随机数的生成方法

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1、 随机数的产生随机数的产生 对随机系统进行模拟，需要产生服从某种分对随机系统进行模拟，需要产生服从某种分布的一系列布的一系列随机数随机数. ?定义定义 设随机变量设随机变量X（总体）服从某种随机（总体）服从某种随机分布，对其进行了分布，对其进行了n次独立观察次独立观察, ,得到一组得到一组简单简单随机样本随机样本 X1，X2，Xn ,满足满足1） X1，X2，Xn相互独立；相互独立；2）每一个每一个X1，X2，Xn都与总体都与总体X 同分布同分布. . 利用某种方法得到一串利用某种方法得到一串数列数列r1 , r2 , , rn一随机数的概念一随机数的概念2021/5/231 在一定的统计意义

2、下可作为随机样本在一定的统计意义下可作为随机样本X1，X2，Xn的一组样本值，称的一组样本值，称r1 , r2 , , rn一组具有与一组具有与X相相同分布的同分布的随机数随机数. . 例例1 设随机变量设随机变量XB(1, 0.5), 模拟该随机变模拟该随机变量量X的一组样本值的一组样本值. 一种简单的方法是一种简单的方法是 抛一枚均匀硬币，观察出现正反面的情况，抛一枚均匀硬币，观察出现正反面的情况，出现正面记为数值出现正面记为数值“1”,”,否则记为否则记为“0”“0”得：得： 0，0，1，0，1，1，1，0，1，0，0，0， 0，1，1，0，1，0, 可看成可看成总体总体X 的一系列样本

3、值的一系列样本值, ,或称产生了或称产生了一系列一系列具有两点分布的随机数具有两点分布的随机数. . 2021/5/232 需要寻求一种需要寻求一种简便、经济、可靠简便、经济、可靠, 并能在计并能在计算机上实现的产生随机数的方法算机上实现的产生随机数的方法.数学软件有产生常用分布随机数的功能数学软件有产生常用分布随机数的功能对特殊分布对特殊分布需要数据需要数据量很大时量很大时 不太有效不太有效2021/5/233二二.均匀分布随机数的产生均匀分布随机数的产生最常用、最基础最常用、最基础的随的随机数是在（机数是在（0,1）区间）区间内均匀分布的随机数内均匀分布的随机数( (简记为简记为RND)

4、) 理解为：随机理解为：随机变量变量XU(0,1)的的一组一组样本值的模拟样本值的模拟值值 一般采用某种数值计算方法产生随机数序列，一般采用某种数值计算方法产生随机数序列，在计算机上运算来得到在计算机上运算来得到.通常是利用递推公式：通常是利用递推公式： 给定给定k个初始值个初始值1,2,k , 利用递推公式递推出利用递推公式递推出一系列随机数一系列随机数1 1, ,2 2, ,，n n, ,2021/5/234乘同余法乘同余法混合同余法混合同余法常常用用方方法法具有较好的具有较好的统计性质统计性质 1乘同余法乘同余法 递推公式为递推公式为用用M 除除xn后后得到的余数记得到的余数记为为xn+

5、1其中其中是乘因子是乘因子, M为模数为模数(modulus),第一式是以第一式是以M为模数为模数的的同余式同余式. .给定初值给定初值x0 (称为称为种子种子),递推计算出递推计算出2021/5/235 r1，r2，即在即在(0, 1)上均匀分布的随机数序列上均匀分布的随机数序列.例例2 取取x0=1，=7，M=103，有有x0=71=7 ， x1=7 ， r1=7/1000=0.007x1=77=49 ， x2=49 ， r2=49/1000=0.049x2=749=343 ， x3=343 ，r3=343/1000=0.343x3=7343=2401 , x4=401 , r4=401/

6、1000=0.401x4=7401=2807, x5=807 , r5=807/1000=0.807其余类推其余类推. 2021/5/2362混合同混合同余法余法 递推公式为递推公式为用模用模 M 去除去除xn+C的余数的余数其中，其中，C是非负整数是非负整数. 例例3 ：选选=97，C=3，M=1000，得递推公式得递推公式取定种子取定种子x0=71，得得97x03=6890， x1=890， r1=0.89097x13=86333， x2=333， r2=0.3332021/5/23797x23=32304， x3=304， r3=0.30497x33=29491， x4=491， r4=

