梁横截面即有弯矩课件

4.1.1 弯曲的概念弯曲的概念4.1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图 1）弯曲工程实例）弯曲工程实例桥式起重机的主梁桥式起重机的主梁F火车轮轴火车轮轴FFFF各类横梁各类横梁各类桥梁各类桥梁受风载的塔受风载的塔车削的工件车削的工件2 2）弯曲的概念：）弯曲的概念：受力特点：受力特点：l 作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线；作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线；l 外力偶作用在杆轴线的某一平面内外力偶作用在杆轴线的某一平面内变形特点变形特点：：l 杆轴线由直线变为一条平面的曲线杆轴线由直线变为一条平面的曲线l 垂直于轴线的横截面绕垂直于轴线的某一轴作相对转动垂直于轴线的横截面绕垂直于轴线的某一轴作相对转动 主要产生弯曲变形的杆主要产生弯曲变形的杆--- --- 梁梁3 3）梁的常见截面：）梁的常见截面：4 4）平面弯曲：）平面弯曲：• 纵向对称面纵向对称面 包含对称轴的纵向平面包含对称轴的纵向平面• 外力外力都作用在纵向对称面内都作用在纵向对称面内• 弯曲变形后轴线变成弯曲变形后轴线变成对称面内对称面内的的平面曲线平面曲线4.1.2 梁的计算简图梁的计算简图不论截面形状，全部用轴线代替梁不论截面形状，全部用轴线代替梁不论截面形状，全部用轴线代替梁不论截面形状，全部用轴线代替梁1 1 1 1）构件本身的简化：）构件本身的简化：）构件本身的简化：）构件本身的简化：2）梁的载荷）梁的载荷l 集中载荷集中载荷l 分布载荷分布载荷l 集中力偶集中力偶3 3）梁的支座）梁的支座固定铰支座固定铰支座活动铰支座活动铰支座固定端固定端4 4）静定梁的分类（三种基本形式））静定梁的分类（三种基本形式）简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁FAxFAyFBFAxFAyFBFAxFAyMA支座之间的长度称为梁的支座之间的长度称为梁的 跨度跨度4-2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图4.2.1 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩弯曲内力的确定方法弯曲内力的确定方法 ：：截面法截面法 已知：如图，已知：如图，F，，a，，l。

求：距求：距 A 端端 x 处截面上内力处截面上内力FABalFABFAxFAyFB解：解：①①求外力（支座反力）求外力（支座反力）FABal将梁从将梁从Ⅰ－－Ⅰ位置截开，若取左侧位置截开，若取左侧AFAyFs内力与外力平衡，内力简化为一力和一力偶内力与外力平衡，内力简化为一力和一力偶该力与截面平行，称为截面的该力与截面平行，称为截面的剪力剪力剪力剪力，记为，记为Fs ；；该力偶的力偶矩称为截面的该力偶的力偶矩称为截面的弯矩弯矩弯矩弯矩，记为，记为 M ②②求内力求内力ⅠⅠxM若取右侧若取右侧FsMBFBF 为使左、右两段梁计算所得的同一截面上的剪力、弯矩在正负号相同，为使左、右两段梁计算所得的同一截面上的剪力、弯矩在正负号相同，结合梁的变形，对梁的剪力和弯矩的正负符号作如下规定结合梁的变形，对梁的剪力和弯矩的正负符号作如下规定弯曲内力的正负号规定弯曲内力的正负号规定: : ①① 剪力剪力Fs : ②② 弯矩弯矩M：：Fs(+)Fs(+)Fs(–)Fs(–)M(+)M(+)M(–)M(–)解：（解：（1））确定支座反力确定支座反力例例4-1：梁：梁1-1、、2-2截面处的内力。

截面处的内力1.2kN/m0.8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122FAFB(2) 1-1截面左段截面左段FA2-2截面右段左侧截面：截面右段左侧截面：1.2kN/m0.8kNAB1.5m1.5m3m2m1.5m1122FAFBFA例例4-2 求图示梁求图示梁 1-1、、2-2 截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩解：取整体解：取整体1-1 截面截面Fs1FAAABCD2m2m2mF =12 kNq =2 kN/m1122FAFBM1ABCD2m2m2mF =12 kNq =2 kN/m1122FAFBFs1FAAM1F = 12kNFAA2-2 截面截面Fs2M2结论：结论：u 集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等集中力（包括支座反力）两侧截面的的弯矩相等；；u 集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，集中力（包括支座反力）两侧截面的的剪力不等，突变值等于集中力的大小突变值等于集中力的大小例例4-3 求图示梁求图示梁 1-1、、2-2 截面的剪力和弯矩截面的剪力和弯矩解：取整体解：取整体ABC2m2m1122Me =12kN·mFAFBFs1FAA1-1 截面截面M1ABC2m2m1122Me =12kN·mFAFB2-2 截面截面BFBFs1FAAM1M2Fs2结论：结论：u 集中力偶两侧截面的的剪力相等；集中力偶两侧截面的的剪力相等；u 集中力偶两侧截面的的弯矩不等，突变值集中力偶两侧截面的的弯矩不等，突变值等于集中力偶的力偶矩。

等于集中力偶的力偶矩n 横截面上的横截面上的 剪力剪力剪力剪力 在数值上等于此横截面的在数值上等于此横截面的 左侧左侧 或或 右侧右侧 梁段上梁段上 外力外力的的代数和代数和 该梁段上与剪力该梁段上与剪力方向相反方向相反的外力引起的外力引起正值正值的剪力，与剪力的剪力，与剪力方向相同方向相同的外的外力引起力引起负值负值的剪力的剪力求剪力和弯矩的简便方法求剪力和弯矩的简便方法 通过以上求截面上剪力和弯矩可以看出通过以上求截面上剪力和弯矩可以看出 ，一般并不必用截面法，可直接，一般并不必用截面法，可直接从横截面的任一侧梁上的从横截面的任一侧梁上的外力外力来求得该横截面上的剪力和弯矩来求得该横截面上的剪力和弯矩n 横截面上的横截面上的 弯矩弯矩弯矩弯矩 在数值上等于此横截面的在数值上等于此横截面的 左侧左侧 或或 右侧右侧 梁段上的梁段上的 外力外力（包括外力偶）（包括外力偶）对该截面形心的力矩之对该截面形心的力矩之代数和代数和 该梁段上与弯矩该梁段上与弯矩转向相反转向相反的外力之矩引起的外力之矩引起正值正值的弯矩，与弯矩的弯矩，与弯矩转向相同转向相同的外力之矩引起的外力之矩引起负值负值的弯矩的弯矩例例4-4 求指定截面上的内力求指定截面上的内力 FSA- ，， FSA+，， FSD- ，， FSD+ ，，MD-，， MD+ ，， FSB- ，， FSB+ 。

