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1、第第6讲讲正弦定理、余弦定理及解三角形正弦定理、余弦定理及解三角形考考试试要要求求1.正弦定理、余弦定理，简单的三角形度量问题，B级要求；2.运用定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，B级要求.知 识 梳 理1.正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则b2c22bccos Ac2a22cacos Bc2a22cacos B2Rsin B2Rsin Csin Asin Bsin C3.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线 叫仰角，目标视线在水平视线 叫俯角(如图1).上方下方(
2、2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为(如图2).(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等.(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“”或“”)解析由余弦定理b2c22bccos Aa2，得b26b80，解得b2或b4，bc2 ，b2.答案23.一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是_海里.5.(
3、苏教版必修5P10T4(2)改编)在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_.答案等腰三角形或直角三角形考点一利用正、余弦定理解三角形【例1】 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.规律方法(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.考点二利用正、余弦定理判定三角形
4、的形状【例2】 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.规律方法(1)三角形的形状按边分类主要有：等腰三角形，等边三角形等；按角分类主要有：直角三角形，锐角三角形，钝角三角形等.判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形.(2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.【训练2】 (2015扬州一模)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C
5、1，试判断ABC的形状.考点三和三角形面积有关的问题【例3】 (2015全国卷)已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，sin2B2sin Asin C.考点四正、余弦定理在实际问题中的应用规律方法解三角形应用题的两种情形：(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.【训练4】 (2015湖北卷) 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.思想方法易错防范1.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此类类型也可利用余弦定理求解).2.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.3.解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来.而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错.