7、0.49197x43=47830， x5=630， r5=0.630 余类推，接下来的随机数是：余类推，接下来的随机数是：0.113，0.964，0.511，0.570，0.293，0.424，0.131，0.710，0.873，0.684，0.351，0.050，0.853有下述问题：有下述问题：1.数列数列rn是有周期的，是有周期的，周期周期LM（模数）模数）； 因因0xnM，数列数列xn最多有最多有 M个相异值个相异值, , 从而从而rn也同样如此也同样如此.2021/5/2382. 数列数列rn本质上是实数列本质上是实数列, 给定初始值由递推给定初始值由递推 公式计算出的一串确定的数列

8、公式计算出的一串确定的数列.不能简单不能简单等同于真等同于真正意义的正意义的随机数随机数.解决方法与思路：解决方法与思路：1. 选择模拟参数选择模拟参数2. 对数列进行统计检验对数列进行统计检验 从计算机中直接调用从计算机中直接调用某种分布的随机数同样存某种分布的随机数同样存在类似问题在类似问题.2021/5/239x。=1，=513，M=236 （L=23421010）1） 周期的长度取决于参数周期的长度取决于参数x0, 入入, M的选择的选择； 2） 通过适当选取参数可以改善随机数的统计通过适当选取参数可以改善随机数的统计性质性质. . 几组供参考的参数值：几组供参考的参数值： x。=1，

9、=7，M=1010 （L=5107）1. 选择模拟参数选择模拟参数 在计算机上编程产生随机数还应注意在计算机上编程产生随机数还应注意浮点运算对周期的影响浮点运算对周期的影响x。=1，=517，M=212 （L=2401012）2021/5/23102. 对数列进行统计检验对数列进行统计检验 无论用哪一种方法产生的随机数序列无论用哪一种方法产生的随机数序列 (实数实数列列) RND, 都存在问题：都存在问题： 能否能否将其将其看着是在看着是在(0,1)上均匀分布的连续上均匀分布的连续型随机变量型随机变量X 的独立样本值？的独立样本值？ 对应的样本是否可以看成对应的样本是否可以看成X的简单随机样本

10、：的简单随机样本：1）X1，X2，Xn相互独立相互独立； 2）Xi U(0, 1) , (i=1, 2，n) 需判断是否具有较好的统计性质：需判断是否具有较好的统计性质：独立性独立性 均匀性均匀性进行统计检验进行统计检验 2021/5/2311三三. 任意分布随机数的模拟任意分布随机数的模拟l离散型随机数的模拟离散型随机数的模拟 设随机变量设随机变量X 的分布律为的分布律为 将将P( n)作为区间作为区间(0, 1)的分点的分点:P(0)P(1)P(2)P(3)012021/5/2312 若随机变量若随机变量 RU(0,1),有有产生产生X的随机数的的随机数的算法步骤算法步骤 ：(1) 产生一

11、个产生一个(0, 1)区间上均匀分布随机数区间上均匀分布随机数r( (RND); (2) 若若 P(n1)rP(n) ，则令则令X 取值为取值为xn.例例3 离散型随机变量离散型随机变量X的分布律如下的分布律如下 X=x P(x) 0 1 2 0.3 0.3 0.4 2021/5/2313 设设r1，r2，rN是是RND随机数随机数，令令x1，x2，xN 即具有即具有X 的分布律的随机数的分布律的随机数. 从理论上讲从理论上讲, , 已解决了已解决了产生具有任何离散产生具有任何离散型分布的随机数型分布的随机数的问题的问题. . 具体执行仍有困难具体执行仍有困难,如如X的取值是无穷多个的的取值是

12、无穷多个的情况情况. 可利用分布的自身特点可利用分布的自身特点,采用其他的模拟方法采用其他的模拟方法.2021/5/2314 例例4 随机变量随机变量XB(n,p)，其分布律为其分布律为 随机变量随机变量X是是 n 次独立贝努里试验中次独立贝努里试验中, 事件事件A发生的总次数发生的总次数, 其中其中p=P(A). 在计算机上模拟在计算机上模拟 n 重贝重贝努里试验来产生二项分布努里试验来产生二项分布的随机数的随机数. 当当p 较大而较大而计算精度要计算精度要求较高时求较高时 2021/5/2315 2）统计统计ri （i=1，2，n）中使得中使得 重复循环得到重复循环得到: n1，n2，nk

13、即所求随机数列即所求随机数列.01p练习题：练习题：(1)生成生成100个服从个服从B(20,0.3)的随机数的随机数(2) 如何模拟参数为如何模拟参数为的泊松分布随机数？的泊松分布随机数？ri p的个数的个数ni. .算法步骤：算法步骤： 1）产生产生n个个RND r1，r2，rn； 2021/5/23162连续型随机数的模拟连续型随机数的模拟 利用在利用在(0 , 1) 区间上均匀分布的随机数来模区间上均匀分布的随机数来模拟拟具有给定分布的连续型随机数具有给定分布的连续型随机数. . 两种方法两种方法反函数法反函数法 舍选法舍选法 1) 反函数法反函数法 设连续型随机变量设连续型随机变量Y

