以随机变量序列所以随机变量序列{ Xi }，满足独立同分布，满足独立同分布中心极限定律中心极限定律. 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学解得解得 n ≥ 16,641 (次次) (250,000次次) 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学 例例5.2.3 一生产线生产的产品成箱包装，每一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的箱的重量是随机的.假设每箱平均重假设每箱平均重50千克，千克，标准差为标准差为5千克千克. 若用最大载重量为若用最大载重量为5吨的汽车吨的汽车装运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可装运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977. 解解 设设Xi ，，i=1,2,…,n 是装运的第是装运的第i 箱重量箱重量(单位单位:千克千克), n是所求箱数是所求箱数.n 箱的总重量为箱的总重量为 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学 可将可将Xi ，，i=1,2,…,n 视为独立同分布的随机视为独立同分布的随机变量变量. 由由林德伯格林德伯格—列维定理列维定理知，知，Tn 近似服从正态近似服从正态分布分布 . 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学故故解得解得即一辆车最多可以装即一辆车最多可以装98箱箱. 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学 例例5.2.4 路边有一个售报亭路边有一个售报亭, 每个过路人在报每个过路人在报亭买报的概率是亭买报的概率是 1/3, 求求: 正好售出正好售出 100 份报纸份报纸时的过路人数在时的过路人数在 280 到到 300 之间的概率。
之间的概率 解解 设设 X 是正好售出是正好售出 100 份报纸时的过路人份报纸时的过路人数数, Xi 是售出第是售出第 i 1 份报纸后到售出第份报纸后到售出第 i 份报份报纸时的过路人数纸时的过路人数, 则则 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学并且随机变量并且随机变量 X1, X2, ··· , X100 独立同分布独立同分布, 具具有分布律有分布律:因因i = 1, 2, ··· , 100;根据林德伯格根据林德伯格—列维定理列维定理, 所求概率所求概率 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学 例例5.2.5 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于一次波浪的冲击，纵摇角大于3°的概率为的概率为 p = 1/3，若船舶遭受了，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问次波浪冲击，问其中有其中有 29600 ~ 30500 次纵摇角大于次纵摇角大于3°的概的概率是多少？率是多少？ 解解 假定船舶遭受波浪的各次冲击是独立的，假定船舶遭受波浪的各次冲击是独立的，记记 X 为为90000次冲击下纵摇角大于次冲击下纵摇角大于3°的次数，故的次数，故有有 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学由棣莫佛由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理, 所求事所求事件的概率件的概率 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学 例例5.2.6 随机抽查验收产品随机抽查验收产品, 如果在一批产如果在一批产品中查出品中查出10个以上的次品个以上的次品, 则拒绝接收则拒绝接收.问至少问至少检查多少个产品检查多少个产品, 能保证次品率为能保证次品率为 10%的一批的一批产品被拒收的概率不低于产品被拒收的概率不低于0.9 解解 设检查的产品数为设检查的产品数为 n, 查出的次品数为查出的次品数为X, 则则X ~ B( n, 0.1) , 按题意按题意, 有有P{ 10＜＜X≤n }≥0.9由棣莫佛由棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理, 有有 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学P{ 10＜＜X≤n }于是于是 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学故故求解得求解得 n≥146.8 或或 n≤－－68.3，，所以至少取所以至少取 n = 147 能够保证要求能够保证要求. 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学应用范例应用范例 在计算机模拟试验中，常利用在计算机模拟试验中，常利用12个相互独个相互独立同分布，都在（立同分布，都在（0，，1）上服从均匀分布的）上服从均匀分布的随机变量随机变量X1, X2, …, X12之和的标准化随机变之和的标准化随机变量量作为标准正态分布的随机变量作为标准正态分布的随机变量. 根据林德伯格根据林德伯格—列维定理列维定理, Y应近似服从标应近似服从标准正态分布准正态分布. 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学事实上二者的概率密度几乎无区别事实上二者的概率密度几乎无区别. 例如例如X1, X2,X3相互独立，都在相互独立，都在(0，，1)上均上均匀分布，则匀分布，则S3= X1+X2+X3的概率密度为的概率密度为 中中 心心 极极 限限 定定 理理电子科技大学电子科技大学将将S3标准化：标准化：其概率密度为：其概率密度为： 。