M =3kN·m2m2m4mCADBFAFB解：求支座反力解：求支座反力FA=14.5 kN FB=3.5 kN4.2.2 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图通常，梁截面上的剪力、弯矩是截面位置通常，梁截面上的剪力、弯矩是截面位置 x 的函数，可表示为的函数，可表示为 以梁横截面沿轴线的位置以梁横截面沿轴线的位置 x 为横坐标，纵坐标表示梁横截面上的剪力为横坐标，纵坐标表示梁横截面上的剪力和弯矩值绘制的图形分别称之为和弯矩值绘制的图形分别称之为 剪力图剪力图 和和 弯矩图FS = FS ( x )M = M ( x )—— 剪力方程剪力方程—— 弯矩方程弯矩方程弯矩图弯矩图（（ M 图）：图）： 正正的弯矩画在横坐标（基线）的弯矩画在横坐标（基线）下方下方，即受拉一侧；，即受拉一侧； 负负的弯矩画在横坐标的弯矩画在横坐标上方上方，即受压一侧即受压一侧剪力图剪力图（（ FS 图图 ）：）： 正正的剪力画在横坐标（基线）的的剪力画在横坐标（基线）的上方上方；； 负负的剪力画在横坐标的的剪力画在横坐标的下方下方。

弯矩图弯矩图（（ M 图）：图）： 正正的弯矩画在横坐标（基线）的弯矩画在横坐标（基线）上方上方，， 负负的弯矩画在横坐标的弯矩画在横坐标下方下方土类土类机类机类F解解：①①求支反力求支反力②②写出内力方程写出内力方程③③根据方程画内力图根据方程画内力图例例4-5 列出梁内力方程并画出内力图列出梁内力方程并画出内力图MAM 图图FLFABFAyFS图图例例4-6 图示简支梁受集度为图示简支梁受集度为 q 的分布荷载作用试作梁的剪力图和弯矩图的分布荷载作用试作梁的剪力图和弯矩图解：解：1、求支反力、求支反力2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程xlAqFAFB3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图l 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称l 剪力为零的截面弯矩有极值FS 图图M 图图l/2例例4-7 图示简支梁受集中荷载图示简支梁受集中荷载 F 作用试作梁的剪力图和弯矩图试作梁的剪力图和弯矩图解：解：1、求支反力求支反力2、列剪力方程和弯矩方程、列剪力方程和弯矩方程——需分两段列出需分两段列出x1BlAF abCFBFAAC 段段CB 段段x2AC 段段CB 段段3 3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图FS图图 M 图图x1BlAF abCFBFAx2u 在 集中力 F 作用处，剪力图有突变，突变值为集中力的大小；弯矩图有转折。

例例4-8 图示简支梁在图示简支梁在C点受矩为点受矩为Me 的集中力偶作用试作梁的剪力图和弯矩图的集中力偶作用试作梁的剪力图和弯矩图解解: 1、求支反力、求支反力Me BlACabFA FB2、、 列剪力方程和弯矩方程列剪力方程和弯矩方程剪力方程无需分段：剪力方程无需分段：弯矩方程弯矩方程——两段：两段：AC 段：段：CB 段：段：x3、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图Fs 图图M 图图u 集中力偶作用点处剪力图无影响，弯矩图有突变，突变值的大小等于集中力偶的大小Me BlACabFA FBx作业：作业：习题习题 4-2 （（a）、（）、（c）、（）、（d））4.2.3 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用1）剪力、弯矩与分布荷载间的微分关系）剪力、弯矩与分布荷载间的微分关系讨论：讨论：xlAqFAFB？？对对 dx 段进行平衡分析，有：段进行平衡分析，有：dxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)Fs(x)+dFs (x)Fs(x)M(x)dx 剪力图上某点处剪力图上某点处的切线斜率等于该点的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。

处荷载集度的大小 弯矩图上某点处弯矩图上某点处的切线斜率等于该点的切线斜率等于该点处剪力的大小处剪力的大小2）微分关系的应用）微分关系的应用 —— 作作Fs 图和图和 M 图（用于定形）图（用于定形）l 分布力分布力 q ( x ) = 常数时常数时l 分布力分布力 q ( x ) = 0 时时 （无分布载荷）（无分布载荷）Fs 图：图：M图：图：—— 剪力图为一条剪力图为一条水平线水平线；； 弯矩图为一条弯矩图为一条斜直线斜直线—— 剪力图为一条剪力图为一条斜直线斜直线；； 弯矩图为一条弯矩图为一条二次曲线二次曲线（（1）当分布力）当分布力 q 的方向向上时的方向向上时——剪力图为剪力图为斜向上斜向上的斜直线；的斜直线； 弯矩图为弯矩图为上凸上凸的二次曲线的二次曲线2）当分布力的方向向下时）当分布力的方向向下时Fs 图：图：M 图：图：—— 剪力图为剪力图为斜向下斜向下的斜直线；的斜直线； 弯矩图为弯矩图为下凸下凸的二次曲线的二次曲线Fs 图：图：M 图：图：3））剪力、弯矩与分布荷载间的积分关系剪力、弯矩与分布荷载间的积分关系在仅有在仅有 q ( x ) 作用时，作用时，两截面上的弯矩之差，等于两截面间两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图剪力图的面积。

的面积 x1q(x)x2 两截面上的剪力之差，等于两截面间两截面上的剪力之差，等于两截面间分布载荷图分布载荷图的面积 控制点控制点: : 端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等利用利用微分关系定形微分关系定形，利用，利用特殊点的内力值来定值特殊点的内力值来定值，， 利用利用积分关系定值积分关系定值基本步骤基本步骤：： 1 1、确定梁上所有外力（求支座反力）；、确定梁上所有外力（求支座反力）；2 2、分段、分段3 3、利用微分规律判断梁各段内力图的形状；、利用微分规律判断梁各段内力图的形状；4 4、确定控制点内力的数值大小及正负；、确定控制点内力的数值大小及正负；5 5、作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图4.2.4 简易法作剪力图和弯矩图简易法作剪力图和弯矩图例例4-9 作图示梁的剪力图和弯矩图作图示梁的剪力图和弯矩图解解：1、确定支反力、确定支反力AB：BC：2、分段作剪力图和弯矩图、分段作剪力图和弯矩图q > 0,qa2aaqaqABCFyMFS 图图M 图图qa–例例4-10 作图示梁的剪力图和弯矩图。