14、的概率函数为的概率函数为 f(x), 需产需产生给定分布的随机数生给定分布的随机数. 算法算法:1）产生产生n个个RND 随机数随机数r1，r2，rn； 所得所得yi, i=1,2, ,n 即所求即所求.2021/5/2317基本原理：基本原理：设随机变量设随机变量Y的分布函数的分布函数F(y)是连续函是连续函数，而且随机变量数，而且随机变量XU(0,1)，令，令Z=F1(X)。则则Z与与Y有相同分布有相同分布. 2021/5/2318例例5 模拟服从参数为模拟服从参数为的指数分布的随机数的指数分布的随机数，其其概率密度函数为概率密度函数为 若随机变量若随机变量) XU(0, 1)1X U(0

15、, 1)2021/5/2319(1ri)与与ri 均为均为RND 随机数随机数 模拟公式可改写为模拟公式可改写为问题：请考虑如何利用此公式模拟泊松流？问题：请考虑如何利用此公式模拟泊松流？优点：优点：一种普通而适用的方法；一种普通而适用的方法； 缺点缺点:当反函数不存在或难以求出时当反函数不存在或难以求出时, 不宜于使不宜于使 用用.练习：练习：生成生成100服从参数为服从参数为10的指数分布的随机的指数分布的随机数。数。2021/5/23202）舍选法）舍选法 基本思想：基本思想：实质上是从许多实质上是从许多RND随机数中选随机数中选出一部分出一部分, 使之成为具有给定分布的随机数使之成为具

16、有给定分布的随机数.算法步骤：算法步骤： (1) 选取常数选取常数，使使f(x)1，x(a, b)； (2) 产生两个产生两个RND 随机数随机数r1 、r2，令令 y= a(ba)ri ； (3) 若若 r2f(y)，则令，则令x=y, 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为f(x)，存在存在实数实数 ab，使使 PaXb=1， 否则剔除否则剔除 r1和和r2, 重返步骤重返步骤(2).2021/5/2321 重复循环重复循环, , 产生的随机数产生的随机数x1，x2，xN的的分布由概率函数分布由概率函数 f(x) 确定确定. .舍选法算法原理分析：舍选法算法原理分析：设设P

17、aZb=1，Z的概率密度为的概率密度为f(z),1.选常数选常数，使，使f(z)1，z(a，b)；2.随机变量随机变量X1，X2相互独立相互独立XiU(0, 1),令令 Y1=a+(ba)X1U(a, b);3.若若X2f(Y1)，则令，则令 X = Y1，否则剔除，否则剔除X1，X2重复到重复到(2)。 则随机变量则随机变量X的分布与的分布与Z相同。相同。2021/5/2322注注可选取有限区间可选取有限区间(a1, b1)，使得使得 是很小的正数是很小的正数.例如取例如取 a1=3,b1=3，有有 在区间在区间(a1, b1)上应用舍选法上应用舍选法,不会出现较大不会出现较大的系统误差的系

18、统误差. 2021/5/23233正态随机数的模拟正态随机数的模拟产生正态分布产生正态分布随机数的方法随机数的方法反反函函数数法法舍舍选选法法坐坐标标变变换换法法 中中心心极极限限定定理理1）坐标变换法坐标变换法设设r1，r2 是是RND随机数随机数，令令则则 x1, x2是相互独立的标准正态分布的随机数是相互独立的标准正态分布的随机数. 练习：用舍选取法生成练习：用舍选取法生成100个服从以期望个服从以期望=20，标准差，标准差=10的正态分布的随机数。的正态分布的随机数。2021/5/2324 2）利用中心极限定理利用中心极限定理 产生服从产生服从N(,2)的算法步骤：的算法步骤：(1) 产生产生n 个个RND 随机数：随机数：r1，r2，rn， 一般一般 n10若取若取n=12，简化为计算简化为计算 x 是服从标是服从标准正态分布准正态分布的随机数的随机数(3) 计算计算 y=x+.2021/5/2325 y 是服从是服从 N(,2) 分布的随机数分布的随机数.原理分析原理分析 设设1，2，n是是n个相互独立的随机变个相互独立的随机变量量, ,且且iU(0,1), , i= 1,2, ,n,由中心极限定理知由中心极限定理知 渐近服从正态分布渐近服从正态分布N(0, l ). 2021/5/2326部分资料从网络收集整理而来，供大家参考，感谢您的关注！