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1、反矩陣與行列式反矩陣與行列式東海大學物理系數值分析DefinitionI:單位矩陣，Iij=dij對一 nn 矩陣A，若存在另一 nn 矩陣 B 使得 AB=I，則稱 A 為可逆（invertible）或非奇異（nonsingular）矩陣，B 則可寫為 A-1若 A-1 不存在，則稱 A 為不可逆（noninvertible）或奇異（singular）矩陣利用高斯消去法求矩陣利用高斯消去法求矩陣若已知矩陣 A 之元素為 aij for 1i,jn，欲求A-1之元素 bij for 1i,jn，根據定義：利用高斯消去法求矩陣利用高斯消去法求矩陣根據矩陣乘法的定義，我們可以將這個矩陣方程根據矩陣
2、乘法的定義，我們可以將這個矩陣方程式拆成式拆成 n n 個個 n n 變數聯立方程式變數聯立方程式a aij ij為已知，是方程式的係數，為已知，是方程式的係數，b bij ij則是未知數，分則是未知數，分別以高斯消去法解出這別以高斯消去法解出這 n n 組方程式，即可求出組方程式，即可求出全部的全部的 b bij ij利用高斯消去法求矩陣利用高斯消去法求矩陣我們也可以將全部的方程式合併，寫成一個我們也可以將全部的方程式合併，寫成一個 n2n n2n 的增廣矩陣：的增廣矩陣：之後再使用高斯消去法，將前半部變成單位矩陣，之後再使用高斯消去法，將前半部變成單位矩陣，後半部即是反矩陣的解後半部即是反
3、矩陣的解行列式（行列式（Determinant）行列式的定義：以高斯消去法求行列式值以高斯消去法求行列式值根據行列式以上的特性，我們可以用高斯消去法根據行列式以上的特性，我們可以用高斯消去法將原矩陣變為上三角或下三角矩陣，再將對角線將原矩陣變為上三角或下三角矩陣，再將對角線元素相乘即可得行列式值，例如：元素相乘即可得行列式值，例如：可得行列式值為可得行列式值為2(1/2) 313=392(1/2) 313=39上下三角矩陣分解上下三角矩陣分解在高斯消去法的過程中，我們可以將原始矩陣在高斯消去法的過程中，我們可以將原始矩陣A A分解為兩個矩陣相乘分解為兩個矩陣相乘A=LUA=LU，其中，其中L L為上三角為上三角矩陣、矩陣、U U為下三角矩陣為下三角矩陣上下三角矩陣分解上下三角矩陣分解使用時機：當程式需要解許多次與A有關的線性系統時，先將A做上下三角分解，可得到較高的計算效率L即為高斯消去所得之上三角矩陣，U的對角線元素皆為一，其他非零元素則為消去過程中之mki=aki/aii，如下例所示：AUL