作图示梁的剪力图和弯矩图AC2mM =12kN·mq=6kN/mFAFB4m解：解：1、求支反力、求支反力Fs图图M 图图B2、分段作剪力图和弯矩图、分段作剪力图和弯矩图AC：BC：q = 0，，FS图水平线，图水平线，M图斜直线图斜直线q < 0，，FS图斜直线，图斜直线，M图二次曲线图二次曲线3ma = 3m，剪力等于零，弯矩有极值，剪力等于零，弯矩有极值例例4-11 作图示梁的剪力图和弯矩图作图示梁的剪力图和弯矩图AC2mF =6kNq =3kN/m2m解：解：1、求支反力、求支反力2mFS 图图M 图图BDFAFB2、分段作剪力图和弯矩图、分段作剪力图和弯矩图AC：CD：q = 0，，FS图水平线，图水平线，M图斜直线图斜直线DB：5kN1kN7kN10kN·m8kN·mq < 0，，FS图斜直线，图斜直线，M图二次曲线图二次曲线q = 0，，FS图水平线，图水平线，M图斜直线图斜直线例例4-12 作图示梁的剪力图和弯矩图作图示梁的剪力图和弯矩图AC3mM =10kN·mq=1kN/m4mBF1 =2kNF2 =2kN4m4mDE解：解：1、求支反力、求支反力FAFB2、分段作剪力图和弯矩图、分段作剪力图和弯矩图FS 图图：M 图图： Fs解：解：1、确定约束力、确定约束力F FB Bqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMMA A例例4-13 作图示梁的剪力图和弯矩图。

作图示梁的剪力图和弯矩图F FAyAy2、分段作剪力图和弯矩图、分段作剪力图和弯矩图作业：作业：习题习题 4-3 （（a）、（）、（b）、（）、（c）、（）、（d）、（）、（e）、）、（（g））习题习题 4-4 （（b））4.2.5 叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图2 2、叠加原理：、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和而引起的内力的代数和1 1、前提条件、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内力、应力、位移）必小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系即在弹性范围内满足虎克定律然与荷载满足线性关系即在弹性范围内满足虎克定律3 3、步骤：、步骤：• 梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用；梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用；• 分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；• 将其相应的纵坐标叠加即可（将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）注意：不是图形的简单拼凑）BMABlqABlqMAl=+FA=M/lFB=M/lFA=ql/2FB=ql/2M 图图Mql2/8+=例例4-14 按叠加法作弯矩图。

按叠加法作弯矩图Mql2/8Mmax5l / 8=+M 图图+=FMABl/2l/2BFB=M/lMAFA=M/ll/2l/2ABFA=F/2FB=F/2l/2l/2FFl/4M例例4-15 按叠加法作弯矩图按叠加法作弯矩图MFl/4q =2kN/mAF =4kN6m2mBCM 图图例例4-16 按叠加法作弯矩图按叠加法作弯矩图q =2kN/mA6m2mBCAF =4kN6m2mBC+=9kN·m8kN·m8kN·m+=9kN·m4.3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图4.3.1 平面刚架和曲杆的概念平面刚架和曲杆的概念n刚性连结处，相连杆件的夹角不会改变n刚性连结不仅能传力、而且能传递力矩n刚架截面上的内力包括：轴力、剪力、弯矩 平面刚架平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连结刚性连结而组成的结构而组成的结构ABC 轴线为轴线为平面曲线平面曲线的构件称为的构件称为平面曲杆平面曲杆 平面曲杆横截面上的内力有平面曲杆横截面上的内力有轴力、剪力和弯矩轴力、剪力和弯矩。

平面刚架及曲杆的内力图平面刚架及曲杆的内力图l轴力图轴力图和和剪力图剪力图：： 可画在刚架轴线的可画在刚架轴线的任一侧任一侧，必须，必须标明正负号标明正负号通常正值画在刚架（曲杆）的外侧通常正值画在刚架（曲杆）的外侧l弯矩图：弯矩图：画在杆件画在杆件受拉一侧受拉一侧，可以不标明正负号，可以不标明正负号4.3.2 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图CBa解：将刚架分为解：将刚架分为 CB，，AB 两段两段CB 段：段：FN ( x ) = 0FS ( x ) = F1M ( x ) = - F1x ( 0   x   a )xCFS ( x )M ( x )alF1F2ABC例例4-17 图示下端固定的刚架，在其轴线平面内受集中力图示下端固定的刚架，在其轴线平面内受集中力 F1 和和 F2 作用，作此刚作用，作此刚架的内力图架的内力图xFN ( x )BA 段段：FN ( x1 ) = - F1FS ( x1 ) = F2M ( x1 ) = - F1a- F2 x1 ( 0   x1   l )x1CB 段：段：FN ( x ) = 0FS ( x ) = F1M ( x ) = - F1x ( 0   x   a )BA 段段：FN ( x1 ) = - F1FS ( x1 ) = F2M ( x1 ) = - F1a- F2 x1 ( 0   x1   l )alF1F2ABCxx1F1FN 图图++F1F2FS 图图F1aF1aF2lF1a +M 图图例例4-18 画出图示曲杆的内力图画出图示曲杆的内力图解：写出曲杆的内力方程解：写出曲杆的内力方程作业：作业：习题习题 4-11 （（b））4.4.1 纯弯曲和横力弯曲的概念纯弯曲和横力弯曲的概念4.4 梁横截面的正应力和正应力强度条件梁横截面的正应力和正应力强度条件 当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩弯矩 M ，， 又有又有剪力剪力 FS 。

剪力剪力 Fs —— 切应力切应力   ；；弯矩弯矩 M —— 正应力正应力  FFaaCDFFFaAB１１. .纯弯曲纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲）2.2.横力弯曲（剪切弯曲）横力弯曲（剪切弯曲） 梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲）4.4.2 纯弯曲梁横截面上的正应力纯弯曲梁横截面上的正应力综合考虑综合考虑: 几何几何 ，，物理物理 和和 静力学静力学 三方面三方面1 1 变形几何关系：变形几何关系：　　由纯弯曲的变形规律由纯弯曲的变形规律→→纵向线应变的变化规律纵向线应变的变化规律实验：实验：aabbmmnnmmnnMMaabb变形规律：变形规律：l 横向线横向线：仍为直线，只是相对转动：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交了一个角度且仍与纵向线正交l 纵向线纵向线：由直线变为曲线，且靠近：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长假设：假设：l弯曲平面假设：弯曲平面假设： 梁变形前原为平面的横截面变形梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。

了一个角度凹入凹入一侧纤维一侧纤维缩短缩短突出突出一侧纤维一侧纤维伸长伸长 根据变形的连续性，梁弯曲根据变形的连续性，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的中间必有一层纵向无长度改变的过渡层过渡层 ———— 称为称为中性层中性层中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线 －－－－中性轴中性轴l 纵向纤维假设：纵向纤维假设： 梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维之间无挤压 梁的弯曲变形实际上是各截面梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同等高度的一层纤维的变形完全相同中性层中性层中性轴中性轴横截面横截面横截面的横截面的对称轴对称轴BAabcd线应变的变化规律：线应变的变化规律：dxyoo1B1A1OO1yr rdq qe e 和和 y 成正比成正比 ，而与，而与 z 无关无关 在弹性范围内，在弹性范围内，2 2 物理关系：物理关系： 由纵向线应变的变化律由纵向线应变的变化律→→正应力的分布规律。

正应力的分布规律¡¡ 即对给定的横截面，其即对给定的横截面，其即对给定的横截面，其即对给定的横截面，其上任一点的正应力与该点到中性上任一点的正应力与该点到中性上任一点的正应力与该点到中性上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，在距中性轴为轴的距离成正比，在距中性轴为轴的距离成正比，在距中性轴为轴的距离成正比，在距中性轴为 y y的同一横线上各点处的正应力的同一横线上各点处的正应力的同一横线上各点处的正应力的同一横线上各点处的正应力均相等均相等均相等均相等 zy  max  max 欲求欲求横截面上一点应力必须知道中横截面上一点应力必须知道中性轴的位置和性轴的位置和中性层的曲率半径中性层的曲率半径yxMz（中性轴（中性轴 z 轴为形心轴）轴为形心轴）（（ y 轴为对称轴，自然满足）轴为对称轴，自然满足）yzA ——弯曲变形计算的基本公式弯曲变形计算的基本公式3 静力方面：静力方面： 由横截面上的弯矩和正应力的关系由横截面上的弯矩和正应力的关系→正应力的计算公式正应力的计算公式纯弯曲正应力计算公式。

纯弯曲正应力计算公式EIz —— 梁的梁的抗弯刚度抗弯刚度 横截面上各点正应力大小与各点到中性轴的距离成横截面上各点正应力大小与各点到中性轴的距离成正比正比，中性轴上各点，中性轴上各点正应力为正应力为零零，离中性轴最远点正应力，离中性轴最远点正应力最大最大 应用公式时，一般将应用公式时，一般将 M，，y 以以绝对值绝对值代入根据代入根据梁变形梁变形的情况直接判断的情况直接判断   的的正，负号正，负号 以中性轴为界，梁变形后以中性轴为界，梁变形后凸凸出边的应力为出边的应力为拉应力拉应力（（   为正号）为正号）凹凹入边的应力为入边的应力为压应力压应力，（，（   为负号）为负号）中性轴中性轴yzCyCzM拉拉压压M拉拉压压Wz —— 弯曲截面系数弯曲截面系数u 截面关于中性轴对称截面关于中性轴对称u 截面关于中性轴不对称截面关于中性轴不对称几种常见截面的几种常见截面的 IZ 和和 WZ圆截面圆截面矩形截面矩形截面空心圆截面空心圆截面4.4.3 正应力公式的推广正应力公式的推广工程中常见的平面弯曲是工程中常见的平面弯曲是横力弯曲横力弯曲 实验和弹性力学理论的研究都表明：实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度当跨度 l 与横截面高度与横截面高度 h 之比之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。

弯曲正应力公式弯曲正应力公式可推广应用于横力弯曲和小曲率梁可推广应用于横力弯曲和小曲率梁截面关于中性轴对称截面关于中性轴对称截面关于中性轴不对称截面关于中性轴不对称(最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内最大拉应力、最大压应力可能发生在不同的截面内)横力弯曲梁上的最大正应力横力弯曲梁上的最大正应力1m2mBAn 弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力分布弯曲正应力分布• 细长梁的细长梁的 纯弯曲纯弯曲 或或 横力弯曲横力弯曲• 横截面惯性积横截面惯性积 Iyz = 0• 弹性弹性变形变形阶段阶段BAl = 3mq=60kN/mC1m30zy180120K1. C 截面上截面上 K 点正应力点正应力2. C 截面上最大正应力截面上最大正应力3. 全梁上最大正应力全梁上最大正应力4. 已知已知E=200GPa，，C 截面截面的曲率半径的曲率半径 r r（压应力）（压应力）1. 求支反力求支反力解：解：M2. C 截面上截面上 K 点正应力点正应力例例4-19 简支梁，求简支梁，求 F FAyAyF FByBy3. C 截面最大正应力截面最大正应力BAl = 3mq=60kN/mC1m30zy180120KMF FAyAyF FByBy4. 全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩5. C 截面曲率半径截面曲率半径 r r例例4-20 求图示求图示 T 形截面梁的最大拉应力和最大压应力。

形截面梁的最大拉应力和最大压应力ABCD0.3m0.3m0.2mF =20kNF =50kN301103080画梁的弯矩图画梁的弯矩图5.5kN.m4kN.mCzy2y1解：确定中性轴的位置解：确定中性轴的位置截面形心主惯性矩：截面形心主惯性矩： D 截面下边受拉，上边受压；截面下边受拉，上边受压；B 截面上边受拉，下边受压截面上边受拉，下边受压MD y2 > MB y1 ，，最大压应力在最大压应力在 D 截面的上边缘；截面的上边缘； MD y1 < MB y2 ，最大拉应力发生在，最大拉应力发生在 B 截面的上截面的上边缘ABCD0.3m0.3m0.2mF =20kNF =50kN3011030805.5kN.m4kN.mCzy2y1qDABCaaEl例例4-21 受均布荷载作用的等直外伸梁试确定支座的合理位置受均布荷载作用的等直外伸梁试确定支座的合理位置为最小，即为最小，即解：只有当支座处截面与跨中截面解：只有当支座处截面与跨中截面之弯矩的绝对值相等时，才能使梁之弯矩的绝对值相等时，才能使梁的最大弯矩的绝对值为最小的最大弯矩的绝对值为最小对于等截面梁，其最大正应力对于等截面梁，其最大正应力解得解得[   ] —— 材料的许用弯曲正应力材料的许用弯曲正应力中性轴为横截面对称轴的等直梁中性轴为横截面对称轴的等直梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁Czyytmaxycmax为充分发挥材料的强度为充分发挥材料的强度，最合理的设计为，最合理的设计为4.4.4 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件 1、强度校核、强度校核—— 2、设计截面尺寸、设计截面尺寸—— 3、确定外荷载、确定外荷载——10m2.5m75 kN75 kN75 kN2.5m2.5mABFAFB例例4-22 图图 示梁由工字钢制成。

钢的许用弯曲正应力示梁由工字钢制成钢的许用弯曲正应力[   ] = 152 MPa ，试选择工，试选择工字钢的型号字钢的型号 解：作弯矩图解：作弯矩图梁的最大弯矩为梁的最大弯矩为抗弯截面系数为抗弯截面系数为281375查型钢表选查型钢表选 56 b 号工字钢号工字钢也不到也不到 1% ，故可选用，故可选用 56 b 号工字钢号工字钢 采用此工字钢时最大正应力采用此工字钢时最大正应力不到不到 1%例例4-23 T 形截面的铸铁梁，铸铁的形截面的铸铁梁，铸铁的[  t ] = 30 MPa，，[  c ] = 60 MPa其截面形心位其截面形心位于于 C 点，点，y1 = 38.2 mm，， y2 = 71.8 mm，，Iz = 573 cm4 ，试校核此梁的强度试校核此梁的强度ABCD0.3m0.3m0.2mF =10kNF =25kN3011030802.75kN.m2kN.mCzy2y1解：画梁的弯矩图解：画梁的弯矩图 D 截面下边受拉，上边受压；截面下边受拉，上边受压；B 截面上边受截面上边受拉，下边受压拉，下边受压MD y2 > MB y1 ，最大压应力在，最大压应力在 D 截面的上边缘；截面的上边缘； MD y1 < MB y2 ，最大拉应力发生，最大拉应力发生在在 B 截面的上边缘。

截面的上边缘梁的强度符合要求梁的强度符合要求例例4-24 跨长跨长 l = 2m 的铸铁梁如图的铸铁梁如图 所示已知材料的拉，压许用应力分别为已知材料的拉，压许用应力分别为[  t ] = 30 MPa，， [  c ] = 90 MPa试根据截面最试根据截面最为合理的要求确定为合理的要求确定 T 字形截面梁横截面的字形截面梁横截面的一个尺寸一个尺寸 d d AB1mF = 80kNOz22060280zy1y2解：要使截面最合理，必须使同一截面的解：要使截面最合理，必须使同一截面的因为这样就可使材料的拉，压强度得到因为这样就可使材料的拉，压强度得到同等成度的利用同等成度的利用AB1mF = 80kNOz22060280zy1y2即得即得例例4-25 安装简易吊车，大梁选用工字钢已知电葫芦自重安装简易吊车，大梁选用工字钢已知电葫芦自重 F1 = 6.7 kN，起重量，起重量F2 = 50 kN ，跨度，跨度 l = 9.5 m，，材料的许用应力材料的许用应力[   ] = 140 MPa，试选择工字钢的型，试选择工字钢的型号4）选择工字钢型号）选择工字钢型号（（3）根据）根据计算计算（（2）绘弯矩图）绘弯矩图 （（1）计算简图）计算简图解：解：36 c 工字钢工字钢Fl / 4F = F1+F2例例4-26 一槽形截面铸铁梁如图所示。

以知：一槽形截面铸铁梁如图所示以知：b = 2 m ，，Iz = 5493×104 mm4 ，铸铁的，铸铁的许用拉应力许用拉应力[  t ] = 30 MPa，许用压应力，许用压应力[  c ] = 90 MPa 试求梁的许可荷载试求梁的许可荷载 [ F ] CbbDAFbBy202013486120180z40C解解：作弯矩图作弯矩图最大负弯矩在最大负弯矩在 B 截面上，最大截面上，最大正弯矩在正弯矩在 C 上C 截面截面 C 截面的强度条件由最大拉应力控制截面的强度条件由最大拉应力控制CbbDAFbBy202013486120180z40CB 截面截面取其中较小者，得该梁的最小荷载为取其中较小者，得该梁的最小荷载为作业：作业：习题习题 4-23习题习题 4-24习题习题 4-25习题习题 4-304.5梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力 切应力强度条件切应力强度条件4.5.1 矩形截面梁横截面上的切应力矩形截面梁横截面上的切应力横力弯曲时，梁横截面即有弯矩，也有剪力，相应也必有切应力横力弯曲时，梁横截面即有弯矩，也有剪力，相应也必有切应力F2F1q(x)mmnnxdxFSMFS + dFSM + dMmmnndxzybh 2BAB 'A'nmm1dxl 假设：假设：• 横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。

横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同• 切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）点切应力大小相等）zybhy FSmmnndx 2 1yzy 1  ' 2BAB 'A'nmm1dxyzy 1  '由剪应力互等定理可知由剪应力互等定理可知u 注意注意：：Fs 为横截面的剪力；为横截面的剪力；Iz 为整个横截面对为整个横截面对 z 轴的惯性矩；轴的惯性矩；b为所求点对应位置为所求点对应位置截面的宽度；截面的宽度；Sz* 为所求点对应位置以外的面积对为所求点对应位置以外的面积对 z 轴的静矩轴的静矩A*l 公式推导公式推导l 矩形截面切应力的分布：矩形截面切应力的分布：zyyObh/2h/2A*y0切应力沿截面高度按抛物切应力沿截面高度按抛物线规律变化线规律变化即在横截面上距中性轴最远处（即在横截面上距中性轴最远处)y = 0 ( 即在中性轴上各点处）即在中性轴上各点处） ，切应力达到，切应力达到最大值最大值 max4.5.2 工字型截面梁横截面上的切应力工字型截面梁横截面上的切应力tyhbxdz假设假设 : :   // 腹板侧边，并沿其厚度均匀分布腹板侧边，并沿其厚度均匀分布仍按矩形截面的公式计算。

——下侧部分截面对中性轴 z 的静矩l 腹板上的切应力腹板上的切应力yOzy最大剪应力也在中性轴上最大剪应力也在中性轴上这也是整这也是整个横截面上的最大剪应力个横截面上的最大剪应力腹板上的剪应力沿腹板高度按二次腹板上的剪应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化抛物线规律变化—— 中性轴任一边的半个横截中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩面面积对中性轴的静矩 l 翼缘上的切应力翼缘上的切应力 计算表明，工字形截面梁的腹板承担计算表明，工字形截面梁的腹板承担的剪力的剪力(1) (1) 平行于平行于 y 轴的切应力轴的切应力 翼缘上平行于翼缘上平行于 y 轴的切应力很小，工程上轴的切应力很小，工程上一般不考虑截面上的剪力基本上由腹板承担一般不考虑截面上的剪力基本上由腹板承担xythzOdbty(2) (2) 垂直于垂直于 y 轴的切应力轴的切应力tht1t1'xythOdbthz t —— 欲求切应力值的点所在位置的壁厚 ——欲计算切应力的点到截面端部（（  =0 =0 处) )这部分截面的静矩 即翼缘上垂直于即翼缘上垂直于 y 轴的切应力随轴的切应力随  按线按线性规律变化。

性规律变化 通过推导可以得知，薄壁工字钢梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指通过推导可以得知，薄壁工字钢梁上、下翼缘与腹板横截面上的切应力指向构成了向构成了“切应力流切应力流”zyOtmaxtmaxtmint1max4.5.3 薄壁环形截面梁横截面上的切应力薄壁环形截面梁横截面上的切应力 薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征：薄壁环形截面梁弯曲切应力的分布特征：(1) d << r0→沿壁厚切应力的大小不变；沿壁厚切应力的大小不变；(2) 内、外壁上无切应力内、外壁上无切应力→切应力的方向与切应力的方向与圆周相切；圆周相切；(3) y 轴是对称轴轴是对称轴 → 切应力分布与切应力分布与 y 轴对轴对称；与称；与 y 轴相交的各点处切应力为零轴相交的各点处切应力为零最大切应力最大切应力tmax 仍发生在中性轴仍发生在中性轴 z 上zyOtmaxtdr0tmax4.5.4 圆截面梁横截面上的切应力圆截面梁横截面上的切应力切应力的分布特征：切应力的分布特征： 边缘各点切应力的方向与圆周相切；边缘各点切应力的方向与圆周相切；切应切应力分布与力分布与 y 轴对称；与轴对称；与 y 轴相交各点处的切应轴相交各点处的切应力其方向与力其方向与 y 轴一致。

轴一致关于其切应力分布的假设：关于其切应力分布的假设：1、离中性轴为任意距离、离中性轴为任意距离 y 的水平直线段上各的水平直线段上各点处的切应力汇交于一点点处的切应力汇交于一点 ；；2、这些切应力沿、这些切应力沿 y方向的分量方向的分量  y 沿宽度相沿宽度相等zyOtmaxkk'O'd最大切应力最大切应力  max 在中性轴处在中性轴处当当 l >> h 时，时， max >>  max4.5.5 弯曲正应力与弯曲切应力比较弯曲正应力与弯曲切应力比较ABF = 150 kN5m10m例例4-27 图示简支梁由图示简支梁由 56 a 工字钢制成求梁的最大切应力工字钢制成求梁的最大切应力  max 和同一截面腹和同一截面腹板部分板部分 a 点处的切应力点处的切应力 a解：作剪力图解：作剪力图75 kN75 kNa1665602112.5z查型钢表查型钢表a 点以外的截面面积对中性轴的静矩点以外的截面面积对中性轴的静矩 为为 a1665602112.5z例例4 -28 一槽钢制成的梁受方向平行于其腹一槽钢制成的梁受方向平行于其腹板的横向荷载作用板的横向荷载作用。

1））分析横截面上腹板，分析横截面上腹板，翼缘两部分切应力翼缘两部分切应力  和和  1 的变化规律；（的变化规律；（2））确定横截面上剪力作用线的位置确定横截面上剪力作用线的位置mmnnxdxq(x)tyOmmtyzdhb解：解： 分析腹板上切应力的变化规律分析腹板上切应力的变化规律切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化取梁段取梁段 dx ，并沿翼缘厚度用纵向截面，并沿翼缘厚度用纵向截面 AC 截出一体积元素截出一体积元素 Cm 横截面翼缘上的剪应横截面翼缘上的剪应力力DCmnOzydxuAmdAAuDmCdxtB在在 Cm 的两个截面的两个截面 Am , CD 上上 分别有由法向内力元素分别有由法向内力元素组成的拉力组成的拉力 、、DCmnOzydxuAmdAAuDmCdxtB由于翼缘很薄，故可认为由于翼缘很薄，故可认为  1 ,  11 沿翼缘厚度保持不变，且其值与翼缘中线上的正沿翼缘厚度保持不变，且其值与翼缘中线上的正应力相同应力相同由于由于 所以在所以在AC 截面上截面上一定存在着由切向内力元素一定存在着由切向内力元素AuDmCdxtB 因为翼缘横截面也是狭长矩形，故假因为翼缘横截面也是狭长矩形，故假设切应力沿壁厚不变及其方向平行于翼缘设切应力沿壁厚不变及其方向平行于翼缘的长度。

根据切应力互等定理，横截面上的长度根据切应力互等定理，横截面上的切应力和的切应力和AC上的切应力如图所示上的切应力如图所示 1 1 沿翼缘长度按线性规律沿翼缘长度按线性规律变化变化 翼缘上的最大切应力发生在横截面上翼翼缘上的最大切应力发生在横截面上翼缘与腹板的中线相接处缘与腹板的中线相接处 mm确定横截面上剪力作用线的位置确定横截面上剪力作用线的位置HH 横截面上的剪力共有三部分组成横截面上的剪力共有三部分组成 ，即一，即一个个 FR 和两个和两个 H 它们的合力的作用线位置，它们的合力的作用线位置，就是梁横截面上剪力的作用线位置就是梁横截面上剪力的作用线位置 由力系合由力系合成原理可知，上述合力的大小和方向均与成原理可知，上述合力的大小和方向均与 FR 相同相同 ，但作用线应与，但作用线应与 FR相隔一个距离相隔一个距离 emmOyze由此即确定了横截面上剪力作用线的位置由此即确定了横截面上剪力作用线的位置AA 点称为点称为点称为点称为 弯曲中心弯曲中心弯曲中心弯曲中心或或或或剪切中心剪切中心剪切中心剪切中心剪切中心剪切中心 。

A 几种常见薄壁截面弯曲中心的位置：几种常见薄壁截面弯曲中心的位置：zyCACAzyCAyzyzCA ⑴⑴具有两个以上对称轴的截面，弯曲中心与形心重合；具有两个以上对称轴的截面，弯曲中心与形心重合； ⑵⑵开口圆环截面，弯曲中心在圆外对称轴上；开口圆环截面，弯曲中心在圆外对称轴上； ⑶⑶具有两个狭窄矩形的截面，弯曲中心位于狭窄矩形中线的交点具有两个狭窄矩形的截面，弯曲中心位于狭窄矩形中线的交点zyACF 当外力的作用线过弯曲中心时，梁只发生弯曲；当外力的作用线不过弯曲当外力的作用线过弯曲中心时，梁只发生弯曲；当外力的作用线不过弯曲中心时，梁不仅发生弯曲，还发生扭转中心时，梁不仅发生弯曲，还发生扭转 当外力的作用线既过弯曲中心，又与形心主轴平行时，梁发生平面弯曲；当外力的作用线既过弯曲中心，又与形心主轴平行时，梁发生平面弯曲； 若外力的作用线只过弯曲中心，但不与形心主轴平行时，梁发生斜弯曲若外力的作用线只过弯曲中心，但不与形心主轴平行时，梁发生斜弯曲zyACFzyACFzyACF平面弯曲平面弯曲斜弯曲斜弯曲平面弯曲＋扭转平面弯曲＋扭转斜弯曲＋扭转斜弯曲＋扭转zzzzyyyyPPPPCCCC矩形截面矩形截面方形截面方形截面T形截面形截面等边角钢等边角钢斜弯曲斜弯曲平面弯曲平面弯曲斜弯曲＋扭转斜弯曲＋扭转斜弯曲＋扭转斜弯曲＋扭转AA4.5.6 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件梁除满足正应力强度外，还需满足切应力强度。

梁除满足正应力强度外，还需满足切应力强度 对于横力弯曲下的等直梁对于横力弯曲下的等直梁 ，其横截面上一般既有弯矩又有剪力梁上最大，其横截面上一般既有弯矩又有剪力梁上最大正应力发生在弯矩最大的横截面上距中性轴最远的各点处正应力发生在弯矩最大的横截面上距中性轴最远的各点处 而梁上最大的切而梁上最大的切应力发生在剪力最大的横截面上中性轴的各点处应力发生在剪力最大的横截面上中性轴的各点处 等直梁的最大切应力一般在最大剪力所在横截面的中性轴上各点处，这些等直梁的最大切应力一般在最大剪力所在横截面的中性轴上各点处，这些点的正应力点的正应力   = 0 ，略去纵截面上的挤压力后，最大切应力所在的各点均可看作，略去纵截面上的挤压力后，最大切应力所在的各点均可看作是处于纯剪切应力状态是处于纯剪切应力状态 讨论全梁承受均布荷载的矩形截面简支梁讨论全梁承受均布荷载的矩形截面简支梁 C , D , E , F , G , H 各点的应力各点的应力状态状态 FS 图图 在最大弯矩截面上，距中性轴最远的在最大弯矩截面上，距中性轴最远的 C 和和 D 点处于单轴应力状态点处于单轴应力状态 ；在最大；在最大剪力截面上，中性轴上的剪力截面上，中性轴上的 E , F 点处于纯剪切应力状态点处于纯剪切应力状态 ; 而而 G , H 点处于一般应力点处于一般应力状态状态。

M 图图EGHCDFmqlmC , D 为单轴应力状态为单轴应力状态CDFS 图图M 图图EGHCDFmqlmFS 图图M 图图EGHCDFmqlmE , F 为纯剪切应力状态为纯剪切应力状态EFFS 图图M 图图EGHCDFmqlmG , H 为一般应力状态为一般应力状态GH仿照纯剪切应力状态下的强度条件公式仿照纯剪切应力状态下的强度条件公式在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面，再按剪应力进行强度校核在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面，再按剪应力进行强度校核[   ]为材料在横力弯曲时的许用剪应力为材料在横力弯曲时的许用剪应力梁的切应力强度条件为梁的切应力强度条件为对等直梁，有对等直梁，有1 1、校核强度、校核强度2 2、设计截面尺寸、设计截面尺寸3 3、确定外荷载确定外荷载 需要校核切应力的几种特殊情况：需要校核切应力的几种特殊情况：u铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力校核切应力u梁的跨度较短，梁的跨度较短，M 较小，而较小，而 FS 较大时，要校核切应力较大时，要校核切应力。

u各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力要校核切应力梁的切应力强度条件为梁的切应力强度条件为例例4-29 简支梁受均布荷载作用，其荷载集度简支梁受均布荷载作用，其荷载集度 q = 3.6 kN/m，，梁的跨长梁的跨长 l = 3m ，，横截面为横截面为b×h = 120×180 mm2，，许用弯曲正应力许用弯曲正应力[   ] = 7 MPa，许用切应力，许用切应力[   ] = 0.9 MPa ，校核梁的强度，校核梁的强度 梁的正应力强度校核梁的正应力强度校核由弯矩图知，跨中截面为危险截面，由弯矩图知，跨中截面为危险截面，最大弯矩值为最大弯矩值为解：作梁的剪力图和弯矩图解：作梁的剪力图和弯矩图ABqFS 图图M 图图梁横截面的的抗弯截面系数为梁横截面的的抗弯截面系数为横截面上的最大正应力横截面上的最大正应力ABqFS 图图M 图图梁的切应力强度校核梁的切应力强度校核矩形截面的面积为矩形截面的面积为梁横截面上的最大切应力梁横截面上的最大切应力由剪力图知，危险截面为由剪力图知，危险截面为A、、B 截面，截面，最大的剪力为最大的剪力为 以上两方面的强度条件均满足，所以上两方面的强度条件均满足，所以此梁是安全的。

以此梁是安全的例例4-30 简支梁由两根槽钢组成简支梁由两根槽钢组成 ，，受四个集中力作用，已知受四个集中力作用，已知 F1 = 120 kN，，F2 = 30 kN，，F3 = 40 kN，，F4 = 12 kN，梁的许用应力，梁的许用应力     = 170 MPa，，     = 100 MPa 试选择槽试选择槽钢型号zyO0.6单位：单位：m0.40.40.32.4AB13818125264单位：单位：kN55.262.45438.4单位：单位：kN .m解：作剪力图和弯矩图解：作剪力图和弯矩图由正应力强度条件选择槽钢型号由正应力强度条件选择槽钢型号由弯矩图知，最大弯矩为由弯矩图知，最大弯矩为梁的抗弯截面系数为梁的抗弯截面系数为每一根槽钢的抗弯截面系数为每一根槽钢的抗弯截面系数为查型钢表，选查型钢表，选 20 a 号槽钢，其抗弯截面系数为号槽钢，其抗弯截面系数为超过许用正应力约超过许用正应力约超过许用正应力约超过许用正应力约 3% 3% ，在工程上是允许的在工程上是允许的在工程上是允许的在工程上是允许的小于所需小于所需 Wz约约 3% 。

当此梁选用两根当此梁选用两根 20 a 号槽钢时，梁的最大正应力号槽钢时，梁的最大正应力校核最大切应力校核最大切应力由剪力图由剪力图 知，最大剪力为知，最大剪力为 根据根据 20 a 号槽钢截面简化后的尺寸，计算中性轴号槽钢截面简化后的尺寸，计算中性轴一侧的面积对中性轴的静矩一侧的面积对中性轴的静矩20073100117由型钢表查得由型钢表查得 20 a 号槽钢的号槽钢的 Iz=1780 cm4 根据切应力计算公式根据切应力计算公式选的选的 20 a 号工字钢满足切应力强度条件号工字钢满足切应力强度条件 因而可用因而可用梁是由两根槽钢组成梁是由两根槽钢组成 ，， 故每一根槽钢分担的最大剪力为故每一根槽钢分担的最大剪力为例例4-31 简易起重设备简易起重设备中的吊车大梁，现因移动荷载中的吊车大梁，现因移动荷载 F 由由 30kN 增加为增加为 50kN ，，故在故在 20 a 号工字钢梁的中段用两块横截面为号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm×10mm而长度而长度 2.2mm 的钢的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示。

已知许用弯曲正应力板加强加强段的横截面尺寸如图所示已知许用弯曲正应力[  ] = 152 MPa, 许用切应力许用切应力[  ] = 95 MPa 试校核此梁的强度试校核此梁的强度2.2m1.4mF2.5m5mABCD200z22012010解：加强后的梁是阶梯状解：加强后的梁是阶梯状变截面梁变截面梁所以要校核所以要校核l F 位于跨中时跨中截位于跨中时跨中截面上的弯曲正应力面上的弯曲正应力l F 靠近支座时靠近支座时, 支座支座截面上的截面上的切应力切应力l F 移至未加强的梁段移至未加强的梁段在截面变化处的正应力在截面变化处的正应力l 校核校核 F 位于跨中时位于跨中时截面时截面时的弯曲正应力的弯曲正应力查型钢表得查型钢表得 20 a 工字钢工字钢跨中截面对中性轴的跨中截面对中性轴的最大弯最大弯矩值为矩值为这里略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩这里略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩 弯曲截面系数弯曲截面系数2.2m1.4mF2.5m5mABCD200z2201201062.5kN·ml 校核突变截面校核突变截面 D 处的正应力，也就是校核未加强段的正应力强度处的正应力，也就是校核未加强段的正应力强度由弯矩图知，该截面上的弯矩为最大由弯矩图知，该截面上的弯矩为最大FABD50.4 kN·m未加强段截面的抗弯截面系数由型钢表查得未加强段截面的抗弯截面系数由型钢表查得 这说明在未加强的部分，梁不能满足正应这说明在未加强的部分，梁不能满足正应力强度条件，为此应将力强度条件，为此应将加强板适当延长加强板适当延长 。

l 校核此阶梯梁的切应力时，靠近支座的截面为不利荷载位置校核此阶梯梁的切应力时，靠近支座的截面为不利荷载位置EFAB梁的剪力图梁的剪力图请同学们自行完成计算请同学们自行完成计算作业：作业：习题习题 4-32习题习题 4-354.6 梁的合理设计梁的合理设计4.6.1 合理配置梁的荷载和支座，减小弯矩合理配置梁的荷载和支座，减小弯矩按强度要求设计梁时按强度要求设计梁时，主要是依据梁的正应力强度条件主要是依据梁的正应力强度条件ABF/LMmax = FL / 8F/LMmax =FL / 400.2L0.2Ll 合理地设置支座位置合理地设置支座位置FABL/2L/2Mmax=FL / 4F/2Mmax = FL / 8L/4L/4F/2Fl 合理地配置梁的荷载合理地配置梁的荷载 当弯矩已定时，横截面形状，应使抗弯截面系数与面积之比尽可能地大当弯矩已定时，横截面形状，应使抗弯截面系数与面积之比尽可能地大4.6.2 合理选择截面形状合理选择截面形状zhbCaaCzdzC矩形截面比方形截面好矩形截面比方形截面好方形截面比圆形截面好方形截面比圆形截面好l 提高抗弯截面系数提高抗弯截面系数zzz工字形截面、槽形截面、工字形截面、槽形截面、T 形截面均比矩形截面好。

形截面均比矩形截面好 对矩形截面梁，横截面的正应力沿截面高度线性分布，当上下边缘对矩形截面梁，横截面的正应力沿截面高度线性分布，当上下边缘的应力达到容许应力时，中性轴附近材料远比容许应力，没能充分发挥的应力达到容许应力时，中性轴附近材料远比容许应力，没能充分发挥材料作用，材料作用，若若将这部分材料移到离中性轴较远处，就可极大地提高梁的将这部分材料移到离中性轴较远处，就可极大地提高梁的承载能力承载能力l 根据材料特性选择截面形状根据材料特性选择截面形状 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用 T 字形类的截面，并使中字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端受拉，则令中性轴靠近上端竖放比横放要好竖放比横放要好l 选择放置方式选择放置方式 对于等截面梁，按强度条件只有对于等截面梁，按强度条件只有Mmax截面上的最大正应力才达到截面上的最大正应力才达到[  ]，而，而其它其它截面上的最大正应力均没达到截面上的最大正应力均没达到[  ]。

4.6.3 采用变截面梁采用变截面梁 若若采用变截面梁，使各截面上的最大正应力同时达到采用变截面梁，使各截面上的最大正应力同时达到[  ]，此梁工程上称为，此梁工程上称为等强度梁等强度梁等强度梁等强度梁 等等强度梁的抗弯截面模量设计强度梁的抗弯截面模量设计变截面梁变截面梁。